1.5 空间向量与立体几何 全章复习与巩固-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

空间向量与立体几何全章复习与巩固空间向量与立体几何全章复习与巩固1.空间向量的基本运算：空间向量的基本运算：运算类型几何方法运算性质1 平行四边形法则：OCOAOBab 向量的加法2 三角形法则：OBOAABab 加法交换率：. abba加法结合率：()()abcabc()abab ABBC=AC 0ABBA= 向量的减法三角形法则：BAOAOBab ABOAOB向量的乘a是一个向量，满足：0 时，a与a同向；0 时，a与a异向；=0 时， a=0()()aa ()aaa()abab法abab向量的数量积1a b 是一个数：|cos()a ba ba b ， ；20a ，0b=或abba=0a bb a ()()()a baba b ()ab ca cb c 22|aa| | |a bab 2.用向量方法讨论垂直与平行用向量方法讨论垂直与平行图示图示向量证明方法向量证明方法线线平行（a/b）a/b（ab，分别为直线ab，的方向向量）线线垂直（ab）ab（ab，分别为直线ab，的方向向量）线面平行（l/）an，即0=a n（a是直线l的方向向量，n是平面的法向量） 线面垂直（l）a/n（a是直线l的方向向量，n是平面的法向量）面面平行（/）/uv（uv，分别是平面，的法向量）面面垂直（）uv，即0=u v （u，v分别是平面，的法向量）2.用向量方法求角用向量方法求角图示图示向量证明方法向量证明方法异面直线所成的角|cos| |AC BDACBD （A，C是直线a上不同的两点，B，D 是直线b上不同的两点）直线和平面的夹角|sin|cos| |a uau（其中直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的角为）二面角cos（平面与的法向量分别为1n和2n，平面与的夹角为）要点诠释：要点诠释：当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。3.用向量方法求距离用向量方法求距离1n2n1n2n12,n n1n2n1n2n12,n nMC1CB1D1A1ABD图示图示向量证明方法向量证明方法点到平面的距离PAd= AA =nn （n为平面的法向量）与平面平行的直线到平面的距离PAd= AA =nn （n是平面的公共法向量）两平行平面间的距离PAd= AA =nn （n是平面，的一个公共法向量）【典型例题】【典型例题】类型一：空间向量的概念及运算类型一：空间向量的概念及运算例例 1 如图， 在平行六面体1111ABCDABC D中，M为11AC与11B D的交点 若ABa ，ADb，1AAc，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A1122abc B1122abc C1122abc D1122abc【变式 1】在四边形ABCD中，ABDC，且ACBD0，则四边形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形类型二：空间向量的直角坐标运算类型二：空间向量的直角坐标运算例例 2已知空间三点2 0 2A ，1 1 2B ，3 0 4C ，设a=AB ，b=AC （1）求3 -2ab；（2）求a和b的夹角的余弦值；（2）若向量ka+b与ka2b互相垂直，求k的值举一反三：举一反三：【变式 1】已知ABC、 、三点坐标分别为 21 24 512 2 3， ， ， ， ，求点P坐标使得AP=12AB AC 【变式 2】已知向量= 2 4ax，= 22by， ，若=6a，ab，则xy的值是（）A3或1 B3或1 C3 D1【变式 3】设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足0ABAC ，0ACAD ，0ABAD ，则BCD 是( )A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定类型三：共线和共面向量定理的应用类型三：共线和共面向量定理的应用例例 3已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OEkOA ，OFkOB ，OGkOC，OHkOD 求证：（1）四点EFGH、 、 、共面；（2）平面AC/平面EG【证明】 （1）=OEkOA k OBBAk OBCDk OBOD OCkOBkOD kOC OFOH OG ，1 1 11 ，由共线向量定理可知，点EFGH、 、 、共面（2）EFOF OEkOB kOAk OB OAkAB ，EFAB，又 EF平面AC， AB平面AC， EF 平面AC同理FG平面AC，=EFFG F，平面AC/平面EG举一反三：举一反三：【变式 1】已知3240amnp，(1)82bxmnyp，且, ,m n p 不共面 若a b，求yx,的值【变式 2】下列各组向量共面的是（）A a=(1，0，-1)，b=(1，1，0)，c=(0，1，1)B