1、当m=3时，此时椭圆为y29x225+ =1c2=a2-b2=16,c=4,F1(-4,0)反之m2=25-16=9, m=3,不满足，xyoxyoF1F2F1F2PPxyFP则点P的纵坐标为1，抛物线的准线方程为 y =-1，由抛物线的定义可知，|PF|=2xyFPQMNE如图：作QM垂直准线于M，PN垂直准线于N，作PEQM于E，|PE|=xyOF1F2MPQ设P(x1,y1), Q(x2,y2),M( a, b) 由原点O是PQM的重心,x1+x2=- a,y1+y2=- b,a2x12y12b2+ =1,y22b2x22a2+ =1y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-a2b2a
2、b=12xyoF1F2P|PF2|=2c,|PF1|=2c+2a,c+a2c45=ab=43设双曲线的方程为右焦点F到渐近线的距离为2，即b=2，双曲线过点M( ,0)所以双曲线的方程为x23 - =1y24|AC|-|BC|=2 ,sinBAC-sinABCsinACB=|BC|-|AC|AB|=-7xyoF1F2ABM双曲线的离心率为2，令a=m，c=2m，则b2=3m2，所以双曲线的方程为x2m2 - =1y23m2设A(x1,y1), B(x2,y2),y1-y2x1-x2=-6222221212121212121212|(|)2|cos2|2|PFPFFFPFPFPFPFFFFPFP
3、FPFPFPF12212121264162|4848111|2|2|22 ()2PFPFPFPFPFPFPFPF xyoFPQRE设双曲线左焦点为E，由对称性知四边形PEQF是平行四边形，|PE|=|QF|=2|FR|=2m,|PF|=2m-2a,|RE|=m+2a,|PR|=3m-2a,在RtPRE中， (3m-2a)2+(2m)2=(m+2a)2m= a43在RtPEF中，|PE|2+|PF|2=4c2a2=4c2689共轭双曲线是y= xba1e121e22+ =1e12e22=e12+e22xOyFABx=my+12y2=2x消去x得：y2-2my-1=0, 4=此时直线方程为y=x-
4、12|AB|=x1+x2+P=4y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+1=2m2+1|AB|=2m2+2圆心(m2+ , m)12圆心到准线的距离为 |AB|12xOyFAB|AB|=x1+x2+P当为锐角时，|AF|=|AA1|=|MN|=P+|AF|cos,A1MN|AF|=1-cosP当为钝角时，依然成立那么|BF|呢？|BF|=1+cosP|AB|= + =1-cosP1+cosPsin22POAB的面积可以分割为OAF的面积加上OBF的面积，=SOAB= OFAF + OFBF12sin(-)12sinP4ABsin =2sinP2xyOF1F2APQM设AF1P内切圆圆心
5、为M，另外切点为E,F,EF|EF1|=|F1Q|=|FF2|=2|PF1|+|PF2|=|F1Q|+|QP|+|PF2|=|F1Q|+|FF2|= 4xyFPQRS|QF|=|RF|=p4|PF|=yP+p2|SF|=yS+p2|SR|=yS+p2p4-=yS+p4|PQ|=yP+p2p4-=yP+p4x2=2Pyx-6y+3P=02yP=p6yS=3p2xyo ABM如图：作BD垂直于x轴,垂足为D，DA(a,0)BAD=3MAO=|OM|= a ,|AM|=2a,|AD|=2a ,|BD|=2 aB(3a,- 2 a)9a2a2 - =112a2b2ab=2y= x2xyOF1F2PQ|
6、PF1|=|PQ|=|PF2|+|F2Q|PF1|-|PF2|=|F2Q|2a=2,a=1,由题意可得4-2m0，即m2，c2=m2+1+4-2m=(m-1)2+4所以当m=1时，焦距2c取得最小值，所以双曲线的方程为x22 - =1y22所以双曲线的右焦点为（2，0），则抛物线y2=8xx1+x2+P=8,x1+x2=2,线段AB中点的横坐标为2)xOyFMHBp2x0+ =x02+8又2Px0=8y2=8xM(1,2 )H(-2,2 )F(2,0)过点B向抛物线的准线作垂线，垂足为G，G=|HB|BF|HB|BG|=2xyOFBAB(c, )b2aa+c2b2aa2+ac2(c2-a2)2
