1、3.3.2抛物线的简单几何性质第一课时复习准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xF FOy ylx xF FOy ylx xF FOy ylx xFOy yl)0,2p(2px)0,2p(2px )2p0( ，2py)2p0(，2py 引入思考：类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为应该研究抛物线y2 = 2px（p0）的哪些几何性质？如何研究这些性质。结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点(4)离心率(5)焦半径(6)通径(7)焦点弦|PQ|：|PQ|=x1+x2+px0,yR关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴
2、.抛物线和它的轴的交点.新知xOyFP(x1,y1)通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。通径的长度通径的长度：2P|PF|=x1+2pQ(x2,y2)e=1方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）新知
3、解:因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），所以焦点F在x轴的正半轴所以设方程为：)0(22ppxy又因为点M在抛物线上：所以：2( 2 2)22p2p因此所求抛物线标准方程为：24yx例题例3：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原 点，并且经过点M（，），求它的标准方程.2 22 2因为点M在抛物线上所以2( 2 2)22p解：当焦点在x轴的正半轴时可设方程为：y2 = 2px(p0)所以p=2 因此所求抛物线标准方程为：y2 = 4x当焦点在y轴的负半轴时可设方程为：x2 = -2py(p0)因为点M在抛物线上所以222( 2 2)p 22p因此所求抛物线标准方
4、程为：22xy 练习思考:已知抛物线关于坐标轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方程.(1)已知抛物线y28x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程练习解(1)抛物线y28x，p4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0.(1)已知抛物线y28x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236短轴所在的直线，
5、抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程练习例4 斜率为1的直线 l经过抛物线y2 = 4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。AABBFOxy例题法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长法一:直接求两点坐标,计算弦长法三:设而不求,运用焦点弦公式,计算弦长,2,1,21,0 ,:1.ppFx 解 由题意可知焦点准线1122, ,.ABA x yB x yA Bd d设到准线的距离分别为12|1,|1.ABAFdxBFdx由抛物线的定义可知12| |28.ABAFBFxx于是 1,0 ,1. 1FAByx由已知得抛物线的焦点为所以直线的方程为xyxy412
6、联立方程组2y610 xx 消去 并整理得：126xx由韦达定理得例题xyO FABBA解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；注意焦点弦长、焦半径公式的应用，简化运算归纳过点过点M(2,0)斜率为斜率为1的的直线直线l，交抛物线交抛物线y2=4x交于交于A、B两点，两点，求求|AB|解:抛物线y2=4x p=2,焦点为(1,0)直线l的斜率为1且过点M(2,0)直线l的方程为y=x-2 将代入y2=4x得x2-8x+4=0设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=8，x1x2=4所以练习644)(1 (|212212xxxxkAB已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分(1)求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程练习方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）20px 20px 20py 20py pxx21pxx)(21pyy21pyy)(21小结作业课本 P138 练习 1、2
