1、习题课对称问题第二章 直线和圆的方程1.学会点点、点线、线线对称问题.2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题.学 习 目 标1.两条直线垂直的条件：斜率存在，k1k21.导 语3.点(x0，y0)在直线AxByC0上的条件是Ax0By0C0.随堂演练课时对点练一、几类常见的对称问题二、光的反射问题三、利用对称解决有关最值问题内容索引一、几类常见的对称问题例1已知直线l：y3x3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；解设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则线段PP的中点在直线l上，且直线PP垂直于直线l，点P的坐标为(2,7).(2)直线yx2关于l的对称直线的方程；在直线yx2
2、上任取一点M(2,0)，设点M关于直线l的对称点为M(x0，y0)，化简得7xy220，即为所求直线方程.(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.解在直线l上取两点E(0,3)，F(1,0)，则E，F关于点A(3,2)的对称点分别为E(6,1)，F(7,4).因为点E，F在所求直线上，即3xy170.反思感悟对称问题的解决方法(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P(2ax，2by).(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求.设l的方程为AxByC0(A2B20)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0 x
3、)B(2y0y)C0.(3)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”.设P(x0，y0)，l：AxByC0(A2B20)，P关于l的对称点Q可以通过条件：PQl；PQ的中点在l上来求得.(4)求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题.跟踪训练1已知P(1,2)，M(1,3)，直线l：y2x1.(1)求点P关于直线l对称点R的坐标；解设点P关于直线l的对称点R的坐标为(x，y)，(2)求直线PM关于直线l对称的直线方程.解因为M(1,3)的坐标满足直线l的方程，则直线MR为所求的直线，方程为11x2y170.二、光的反射问题例2一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8
4、x6y25反射后通过点P(4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程.解如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得A的坐标为(4,3).反射光线的反向延长线过A(4,3)，又由反射光线过P(4,3)，A，P两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y3.由于反射光线为射线，由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，由A(4,3)，P(4,3)知，|AP|4(4)8，即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.反思感悟根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以
5、求解.跟踪训练2如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是解析由题意知，AB所在直线的方程为xy40.如图，点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线所经过的路程为|CD|三、利用对称解决有关最值问题例3在直线l：xy10上求两点P，Q.使得：(1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大；解如图，设点B关于l的对称点B的坐标为(a，b)，连接BB，ab40，点B的坐标为(5，1).即2xy90.易知|PB|PA|PB|PA|，当且仅当P，B
6、，A三点共线时，|PB|PA|最大.(2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小.解如图，设点C关于l的对称点为C，可求得C的坐标为(1,2)，AC所在直线的方程为x3y70.易知|QA|QC|QA|QC|，当且仅当Q，A，C三点共线时，|QA|QC|最小.反思感悟利用对称性求距离的最值问题由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点
7、，如A关于直线l的对称点A，得直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解.跟踪训练3在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则|MA|AB|BM|的最小值是A.10 B.11 C.12 D.13解析如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，4)，则|MB|PB|，|MA|AQ|.当A与B重合于坐标原点O时，当A与B不重合时，|MA|AB|BM|AQ|AB|PB|PQ|10.综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|AB|BM|取得最
8、小值，最小值为10.1.知识清单：(1)关于点点、点线、线线的对称问题.(2)反射问题.(3)利用对称解决有关最值问题.2.方法归纳：转化化归、数形结合.3.常见误区：两条直线关于直线外一点对称，则这两条直线一定平行，千万不要与两条相交直线关于角平分线所在直线对称混淆.课堂小结随堂演练1.点(3,9)关于直线x3y100对称的点的坐标是A.(1，3) B.(17，9)C.(1,3) D.(17,9)1234解析设点(3,9)关于直线x3y100对称的点的坐标为(a，b)，所以该点的坐标为(1，3).2.直线x2y10 关于直线x1对称的直线方程是A.x2y10 B.2xy10C.2xy30 D
9、.x2y3012343.若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线xy10对称，则A.a1，b2 B.a2，b1C.a4，b3 D.a5，b212344.已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为1234解析由题易知直线AB的方程为xy3，点P(0,2)关于x轴的对称点为P1(0，2)，设点P(0,2)关于直线AB的对称点为P2(a，b)，如图，课时对点练1.已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16