a=(1，0，0)，b=(0，1，-1)，c=(0，0，1)C a=(1，1，1)，b=(1，-1，0)，c=(1，0，1)D a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1)类型四：空间向量在立体几何中的应用类型四：空间向量在立体几何中的应用例例 4 正三角形 ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将ABC沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B(如图所示)在图中求平面 ABD 与平面 EFD 的夹角的余弦值NODMCBPANODMCBPA举一反三：举一反三：【 变 式 1 】 四 棱 锥中 ， 底 面是 矩 形 ，平 面，以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点（1）求证：平面ABM平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（3）求点N到平面ACM的距离PABCDABCDPAABCD4PAAD2AB ACOACPDMPCN【变式 2】正方形ABCD的边长为 1， PD平面ABCD，且=1PD，EF，分别是ABBC，的中点 (1)求点 D 到平面 PEF 的距离； (2)求直线AC到平面 PEF 的距离 例例 5如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P是侧棱1CC上的一点，CP=m。（）试确定m，使直线 AP 与平面11BDD B所成角的正切值为3 2；（） 在线段11AC上是否存在一个定点Q， 使得对任意的m，1DQ在平面1APD上的射影垂直于AP，并证明你的结论举一反三：举一反三：【变式】 如图， 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， M， N 分别是棱 AB， AD， A1B1， A1D1的中点，点 P，Q 分别在棱 DD1，BB1上移动，且 DPBQ(02)()当 1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ；()是否存在 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值 ； 若不存在，说明理由【巩固练习】【巩固练习】一、选择题一、选择题1平行六面体1111ABCDABC D中，EFGHPQ， ， ， ， ，是111111,A A AB BC CC C D D A的中点，则（ ）A0EFGHPQ B0EFGHPQ C0EFGHPQ D0EFGHPQ 2向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( )Aa与b共线 Ba与b同向 Ca与b反向 Da与b共面3已知平面内有一个点21 2A，的一个法向量为3 1 2， ，n，则下列点P中，在平面内的是（ ）A （1，-1，1） B （1，3，32） C （1，3，32） D （1，3，32）4已知点10 00100 01ABC， ， ， ， ， ，则面ABC的法向量可以是（ ）A （1，1，1） B1( 1,1)2 C1(0,0)2 D （-1，0，1）5已知ABC、 、三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点ABC、 、一定共面的是（ ）AOMOAOBOC B2OMOAOBOC C1123OMOAOBOC D111333OMOAOBOC 6已知(1,21,0)att，(2, ,2 )btt，则|ab的最小值为（ ）A6 B5 C3 D27. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AA1、BB1的中点，G 为棱 A1B1上的一点，且 A1G(01)，则点 G 到平面 D1EF 的距离为( )A3 B22 C23 D55二、填空题二、填空题8已知a(x，2，-4)，b(-1，y，3)，c(1，-2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)_9已知向量(0,2,1)a ，(1, 1,2)b 的夹角为 。10设(3 3 1)(1 0 5)(0 1 0)ABC， ，则 AB 的中点M到点C的距离CM_三、解答题三、解答题13. 如图，四面体ABCD中，BOOD，BECE，2CACBCDBD，2ABAD，（）求证：AO 平面BCD；（）求异面直线 AB 与CD所成角的余弦值；（）求点E到平面ACD的距离.14.如图，正方形 AMDE 的边长为 2，B，C 分别为 AM，MD 的中点，在五棱锥 PABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面 ABF 与棱 PD，PC 分别交于点 G，H(1)求证：ABFG；(2)若 PA底面 ABCDE，且 PAAE，求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小，并求线段 PH 的长15.