1、专题27：抛物线的定点问题1已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，(点为坐标原点)的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）设不经过原点的直线与抛物线交于两点，设直线的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点.2已知点，动点满足记点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，证明：直线过定点3设抛物线的焦点为，已知直线：，圆：.（1）设直线与圆的交点分别为，求当取得最小值时，直线的方程；（2）若抛物线过圆的圆心，直线，过同一定点且与抛物线相交于，和，点，设是的中点，是的中点，证明：直线恒过定点.4已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.（1）求抛物线的
2、方程；（2）若点，、为抛物线上的不同两点，且，问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.5在平面直角坐标系中，已知直线被抛物线截得的弦长为，直线与抛物线相交于点，点，且直线，的斜率之和为4.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点，并求出定点坐标.6已知抛物线的焦点为，是上一点，且.（1）求抛物线的方程；（2）设点是上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标.7在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为的中点.（1）证明轴；（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是
3、，请说明理由.8已知点，为直线上的两个动点，且，动点满足，（其中为坐标原点）.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线与轨迹相交于两不同点、，如果，证明直线必过一定点，并求出该定点的坐标.9平面上动点M到定点的距离比M到直线的距离小1（1）求动点M满足的轨迹方程C（2）若A，B是（1）中方程C表示的曲线上的两点，且（O为坐标原点）试问直线是否经过定点，并说明理由10设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上一点，且（1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线交于，两点，若，求证：线段的垂直平分线过定点11已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程；（2）已知斜率存在的直线与抛物线交于，
4、两点，若直线，的倾斜角互补，则直线是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.12在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点，且在y轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点作相互垂直的两条直线，直线与曲线C相交于A，B两点，直线与曲线C相交于E，F两点，线段AB，EF的中点分别为M、N，求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案1（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据焦点，求得点，的坐标，然后由求解；（2）易知直线的斜率存在，记为，设直线，与联立， 由，结合，由 求解.【解析】（1）因为焦点，所以点，的坐标分别为，.所以，故.故抛物
5、线的方程为.（2）由题设，易知直线的斜率存在，记为，则设直线，与联立得，得，则，.又知，解得，所以直线，恒过定点.【点评】 定点问题的常见解法：假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意2（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得的方程；（2）设，利用导数得出切线的方程，由在切线上，从而可得直线的方程，由直线方程可得定点坐标【解析】（1）设，则，所以，可以化为，化简得所以，的方程为（2）由题设可设，由题意知切线，的
6、斜率都存在，由，得，则，所以，直线的方程为，即，因为在上，所以，即，将代入得，所以直线的方程为同理可得直线的方程为因为在直线上，所以，又在直线上，所以，所以直线的方程为，故直线过定点【点评】 本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由在切线上，根据直线方程的意义得出直线方程，然后得定点坐标3（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先判断直线：过定点，由垂径定理表示出，当时，当最大时，最小，求出PQ斜率m，得到直线方程；（2）联立方程组表示出点M、N，进而表示出直线MN的方程，利用点斜式方程说明直线过定点.【解析】 （1
7、）由题意得直线：过定点，由得.因为，所以点在圆内.设圆心到直线的距离为，当最大时，最小，此时，所以，此时直线的方程为.（2）证明：因为抛物线过圆的圆心，所以，解得，所以抛物线的方程为.由直线的方程为，可得直线：，且过定点，由可得直线：，联立，消整理得.设点，则，所以，则，即点，同理得点，当时，直线的斜率，则直线的方程为，即，所以直线的方程为，即直线恒过定点；当时，直线的方程为，也过定点.综上，直线恒过定点.【点评】证明直线过定点，通常有两类：（1）直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)；（2）直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) 4（1）；（2）
8、过定点.【分析】（1）根据已知条件求出的值，可得出抛物线的方程；（2）设直线的方程，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由得出，代入韦达定理可得出、所满足的关系式，由此可得出直线所过定点的坐标.【解析】（1）把椭圆的方程化为标准方程是，椭圆的左、右顶点分别为、，依题意，解得，所以抛物线的方程为；（2）若直线与轴垂直，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.设直线的方程为，与抛物线方程联立并化简得.则，可得，设、，则，.因为，同理可得，所以，所以，显然且，所以，所以，所以，直线的方程为，即，因此，直线过定点.【点评】 求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”
