1、3.1.2 椭圆的简单几何性质（二）方程方程图形图形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率22221 0yxabab 22221 0 xyabab yoF1F2Mxy xoF2F1M,axabyb ,bxbaya 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称(a，0)，(0，b)(b，0)，(0，a)(01)ceea 长半轴长为长半轴长为a,短半轴长为短半轴长为b.（ a2=b2+c2）1、中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，若短、中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，若短轴长为轴长为6，且过点，且过点(1,4)，则其标准方程是，则其标准方程是 .2、中心在原点、中心在原点,焦点在坐标轴上焦点在坐
2、标轴上,若长轴长为若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分且两个焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的方程则此椭圆的方程是是 . 提示：2a=18,2c= (1/3)2a=6 a=9,c=3,b2=81-9=72221189yx22221181728172xyyx或一、课堂练习一、课堂练习3.若椭圆的一个焦点与长轴的两个端点的距离之若椭圆的一个焦点与长轴的两个端点的距离之比为比为2：3，则椭圆的离心率为（，则椭圆的离心率为（ ）（A）2/3 （B）1/3 （C）3/3 （D）1/54.椭圆的焦点与长轴较近端点的距离为椭圆的焦点与长轴较近端点的距离为 ，焦点与短轴两端点的连线互相垂直焦点与短轴两端点
3、的连线互相垂直, 求椭圆离心率求椭圆离心率及标准方程及标准方程 。D2222abce510110515102222yxyx或22( ,1)142()xyA aa点在椭圆的内部，则 的取值范围是11.22.22.22.aDaCaaBaA或2211892_.xykk如果椭圆的离心率是，那么实数的值为AK=4或或K= -5/45、6、21142由得：a22112bae=e=1819181118494kkkk 或或例例2.2.已知椭圆已知椭圆x x2 2+(+(m m+3)+3)y y2 2= =m m( (m m0)0)的离心率的离心率e e= .= .23（1 1）求）求m m的值；（的值；（2
4、2）求椭圆的长轴长和短轴长、）求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标、顶点坐标焦点坐标、顶点坐标.【解析解析】(1)(1)椭圆方程可化椭圆方程可化，03) 2(3-，1322mmmmmmmmymx.3 mmm).21，0()21-，0(，)0，1 (、0)，(-1；)0，23()0，23(-；1，2.23，21，1. 141）1（）2（1.，2332，23.3)2(，3，21212122222 2BBAAFFcbayxmmmemmmbammbma、c四个顶点分别为两焦点坐标分别为短轴长为椭圆的长轴长为椭圆的标准方程为由得由45M的距离的比是常数 ，求点的轨迹。25( , )(4,0):4M x yF
5、l x 例3、点与定点的距离和它到直线MxyOF25:44|5dMl xMFMPMd解：设 是点到直线的距离，点的轨迹就是集合22(4)4.255|4xyx由此得22925225xy整理得 192522yx即所以，点所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。的椭圆。思考：题目中的定点，思考：题目中的定点，直线直线l及常数与该椭圆及常数与该椭圆有什么关系？试用有什么关系？试用a、b、c来说明。来说明。( ,0)F c拓拓展展：求求平平面面内内到到定定点点的的距距离离与与它它到到定定直直线线MxyOF2:(0)acl xacca的的距距离离之之比比为为常常数数的
6、的点点的的轨轨迹迹( , )M x y解解：设设点点是是所所求求曲曲线线上上的的任任意意一一点点，2:adMl xc是是点点到到直直线线的的距距离离，|MFcMPMda则则点点满满足足集集合合222().|xcycaaxc由由此此得得22222222 ()()ac xa ya ac平平方方，并并化化简简得得MxyOF22222222 ()()ac xa ya ac平平方方，并并化化简简得得222-,acb令令可可化化得得: :22221(0).xyabab 这是一个椭圆的标准方程，所以这是一个椭圆的标准方程，所以点点M的轨迹是长轴、短轴分别是的轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。的椭圆。(