四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点（）求证：ACSD；（）若SD 平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；（） 在（） 的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得 BE 平面PAC若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由2空间向量与立体几何全章复习与巩固空间向量与立体几何全章复习与巩固1.空间向量的基本运算：空间向量的基本运算：运算类型几何方法运算性质1 平行四边形法则：OCOAOBab 向量的加法2 三角形法则：OBOAABab 加法交换率：. abba加法结合率：()()abcabc()abab ABBC=AC 0ABBA= 向量的减法三角形法则：BAOAOBab ABOAOB向量的乘a是一个向量，满足：0 时，a与a同向；0 时，a与a异向；=0 时， a=0()()aa ()aaa()abab法abab向量的数量积1a b 是一个数：|cos()a ba ba b ， ；20a ，0b=或abba=0a bb a ()()()a baba b ()ab ca cb c 22|aa| | |a bab 2.用向量方法讨论垂直与平行用向量方法讨论垂直与平行图示图示向量证明方法向量证明方法线线平行（a/b）a/b（ab，分别为直线ab，的方向向量）线线垂直（ab）ab（ab，分别为直线ab，的方向向量）线面平行（l/）an，即0=a n（a是直线l的方向向量，n是平面的法向量） 线面垂直（l）a/n（a是直线l的方向向量，n是平面的法向量）面面平行（/）/uv（uv，分别是平面，的法向量）面面垂直（）uv，即0=u v （u，v分别是平面，的法向量）2.用向量方法求角用向量方法求角图示图示向量证明方法向量证明方法异面直线所成的角|cos| |AC BDACBD （A，C是直线a上不同的两点，B，D 是直线b上不同的两点）直线和平面的夹角|sin|cos| |a uau（其中直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的角为）二面角cos（平面与的法向量分别为1n和2n，平面与的夹角为）要点诠释：要点诠释：当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，的夹角的大小。当法向量，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，的夹角的补角的大小。3.用向量方法求距离用向量方法求距离1n2n1n2n12,n n1n2n1n2n12,n nMC1CB1D1A1ABD图示图示向量证明方法向量证明方法点到平面的距离PAd= AA =nn （n为平面的法向量）与平面平行的直线到平面的距离PAd= AA =nn （n是平面的公共法向量）两平行平面间的距离PAd= AA =nn （n是平面，的一个公共法向量）【典型例题】【典型例题】类型一：空间向量的概念及运算类型一：空间向量的概念及运算例例 1 如图， 在平行六面体1111ABCDABC D中，M为11AC与11B D的交点 若ABa ，ADb，1AAc，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A1122abc B1122abc C1122abc D1122abc【答案】A 【解析】1111()2BMBBB MADABAA 1122abc【变式 1】在四边形ABCD中，ABDC，且ACBD0，则四边形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形【答案】B类型二：空间向量的直角坐标运算类型二：空间向量的直角坐标运算例例 2已知空间三点2 0 2A ，1 1 2B ，3 0 4C ，设a=AB ，b=AC （1）求3 -2ab；（2）求a和b的夹角的余弦值；（2）若向量ka+b与ka2b互相垂直，求k的值【解析】2 0 2A ，1 1 2B ，3 0 4C ，a=AB =(1，1，0)，b=AC =（1，0，2） （1）33 3 0a=，22 0 4b= ，3 -25 34ab ， （2）cos| |baba=10025 1010 ，a和b的夹角的余弦值为1010 (2)ka+b=（k，k，0）+（1，0，2）（k1，k，2） ，ka2b=（k+2，k，4） ，(ka+b)（ka2b） ，(ka+b)（ka2b）=（k1，k，2）（k+2，k，4）22(1)282100= kkkkk52k 或2k 举一反三：举一反三：【变式 1】已知ABC、 、三点坐标分别为 21 24 512 2 3， ， ， ， ，求点P坐标使得AP=12AB AC 【答案】1502P，【变式 2】已知向量= 2 4ax，= 22by， ，若=6a，ab，则xy的值是（）A3或1 B3或1 C3 