1、3 3. .2 2.2 .2 双曲线简单的几何性质双曲线简单的几何性质 双曲线的定义双曲线的定义 点点p p到两定点到两定点F F1 1 F F2 2的距离之差的距离之差的绝对值为常数的绝对值为常数（小于（小于F F1 1 F F2 2的距离）的距离）点点p p 的轨迹的轨迹XY0F1F2 p复习回顾：复习回顾：222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0,b0)(a0,b0) 椭圆的几何性质我们讨论了椭圆的几何性质我们讨论了哪些方面：哪些方面： 方程、图形、顶点方程、图形、顶点(特殊点特殊点)、范围、对称性、离心率范围、对称性、离心率e、准线、准线12222byax双曲
2、线图像双曲线图像(1)(1)双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 标标 准准 方方 程程 范范 围围对称性对称性顶顶 点点焦焦 点点对称轴对称轴离心离心率率 渐近线渐近线双 曲 线 的 顶 点:在双曲线的标准方程中，令在双曲线的标准方程中，令y=0y=0得得x=x=a, a,因此把因此把A A1 1（-a-a，0 0）, A, A2 2（a a，0 0）叫做双曲线的顶点）叫做双曲线的顶点. .如图如图: :线段线段A A1 1A A2 2叫做双曲线的叫做双曲线的实轴实轴, ,它的长等于它的长等于2a,2a, a a叫做双叫做双曲线的曲线的实半轴长实半轴长. .线段线段B B1 1B B2
3、2叫做双曲线的叫做双曲线的虚轴虚轴, ,它的长等于它的长等于2b, 2b, b b叫做双曲叫做双曲线的线的虚半轴长虚半轴长. .双 曲 线 的 范 围根据双曲线的标准方程根据双曲线的标准方程 可得：可得： 即即 ，所以，所以xaxa或或 x-x-a a 这说明双曲线在不等式这说明双曲线在不等式xaxa或或 x-ax-a所表示的区所表示的区域内域内, ,即在直线即在直线x=-a,x=ax=-a,x=a两侧两侧. .当当x x的绝对值无限增大时，的绝对值无限增大时，y y的绝对值也无限增大的绝对值也无限增大, ,所以所以曲线是曲线是无限伸展无限伸展的的, ,不像椭圆那样是封闭曲线不像椭圆那样是封闭
4、曲线. .22221(0,0)xyabab-=122ax22ax 3，双 曲 线 的 对 称 性: 双曲线关于每个坐标轴双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的和原点都是对称的. .坐标轴坐标轴是双曲线的对称轴是双曲线的对称轴, ,原点是原点是双曲线的对称中心双曲线的对称中心. .双曲线双曲线的对称中心叫做双曲线的的对称中心叫做双曲线的中心中心. 4、离心率、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace 离心率离心率。ca0e 1e是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大越大开口越大（1）定义：）定义：（2）e e的范围的范围：（3）e e的含义：的含义：11
5、)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,), 0(), 1 (的夹角增大增大时，渐近线与实轴eace 222bac二四个参数中，知二可求、在ecba（4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ?2( 5 )的双曲线是等轴双曲线离心率2ev 双曲线的渐近线双曲线的渐近线Yy=43xy= -43x-44-330X想一想想一想：怎样较为准确的画出怎样较为准确的画出的图象的图象 ？221169xy2223316161443163144yxxxyxxx 因为讨论第一象限，其他按对称性处理。讨论第一象限，其他按对称性处理。YXF1F2A1A2B1B20MN第一象限的曲线方程第一象限
6、的曲线方程 c ：直线方程：直线方程： y= abxy= xab2- a2( x a)C:设设M（x,y) 是是c上一点上一点,y= abxN (x,Y)是直线是直线.上一点。上一点。 y = abx.Q双曲线双曲线 的渐近线方程是的渐近线方程是12222byaxMN= Y- y= ab( x - x a 22)x + x a 22ab=YXF1F2A1A2B1B20MN.Q( x - x a 22)= ab( x - x a 22).( x + x a 22)( x + x a 22)0时，且当xx + x a 22ab0YXF1F2A1A2B1B20 ab= e - 12 e越小（接近越小