10、2.点P(2,5)关于直线xy10的对称点的坐标为A.(6，3) B.(3，6)C.(6，3) D.(6,3)解析设点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，12345678910 11 12 13 14 15 16故点P(2,5)关于直线l的对称点的坐标为(6，3).3.直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是A.2x3y70B.3x2y20C.2x3y80D.3x2y12012345678910 11 12 13 14 15 16解析直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线斜率不变，设对称后的直线方程l为2x3yc0，又点(1，1)到两直线的距离相等，123456789
11、10 11 12 13 14 15 16化简得|c1|7，解得c6 或c8，l的方程为2x3y60(舍)或 2x3y80，即直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程是2x3y80.4.已知直线l：axbyc0与直线l关于直线xy0对称，则l的方程为A.bxayc0 B.bxayc0C.bxayc0 D.bxayc012345678910 11 12 13 14 15 165.点P(a，b)关于直线l：xy10对称的点仍在l上，则ab等于A.1 B.1 C.2 D.0解析点P(a，b)关于直线l：xy10对称的点仍在l上，点P(a，b)在直线l上，ab10，即ab1.12345678910
12、 11 12 13 14 15 166.光线从点A(3,5)射到x轴上，经x轴反射后经过点B(2，10)，则光线从A到B的路程为解析点A(3,5)关于x轴的对称点A(3，5)，则光线从A到B的路程即AB的长，12345678910 11 12 13 14 15 167.已知A(3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|MB|取最小值，则点M的坐标为_.(1,0)解析如图，作点A关于x轴的对称点A(3，8)，连接AB，则AB与x轴的交点即为M，连接AM.因为B(2，2)，12345678910 11 12 13 14 15 16即2xy20.令y0，得x1，所以点M的坐标为(1,0)
13、.8.已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_.6xy60解析设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，12345678910 11 12 13 14 15 16又反射光线经过点N(2,6)，即6xy60.9.已知点M(3,5)，在直线l：x2y20和y轴上各找一点P和Q，使MPQ周长最小.解由点M(3,5)及直线l，可求得点M关于l的对称点为M1(5,1).同样可求得点M关于y轴的对称点为M2(3,5).由M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x2y70.1234567891
14、0 11 12 13 14 15 1610.已知直线l：xy30，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.(1)试判断由此得到的ABC的个数；12345678910 11 12 13 14 15 16解如图，设B(m，0)，点A关于x轴的对称点为A(1，2)，点B关于直线xy30的对称点为B(3，m3).根据光学知识，知点C在直线AB上，点C又在直线BA上，12345678910 11 12 13 14 15 16当m3时，点B在直线xy30上，不能构成三角形.综上，符合题意的ABC只有1个.12345678910 11 12 13 14
15、15 16(2)求直线BC的方程.12345678910 11 12 13 14 15 16则直线AB的方程为3xy10，即直线BC的方程为3xy10.11.已知点(1，1)关于直线l1：yx的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为A.2x3y50 B.3x2y50C.3x2y50 D.2x3y5012345678910 11 12 13 14 15 16综合运用设点B(2，1)到直线l2的距离为d，当d|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，12345678910 11 12 13 14 15 1612.若x，y满足xy10，则x
16、2y22x2y2的最小值为解析原多项式可化为(x1)2(y1)2，其几何意义为点P(x，y)和点Q(1,1)间距离的平方，且点P(x，y)在直线xy10上.设d为点Q到直线xy10的距离，12345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(2,4)与B(1,3)的距离之和，设点A(2,4)关于x轴的对称点为A，则A(2，4).要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|MB|的最小值，12345678910 11 12 13 14 15 1614.唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日
17、登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(1，4)，若将军从点A(1,2)处出发，河岸线所在直线方程为xy3.则“将军饮马“的最短总路程为12345678910 11 12 13 14 15 16解析如图所示，设点B关于直线xy3的对称点为C(a，b)，12345678910 11 12 13 14 15 16在直线xy3上取点P，由对称性可得|PB|PC|，12345678910 11 12 13 14 15 16当且仅当A，P，C
18、三点共线时，等号成立，拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 16x4y10又线段PQ的中点是(1,0)，12345678910 11 12 13 14 15 16所以p，q为方程x22x10的根，12345678910 11 12 13 14 15 16由两点式得直线PQ的方程为x4y10.16.已知直线l：x2y80和两点A(2,0)，B(2，4).(1)在直线l上求一点P，使|PA|PB|最小；12345678910 11 12 13 14 15 16解设A关于直线l的对称点为A(m，n)，12345678910 11 12 13 14 15 16故A(2,8).因为P为直线l上的一点，则|PA|PB|PA|PB|AB|，当且仅当B，P，A三点共线时，|PA|PB|取得最小值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，故所求的点P的坐标为(2,3).(2)在直线l上求一点P，使|PB|PA|最大.12345678910 11 12 13 14 15 16解A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则|PB|PA|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，|PB|PA|取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为yx2，故所求的点P的坐标为(12,10).本课结束