D1【答案】A由题意可知2416364420.xyx ， 解得43xy， 或41.xy， 【变式 3】设 A、B、C、D 是空间不共面的四点，且满足0ABAC ，0ACAD ，0ABAD ，则BCD 是( )A钝角三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D不确定【答案】B 由题意知，过点 A 的棱两两垂直，设AB a，AC b，AD c， 则2()() |0BCBD bacaa， 故CBD 为锐角同理，BCD、CDB 均为锐角， 所以BCD 为锐角三角形类型三：共线和共面向量定理的应用类型三：共线和共面向量定理的应用例例 3已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OEkOA ，OFkOB ，OGkOC，OHkOD 求证：（1）四点EFGH、 、 、共面；（2）平面AC/平面EG【证明】 （1）=OEkOA k OBBAk OBCDk OBOD OCkOBkOD kOC OFOH OG ，1 1 11 ，由共线向量定理可知，点EFGH、 、 、共面（2）EFOF OEkOB kOAk OB OAkAB ，EFAB，又 EF平面AC， AB平面AC， EF 平面AC同理FG平面AC，=EFFG F，平面AC/平面EG举一反三：举一反三：【变式 1】已知3240amnp，(1)82bxmnyp，且, ,m n p 不共面 若a b，求yx,的值【答案】13,8xy 由题意列等式：182324xy，解得13,8xy 【变式 2】下列各组向量共面的是（）A a=(1，0，-1)，b=(1，1，0)，c=(0，1，1)B a=(1，0，0)，b=(0，1，-1)，c=(0，0，1)C a=(1，1，1)，b=(1，-1，0)，c=(1，0，1)D a=(1，1，0)，b=(1，0，1)，c=(0，1，1)【答案】A类型四：空间向量在立体几何中的应用类型四：空间向量在立体几何中的应用例例 4 正三角形 ABC 的边长为 4，CD 是 AB 边上的高，E，F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将ABC沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B(如图所示)在图中求平面 ABD 与平面 EFD 的夹角的余弦值【答案】由已知 CDAD，CDBD， ADB 就是直二面角 A-CD-B 的平面角， ADBD以 D 为原点建立空间直角坐标系，如图，则 D(0，0，0)、A(0，0，2)、B(2，0，0)、C(0，2 3，0)，E、F 分别是 AC、BC 的中点， E(0，3，1)，F(1，3，0)设m(x，y，z)是平面 DEF 的一个法向量由00DEDFmm， 得3030yzxy， 令 y1得313xyz ， (3 13) ，m同理可求得平面 ABD 的一个法向量 n(0，1，0)， 17cos|77 ，mnm nmnNODMCBPA 平面 ABD 与平面 EFD 夹角的余弦值为77举一反三：举一反三：【 变 式 1 】 四 棱 锥中 ， 底 面是 矩 形 ，平 面，以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点（1）求证：平面ABM平面PCD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的正弦值；（3）求点N到平面ACM的距离【解析】 （1）建立空间直角坐标系，则， ，= 2 0 0AB ， ，= 0 2 2AM ，设平面ABM的法向量为1xyz， ，n，则 11=2 0 0 =2 =0=0 2 2 =220.ABxyzxAMxyzyz ， ， ， ，nn 即=0.xyz， 取=1z，则=01xy ， ，平面ABM的一个法向量10 1 1， ，n ，同理可得平面PCD的一个法向量20 1 1， ，n120-1+1=0n n，即12nn，平面ABM平面PCD（2）设平面ACM的一个法向量，由可得：，PABCDABCDPAABCD4PAAD2AB ACOACPDMPCN(0,0,0)A(0,0,4)P(2,0,0)B(2,4,0)C(0,4,0)D(0,2,2)M( , , )nx y z,nAC nAM 240220 xyyzNO令，则，设所求角为，则，故所求角的正弦值为63（3）由题意可得，在中，,则, ，所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为，则，所求距离为510 6=927h【变式 2】正方形ABCD的边长为 1， PD平面ABCD，且=1PD，EF，分别是ABBC，的中点 (1)求点 D 到平面 PEF 的距离； (2)求直线AC到平面 PEF 的距离 【答案】 （1）3 1717； （2）1717.例例 5如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P是侧棱1CC上的一点，CP=m。