7、（接近1）双曲线开口越小双曲线开口越小 ab越接近越接近0 e越大越大 ab 双曲线开口越大双曲线开口越大越大越大渐近线方程的记忆渐近线方程的记忆 渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程双曲线的标准方程 或或 右边的常数右边的常数1换为换为0，就是渐近线方程，就是渐近线方程 )0, 0( 12222babxay12222byax练习：求下列双曲线的渐近线方程练习：求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x(1)4x2 29y9y2 2=36, =36, (2)25x (2)25x2 24y4y2 2=100.=100.2x3y=05x
8、2y=0双曲线图像与性质双曲线图像与性质(1)(1)标标 准准 方方 程程 范范 围围对称性对称性顶顶 点点焦焦 点点对称轴对称轴离心离心率率 渐近线渐近线YXF1F2A1A2B1B2012222 byaxxa 或或x-a 关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。A1（-a，0),A2（a，0）实轴实轴 A1A2 虚轴虚轴 B1B2F1(-c , 0 ),F2( c , 0 )ace= y = abxXYF1F2OB1B2A2A1 双曲线图像双曲线图像(2)(2) 标标 准准 方方 程程 范范 围围对称性对称性顶顶 点点焦焦 点点对称轴对称轴离心离心率率 渐近线渐近线12222bxay
9、双曲线图像与性质双曲线图像与性质(2)(2)标标 准准 方方 程程 范范 围围对称性对称性顶顶 点点焦焦 点点对称轴对称轴离心离心率率 渐近线渐近线ya 或或y-a 关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。B1（0, -a ),B2（0，a）实轴 B1B2 虚轴 A1A2F1(0 , -c ),F2( 0 , c )ace= y = bax12222 axbyXYF1F2OB1B2A2A112222bxay上述两种双曲线性质对比上述两种双曲线性质对比标标 准准 方方 程程 范范 围围对称性对称性顶顶 点点焦焦 点点对称轴对称轴离心离心率率 渐近线渐近线12222 byaxxa 或或x-
10、a 关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。A1（-a，0),A2（a，0）实轴实轴 A1A2 虚轴虚轴 B1B2F1(-c , 0 ),F2( c , 0 )ace= y = abx12222 axbyya 或或y-a 关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。B1（0, -a ),B2（0，a）F1(0 , -c ),F2( 0 , c )实轴实轴 B1B2 虚轴虚轴 A1A2ace= y = bax例例1:1:求双曲求双曲线线的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长,焦点坐标焦点坐标, ,离心率离心率. .渐近线方程。渐近线方程。解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程可
11、得可得: :实半轴长实半轴长a=4虚半轴长虚半轴长b=3半焦距半焦距c=焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率离心率:渐近线方程渐近线方程:14416922 xy1342222 xy53422 45 acexy34例题讲解例题讲解216932xy例2.求与双曲线-=1有共同的渐近线,经过点(2,-3)的双曲线方程.22951443xy解 一 (待 定 系 数 法 ):双 曲 线 方 程,e= .2222(0)1699,144xyxy 解二(双曲线系法):设双曲线方程,4=则.92224abca2xy例3.(1)设双曲线-=1(0ab)的半焦距为c,直线l过点3( ,0),(0,b)
12、,且原点到直线l的距离为,求双曲线的离心率.223:042cl bxayabba2422ab解:,=a2 3则3e -16e +16=0,解得e=2,或e=,3b0a,则e=2.2225abac2xy例3.(2)设双曲线-=1(a1,b0)的半焦距为c,直线l过点( ,0),(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离4和为S,S,求双曲线的离心率的取值范围.22:0l bx ay abbb 12224212b(a-1)b(a+1)解:,d,daa2ab4c5d +d =,则4e -5e +25 0,解得e5.c5212222byax的方程为解：依题意可设双曲线816