7、e2-e-30 xOyFABCDMN设CD中点为N，则 |MN|= ( |AC|+|BD|)12|MN|= ( |AF|+|BF|)= |AB|1212因为直线l的斜率为 ,所以|CD|=|AB|sin = |AB|32SCMD= 2|AB|=4,设直线AB的方程为y= ( ) x- p2x1+x2= ,5p3xOy曲线C上任意一点(x,y)到原点的距离为x2+y2当x0时，x2+y2-1=xy ,当x=y时取等号2x2+y2xyOF1F2PQ ( |F1P|+|F1F2|)|F2P|=0|F1P|=|F1F2|=2c|F2P|=a, |F2P|=4|F2Q|F2Q|= a14|F2Q|= a
8、94cosF1F2P= =12a2ca4c=4c2+ a2- a2116811622c a1416c2=21a2 e=4xyOFPABHE如图，取AB中点H，椭圆另一个焦点为E，连结PE设OH=d，则PE=2d，PF=2a-2dAH=3a-d在RtOHA中，OA2=OH2+AH2a=5d在RtOHF中，FH= a, OH= a,OF=c, 4515OF2=OH2+FH217a2=25c2 xOyABPQ（1）连接AQ，由线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q|AQ|=|PQ|, |QB|+|QA|=|QB|+|QP|=4|AB|=2,即Q是以A(1,0)、B(-1,0)为焦点的椭圆，（3分），2
9、c=|AB|=2, c=1, |QB|+|QA|=2a=4, a=2,点Q的轨迹方程：x24 + =1y23（6分）（2）设M(x,y)，F(-1,0), OM=(x,y), FM=(x+1, y),OM FM=x2+x+y2（8分）M是椭圆上任意一点， y2=3(1- ) x24OM FM=x2+x+y2= x2+x+3= (x+2)2+21414（10分）-2x2, 当x=2时,OM FM取最大值6.（12分）xyOABMa2b，故可设椭圆E的方程为x2+4y24b2，由题意可得圆心M（2，1）是线段AB的中点，易知AB与x轴不垂直，记其方程为yk（x+2）+1，代入可得（1+4k2）x2
10、+8k（1+2k）x+4（1+2k）24b20，且|AB|则x1+x21+4k2-8k(1+2k)x1x21+4k24(1+2k)2-4b2x1+x24，41+4k2-8k(1+2k)k=12从而x1x282b2，由|AB|解得b23，则椭圆E的方程为x212 + =1y23由（1）可得AB的方程为：x2y+40，设平行AB且与椭圆相切的直线x2y+m0m2则dmax|2 +4|故PAB面积的最大值为S 12|2 +4| 2 +2y= x（1）抛物线的焦点F为(, 0)，双曲线的渐近线方程为p23x y=0 2| |p2=1解得P=4,故抛物线的方程为y2=8x，（2）设P(x0,y0)，由抛
11、物线的定义可知 x0+ 4，p2x0 2，y0 4，(2， 4)证明：（3）由题意知直线l不能与x轴平行，故方程可设为x=my+n(n0)，x=my+ny2=8x消去x得y2-8my-8n=0设A(x1,y1), B(x2,y2),y1+y2=8m,y1y2=-8n,OAOB,x1x2+y1y2=0,y1y2+ =0,(y1y2)264n0, n=8x=my+8,直线l恒过定点(8,0)设双曲线的方程为x29 - =1y26a2+b26,双曲线C的方程为x23 - =1y23(2)设直线l的方程为：y=m(m0)y=mx2-y23,x=m2+3m2+3或x=-AM，BM的斜率分别为kAM=-m2+3+mkAM=m2+3-mkAMkAM=-1故以AB为直径的圆过点M