（）试确定m，使直线 AP 与平面11BDD B所成角的正切值为3 2；（） 在线段11AC上是否存在一个定点Q， 使得对任意的m，1DQ在平面1APD上的射影垂直于AP，1z (2, 1,1)n 6sin3CD nCD n ANNCRt PAC2PAPN PC83PN 103NCPCPN59NCPCPCA M59PCA Mh2 63AP nhn 并证明你的结论【解析】 （）建立如图所示的空间直角坐标系，则111,0,0 ,1,1,0 , (0,1,)0,1,0 ,0,0,0 ,1,1,1 ,0,0,1 .ABPmCDBD，所以1( 1, 1,0),(0,0,1),BDBB ( 1,1,),( 1,1,0).APm AC 由110,0AC BDAC BBACD D 1知为平面BB的一个法向量设AP与11BDD B面所成的角为，则2|2sincos()2| |22AP ACAPACm 依题意有：2223 2221(3 2)m，解得13m 故当13m 时，直线 AP 与平面11BDD B所成角的正切值为3 2（）若在11AC上存在点Q，设点,11Q xx ，1=,1,0DQxx ，依题意，111=010=2DQAPDQ APxxx ，即Q为11AC中点时，满足题设.举一反三：举一反三：【变式】 如图， 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， M， N 分别是棱 AB， AD， A1B1， A1D1的中点，点 P，Q 分别在棱 DD1，BB1上移动，且 DPBQ(02)()当 1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ；()是否存在 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值 ； 若不存在，说明理由【解析】()证明：建立坐标系，则 B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，)，1BC(2，0，2)，FP(1，0，)，FE(1，1，0)1 时，1BC(2，0，2)，FP(1，0，1)，1BC2FP，BC1FP，FP平面 EFPQ，BC1平面 EFPQ，直线 BC1平面 EFPQ；()设平面 EFPQ 的一个法向量为m(x，y，z)，则00zxyx，取m(，1)同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为n(2，2，1)，若存在 ，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则n m(2)(2)10，122存在 122，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角【巩固练习】【巩固练习】一、选择题一、选择题1平行六面体1111ABCDABC D中，EFGHPQ， ， ， ， ，是111111,A A AB BC CC C D D A的中点，则（ ）A0EFGHPQ B0EFGHPQ C0EFGHPQ D0EFGHPQ 1【答案】A【解析】由向量加法法则和减法法则可知2向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( )Aa与b共线 Ba与b同向 Ca与b反向 Da与b共面2 【答案】A 【解析】 a，b不能与任何向量构成空间基底，故a与b一定共线3已知平面内有一个点21 2A，的一个法向量为3 1 2， ，n，则下列点P中，在平面内的是（ ）A （1，-1，1） B （1，3，32） C （1，3，32） D （1，3，32）3 【答案】B 4已知点10 00100 01ABC， ， ， ， ， ，则面ABC的法向量可以是（ ）A （1，1，1） B1( 1,1)2 C1(0,0)2 D （-1，0，1）4 【答案】A【解析】-1,1,0 ,0 -11ABAC ， ，设平面ABC的法向量为= xyz， ，n，则 =- + =0,-0.xyzABx yACyz ， ，nnn ，即= ,.x yzy， 满足上式的选项只有 A.5已知ABC、 、三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点ABC、 、一定共面的是（ ）AOMOAOBOC B2OMOAOBOC C1123OMOAOBOC D111333OMOAOBOC 5.【答案】D【解析】由共面向量定理知，若, , ,M A B C四点共面，则空间任意一点O，有1OMxOAyOBzOC xyz 6已知(1,21,0)att，(2, ,2 )btt，则|ab的最小值为（ ）A6 B5 C3 D26 【答案】D 【解析】 222|( 1-1 -2t)|62t tt ， ，ab 当0t 时，|ab值最小，且min|2ab7. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别为棱 AA1、BB1的中点，G 为棱 A1B1上的一点，且 A1G(01)，则点 G 到平面 D1EF 的距离为( )A3 B22 C23 D557. 