13、2aa，即10,45cace又3681022222acb1366422yx双曲线的方程为xy43 渐近线方程为)0 ,10(),0 ,10(21FF 焦点.4516线和焦点坐标程，并且求出它的渐近出双曲线的方轴上，中心在原点，写焦点在，离心率离是已知双曲线顶点间的距xe 例例4:4:例例5 :5 :求下列双曲线的标准方程：求下列双曲线的标准方程：法二：法二：巧设方程巧设方程 , ,运用待定系数法运用待定系数法. .设双曲线方程为设双曲线方程为 ,22(0)916xy 22( 3)(2 3)916 14 221944双 曲 线 的 方 程 为xy 法二：法二：设双曲线方程为设双曲线方程为2211
14、64xykk 16040kk 且且221128xy 双曲线方程为双曲线方程为22(3 2)21164kk ,解之得解之得k=4,222221,2012(30)xymmm或设求得舍去1 1、“共渐近线共渐近线”的双曲线的应用的双曲线的应用222222221(0)xyabxyab 与共渐近线的双曲线系方程为， 为参数 ，0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；0表示焦点在表示焦点在y轴上的双曲线。轴上的双曲线。2222222222222211,1.xyxyabmmcxymcm2、与共焦点的椭圆系方程是双曲线系方程是总结：总结：221492454xye巩固练习：1、求与椭圆有公共焦点，且
15、离心率的双曲线方程。.1916, 91625, 4455, 1505.5,252449222222222yxbaaayaxcc可得求得然后由设共焦点的双曲线为），焦点为（得解：由1, 1122222222222222mcymxcmymxbyax双曲线系方程是共焦点的椭圆系方程是注：与 2、求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程为有共同焦点，渐近线方程为xy30的双曲线方程。的双曲线方程。 解：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上，且坐标为轴上，且坐标为），（，022)022(21FF 双曲线的焦点在 轴上，且xc2 2双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为xy33 bacaba
16、b33822222，而， 解出解出2622ba， 双曲线方程为xy22621 1. 1.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长, ,22145xy-=221169yx-=(1)(2)焦点坐标焦点坐标, ,顶点坐标顶点坐标, ,离心率离心率, ,渐近线的方程渐近线的方程. .课课 堂堂 练练 习习 2. 2. 求顶点在求顶点在x x轴上轴上, ,两顶点间的距离为两顶点间的距离为8,8,离心率离心率e=5/4e=5/4的双曲线的标准方程的双曲线的标准方程. .221169xy-=解：解：由由2a=8, e=5/4 2a=8, e=5/4 可得可得a=4 b=3 c=5a=
17、4 b=3 c=5因为双曲线的顶点在因为双曲线的顶点在x x轴上，所以它的焦点也在轴上，所以它的焦点也在x x轴轴上，所以它的标准方程为：上，所以它的标准方程为：顶点焦点共直线顶点焦点共直线23.11163 2 3y2根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程：x（）与双曲线有共同渐进线，且9过点（，）；练习：已知双曲线的两条渐进线方程是 焦点坐标是 求此双曲线的方程3,2yx (0,26),(0,26)12 byax222（ a b 0）12222 byax( a 0 b0) 222 ba(a 0 b0) c222 ba(a b0) c椭椭 圆圆双曲线双曲线方程方程a b c关系关系图象图象yX
18、F10F2MXY0F1F2 p小小 结结关于关于x x轴、轴、y y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率1 (0)xyabab22222222A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a） 1 00yx(a,b)ab 2 22 22 22 2 yaya x R ，或或关于关于x x轴、轴、y y轴、原点对称轴、原点对称 (1)ceea 渐近线渐近线ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c) xaxa y R ，或或 (1)ceea byxa