7、 ,0)F c拓拓展展：求求平平面面内内到到定定点点的的距距离离与与它它到到定定直直线线2:(0)acl xacca的的距距离离之之比比为为常常数数的的点点的的轨轨迹迹怎么判断它们之间的位置关系？怎么判断它们之间的位置关系？问题问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？：直线与圆的位置关系有哪几种？drd00=0几何法：几何法：代数法：代数法：问题引入:问题问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？问题问题2：椭圆与直线的位置关系？：椭圆与直线的位置关系？不能！不能！所以只能用代数法所以只能用代数法代数法代数法-求解直线与二次曲线有关问题的通法。求
8、解直线与二次曲线有关问题的通法。因为他们不像圆一样有统一的半径。因为他们不像圆一样有统一的半径。问题引入:2、判断方法：、判断方法：第一步：联立方程组；第一步：联立方程组；第二步：消去方程组中的一个变量（第二步：消去方程组中的一个变量（ x或或y）；）；第三步：用判别式判断解的个数；第三步：用判别式判断解的个数；000 （1）两个公共点相交（2）一个公共点相切（3）没有公共点相离1、直线与椭圆的位置关系：、直线与椭圆的位置关系：相离、相切、相交相离、相切、相交直线与椭圆位置关系直线与椭圆位置关系例例1、已知椭圆、已知椭圆 ，直线，直线l：4x-5y+40=0，判断椭，判断椭圆与直线的位置关系。
9、圆与直线的位置关系。221259xyxyOF1F2解：22454001259xyxy联立方程组2,564 +2750 (1)yxx消去可得 4x-5y+40=02=64(1)4 5 2750 直线与椭圆直线与椭圆相交相交2221048xyxy 解：联立方程组例例2、求直线、求直线2x-y +1=0截椭圆截椭圆4x2+y2=8所得弦长所得弦长.解：设直线与椭圆相交于点解：设直线与椭圆相交于点P1 (x1，y1) 、P2(x2，y2) 2x-y +1=0可化为可化为y=2x+1 代入椭圆方程，得代入椭圆方程，得4x2+(2x+1)2=8整理得整理得 8x2+4x-7=0115115=4412=x,
10、x 由求根公式解得2212212122|()()1151151151155 3()()44222PPxxyy 弦长12121151154411511522xxyy 得得, , 例例2、求直线、求直线2x-y +1=0截椭圆截椭圆4x2+y2=8所得弦长所得弦长.解：设直线与椭圆相交于点解：设直线与椭圆相交于点P1 (x1，y1) 、P2(x2，y2) 2x-y +1=0可化为可化为y=2x+1 代入椭圆方程，得代入椭圆方程，得4x2+(2x+1)2=8整理得整理得 8x2+4x-7=0121217+= -,= -28xxx x直线直线2x-y +1=0的斜率为的斜率为k=222122121|(
11、)() PPxxyy弦长221212()41xxx xk22175 3()4 ()12282 设而不设而不求求22121xxk22121212212122|()411 ()41(0) PPxxx xkyyy ykk设直线与椭圆相交于点设直线与椭圆相交于点P1 (x1，y1) 、P2(x2，y2)弦长求法弦长求法(1)求出弦端点坐标，利用两点间的距离公式求解；求出弦端点坐标，利用两点间的距离公式求解；(2)结合根与系数的关系，利用变形公式结合根与系数的关系，利用变形公式221)1 (4221kkkxx12k 练习练习：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点
12、被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：小结：小结：1、直线与椭圆的位置关系：、直线与椭圆的位置关系：2、弦长公式：、弦长公式：000 （1）两个公共点相交（2）一个公共点相切（3）没有公共点相离2121212122| | 11| | 1(0)PPxxkPPyykk3、中点弦的问题的两种方法、中点弦的问题的两种方法作业作业1、P48 第第7题题2、已知椭圆、已知椭圆 ，过点，过点P(4，2)引一弦，使引一弦，使弦在点弦在点P被平分，求此弦所在直线的方程。被平分，求此弦所在直线的方程。193622yx1、若椭圆经过原点，且焦点为、若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)， F2 (3，0)，则其离心率是（则其离心率是（ ）3211. . . .4324ABCD2、如图，、如图，F1、F2是椭圆的两个焦点，过是椭圆的两个焦点，过F1且与长轴垂直且与长轴垂直的直线交椭圆于的直线交椭圆于A、B两点，若两点，若 ABF2是正三角形，则是正三角形，则这个椭圆的离心率是（这个椭圆的离心率是（ ）23. . 3323. .22ABCDBxyOF1F2AB练习：练习：C33