【答案】D 【解析】A1B1面 D1EF， G 到面 D1EF 的距离为 A1到面 D1EF 的距离在A1D1E 中，过 A1作 A1HD1E，交 D1E 于 H，显然 A1H面 D1EF，则 A1H 即为所求在 RtA1D1E 中，11112111525112ADAEAHD E二、填空题二、填空题8已知a(x，2，-4)，b(-1，y，3)，c(1，-2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)_8 【答案】642617，【解析】由题意知21204401 230 xyxzyz ，解得 x-64，y-26，z-179已知向量(0,2,1)a ，(1, 1,2)b 的夹角为 。9 【答案】2 【解析】由于=0a b，所以ab，即，ab的夹角为210设(3 3 1)(1 0 5)(0 1 0)ABC， ，则 AB 的中点M到点C的距离CM_10 【答案】532 【解析】点 M 的坐标为3(2,3)2，1(2,3)2CM ，2221|2( )32CM 532三、解答题三、解答题13. 如图，四面体ABCD中，BOOD，BECE，2CACBCDBD，2ABAD，（）求证：AO 平面BCD；（）求异面直线 AB 与CD所成角的余弦值；（）求点E到平面ACD的距离.13.【解析】 （）连结CO AB=AD，AOBD，又1AO ，3CO ，222AOCOAC，AOOC，AO 平面BOC，（）如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系， 则 B（1，0，0），(0,0,1)A，(0, 3,0)C，( 1,0,0)D ，13( ,0)22E，( 1,0,1)BA ，( 1,3,0)CD 2cos,4| |BA CDBA CDBACD 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦为24.（）(0, 3, 1)AC ，(1,0,1)DA ，13(,0)22EC ，设平面ACD的法向量为( , , ),nx y z则00n DAn AC ，即030 xzyz，令1,y 得(3,1, 3)n 点E到平面ACD的距离|3217|7EC nhn .14.如图，正方形 AMDE 的边长为 2，B，C 分别为 AM，MD 的中点，在五棱锥 PABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面 ABF 与棱 PD，PC 分别交于点 G，H(1)求证：ABFG；(2)若 PA底面 ABCDE，且 PAAE，求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小，并求线段 PH 的长14. 【解析】 (1)证明：在正方形 AMDE 中，B 是 AM 的中点，ABDE，又AB平面 PDE，AB平面 PDE，AB平面 ABF，且平面 ABF平面 PDEFG，ABFG；(2)解：PA底面 ABCDE，PAAB，PAAE，如图建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，E(0，2，0)，F(0，1，1)，0 , 1 , 1BC，设平面 ABF 的法向量为 n(x，y，z)，则000AF0ABzyxnn即，令 z1，则 y1，n(0，1，1)，设直线 BC 与平面 ABF 所成的角为 ，则21|BC| |BC|BC,cos|sinnnn，直线 BC 与平面 ABF 所成的角为6，设 H(u，v，w)，H 在棱 PC 上，可设10PCPH，即(u，v，w2)(2，1，2)，u2，v，w22，n 是平面 ABF 的法向量，nAH0，即(0，1，1)(2，22)0，解得32，H32,32,34)，2343234PH22215.四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点（）求证：ACSD；（）若SD 平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；（） 在（） 的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得 BE 平面PAC若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由15.（）证明：连，设交于，由题意知平面建立坐标系如图()由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求角为，则，平面与平面的夹角为2BDACBDOSO ABCDOxyzPAC26(,0,)22DSaa DAC6(0,0,)2OSa 23cosDSOSDSOSPACDAC30（）在棱 SC 上存在一点使由（）知是平面的一个法向量，且，设，而，即当时，而不在平面内，故E/ /BEPAC平面DS PAC26(,0,)22DSaa 26(0,)22CSaa CEtCS 226 (,(1),)222BEBCCEBCtCSaatat 则310tDSBE:2:1SE EC BEDS BEPAC/ /BEPAC平面