9、：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.5（1）；（2）直线过定点，定点坐标为，证明见解析.【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，求出交点的坐标后利用弦长公式可求的值，从而可求抛物线的方程.（2）设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理化简斜率之和，从而可得，故可求定点坐标.我们也可以设，用坐标表示斜率之和，再
10、用该两点的坐标表示直线，化简后可得直线过定点.【解析】（1）由解得，因为直线被抛物线截得的弦长为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（2）法一： 设直线的方程为，由得，所以，因为点，且直线，的斜率之和为4，所以，而，化简得，所以，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，定点坐标为.法二： 设，因为点，且直线，的斜率之和为4，所以，即，当时，直线的方程为即，所以直线过定点，定点坐标为；当时，所以，不满足题意.所以直线过定点，定点坐标为.【点评】直线与抛物线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关
11、系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题，也可以设出交点坐标，用交点坐标表示目标代数式，从而解决定点、定值、最值问题.6（1）；（2）证明见解析，定点为.【分析】（1）根据抛物线的性质即可得到，解得即可；（2）设，由题意，可设直线的方程为，由根与系数的关系得，再根据，三点共线，化简整理可得即可求出直线过定点【解析】（1） 根据题意知，因为，所以 联立解的， 所以的方程为 （2）证明：设，由题意，可设直线的方程为，代入，得由根与系数的关系得，由轴及点在直线上，得，则由，三点共线，得， 整理，得将代入上式并整理，得 由点的任意性，得
12、，所以即直线恒过定点【点评】 证明直线过定点，一般有两种方法.（1） 特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式，（一般地，为关于的二元一次关系式）由上述原理可得方程组，从而求得该定点.7（1）证明见解析；（2）直线恒过定点【分析】（1）设切点，求出导数，由此可得切线斜率，得切线方程，同时设，代入切线方程并整理，同理得方程，从而可得是方程的两根，利用韦达定理得，求出点横坐标可证得结论；（2）利用（
13、1）再求得点纵坐标，由两点坐标求得直线的斜率，然后得出直线方程后可得定点坐标【解析】（1）设切点，切线的斜率为，切线，设，则有，化简得，同理可的，是方程的两根，轴.（2），.，直线，即，直线过定点.【点评】本题考查直线与抛物线相交问题，考查导数的几何意义，方法是设切点，设动点坐标，把点坐标代入两切线方程得出是一元二次方程的根，利用韦达定理得出，这样可得中点坐标，由中点坐标写出直线方程可得定点坐标是设而不求思想的运用8（1）；（2）证明见解析，定点为.【分析】（1）设点，由可得出，由，可得出，代入化间可得出动点的轨迹的方程；（2）设直线的方程为，设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由可求
14、得的值，可得出直线的方程，进而可得出直线所过定点的坐标.【解析】（1）设、，则，.由，得，且点、均不在轴上，故，且，.由，得，即.由，得，即.所以，所以动点的轨迹的方程为：；（2）若直线的斜率为零时，则直线与曲线至多只有一个公共点，不合乎题意.可设直线的方程为.由，得.设、，则，.，解得，所以，直线的方程为，即直线恒过定点.【点评】 直线过定点：根据题中条件确定直线方程中的与、所满足的等量关系或等式，然后再代入直线方程，即可确定直线所过定点的坐标9（1）；（2）直线经过定点，证明见解析.【分析】（1）利用抛物线的定义可得动点M满足的轨迹方程C（2）设直线的方程为：，则直线的方程为：，联立直线与
15、抛物线方程解出交点坐标，进而可得直线的方程，可得直线经过的定点坐标【解析】（1）由题意易得：点M到定点的距离等于点M到直线的距离由抛物线定义可得：动点M满足的轨迹方程C为（2）设直线的方程为：，则直线的方程为：联立方程可得，同理可得：直线的方程为即特别的，当或时，点A与点B的横坐标都是4综上可知，直线经过定点【点评】 本题考查抛物线的定义的应用，考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键点是设出直线和的方程，分别与抛物线联立解出交点坐标，即可写出直线的方程，进而得出定点坐标，考查了学生计算能力，属于中档题10（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由条件可得，解出即可；（2）当直线的斜率存在时
16、，设，联立直线与抛物线的方程联立消元，然后韦达定理可得，由可得，然后表示出线段的垂直平分线方程可得答案.【解析】（1）由抛物线的焦半径公式可得，解得即抛物线的方程为（2）当直线的斜率存在时，设，由可得所以，即因为，所以，所以所以线段的中点坐标为所以线段的垂直平分线方程为，即，所以过定点当直线的斜率不存在时也满足综上：线段的垂直平分线过定点【点评】 定点问题的常见解法：假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.11（1）；（2）过定点，定点为.
17、【分析】(1)根据抛物线的定义可知,求出后可得抛物线方程.(2) 设直线的方程为，设，由条件可得，化简即得，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得，从而得出答案.【解析】（1）根据抛物线的定义，抛物线的方程为，（2）设直线的方程为，设，直线与抛物线的方程联立得，,则，又，即，即，整理得：，所以直线的方程为，即直线经过定点.【点评】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由，得到，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.12（1）；（2）证明见解析，.【分析】（1）设圆心，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线的方程为，然后算出，然后表示出直线的方程即可.【解析】（1）设圆心，由题意得，即所以曲线C的方程为（2）由题意可知，直线的斜率均存在，设直线的方程为，联立方程组得，所以，因为点M是线段AB的中点，所以同理，将换成得，当，即时所以直线MN的方程为即，所以直线MN恒过定点当时，直线MN的方程为，也过点所以直线MN恒过定点【点评】 定点问题的常见解法：假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.
