1、空间直角坐标系问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？追问1：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系，它包括哪些要素？这些要素需要满足什么条件？坐标系三要素坐标系三要素平面直角平面直角坐标系坐标系空间直角空间直角坐标系坐标系Oxy坐标原点O单位长度三条互相垂直的坐标轴坐标原点互相垂直的两条坐标轴 轴和 轴单位长度原点坐标轴单位长度追问2：你能否给出空间直角坐标系的定义呢？平面直角坐标系平面直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系在平面内选定一点 和一个单位正交基底 ， .以 为原点，分别以 ， 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴： 轴、 轴.OijO
2、 叫做 ， ， ，ijk在空间选定一点 和三个基向量，Oijyx以 为原点，Oijk， ，xyz 它们是两两互相垂直的单位向量. 分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、 轴、 轴.空间直角坐标系定义空间直角坐标系定义 在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . Oijk空间直角坐标系定义空间直角坐标系定义 在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . Oijkj空间直角坐标系定义空间直角坐标系定义 在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. O
3、ijkOijkxyzj空间直角坐标系定义空间直角坐标系定义 在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. OijkOijkxyzj空间直角坐标系定义空间直角坐标系定义 在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ， 都叫做坐标向量，OijkOijkxyzOxyzOijkj空间直角坐标系定义空间直角坐标系定
4、义 在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ， 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.OijkOijkxyzOxyzOijkxOyyOzzOxj空间直角坐标系定义空间直角坐标系定义 在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时
5、我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ， 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.OijkOijkxyzOxyzOijkxOyyOzzOxj空间直角坐标系定义空间直角坐标系定义 在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ， 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.OijkOij
6、kxyzOxyzOijkxOyyOzzOxj追问3：空间直角坐标系如何画呢？平面直角坐标系平面直角坐标系j空间直角坐标系空间直角坐标系平面直角坐标系平面直角坐标系j空间直角坐标系空间直角坐标系j平面直角坐标系平面直角坐标系j空间直角坐标系空间直角坐标系j 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.xyzj 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.xyzj 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向
7、，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.xyzj问题问题2 2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？A追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？A追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？A追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？A追问2：在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？OA 平面直角坐标系内空间直角坐标系内取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数 ， ，使得 . 我们
8、把有序数对 ， 叫做 的坐标，记作 ， .xyijxyxyaijxyaxay取与 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量 ， ， 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使得 .xyzij kxyzOAxy ijk+z 定义：在单位正交基底 ， 下与向量 对应的有序实数组 ， ， ，叫做点 在空间直角坐标系中的坐标，记作 , , ， 其中 叫做点 的横坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标.ijkOA xyzAxyzxyAAzAj追问2：在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？OA a追问3：对于给定的向量 又该如何定义它的坐标呢？ja追问3：对于给定的向量 又该如何定义它的
9、坐标呢？我们在空间直角坐标系 中可以作 .Oxyz=OA aj我们在空间直角坐标系 中可以作 .Oxyz=OA a 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使 xyzxyzaijk有序实数组 ， 叫做 在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记为 ， ， xyzyzxajaOxyz追问3：对于给定的向量 又该如何定义它的坐标呢？a问题问题3: 3: 在空间直角坐标系在空间直角坐标系 中，对中，对空间任意一点空间任意一点 ，或任意一个向量，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐你能借助几何直观确定它们的坐标标 ， ， 吗？吗？OxyzAOA xyzj过点 分别作垂直于 轴、 轴和
10、 轴的平面Axyz过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面Axyzj过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，Axyzj过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .AxyzxyzBDCj过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .AxyzxyzBDC 可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， . OA xyzOB OCODj过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .AxyzxyzBDC 可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， . OA xyzOB OCOD
11、=OE OBOC j过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .AxyzxyzBDC 可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， . OA xyzOB OCOD=OE OBOC =OA OEEA j过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .AxyzxyzBDC 可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， . OA xyzOB OCOD=OE OBOC =OA OEEA j过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .AxyzxyzBDC 可以证明 在 轴、 轴、
12、轴上的投影向量分别为 ， ， . OA xyzOB OCOD=OE OBOC =OA OEEA OBOCEA j过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .AxyzxyzBDC 可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， . OA xyzOB OCOD=OE OBOC =OA OBOCOD j=OA OEEA OBOCEA 过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .AxyzxyzBDC 可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， . OA xyzOB OCOD=OE OBOC =OA OBOCOD
13、 j=OA OEEA OBOCEA 过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .AxyzxyzBDC 可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， . OA xyzOB OCOD=OE OBOC =OA OBOCOD 即点 或者向量 的坐标就是 ， ， .xyzOAxyz ijkAOA xyzj=OA OEEA OBOCEA 思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点 或任意一个向量 的坐标呢？Aa点 的坐标给定的向量 的坐标 的坐标 应用空间向量基本定理确定坐标根据几何直观确定 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标AOA aOA 问题
14、4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB（2）写出向量 , , , 的坐标.A B B B AC AC 追问1：题目条件中的 ， ， 为什么是单位正交基底？13OA 14OC12OD 由图可知， 在 轴上，且 ，所以 ，OA x3OA 113OA = 同理 ， ，所以 ， ， 是单位正交基底.114OC=112OD =13OA 14OC12OD 问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，
15、建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz追问2：求空间点的坐标我们有哪些 基本解题思路？问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB解题依据空间向量基本定理几何直观追问3：观察图形，所求的 ， ， ， 四点的位置有什么不同？D CA B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCD
16、ABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB解：因为点 在 轴上，且 ，根据空间向量基本定理易得 . 所以点 的坐标是 , , .DDz2OD 002OD ijk002问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC
17、2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB解：同理，点 的坐标就是 的坐标，由空间向量基本定理易得 . 所以点 的坐标是 , , .COC 040OC ijkC040点的位置点的坐标点 在 轴上方法提炼：Dz点 在 轴上CyD, , ,0 02C040问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立
18、如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？xyzA追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？xyzA问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC
19、 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？xyzACAB问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？xyzACAB 点 在 轴、 轴和 轴上的射影分别是 ， ，它们在坐标轴上的坐标分别是 ， ，所以点 的坐标是 ， . AxyzADOA3 0 2问题4 如图，在长方体 中， ，
20、， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？xyzA3 02CAB问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3O
21、A 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB 点 在 轴、 轴和 轴上的射影分别是 ， ， ，它们在坐标轴上的坐标分别是 ， ， ，所以点 的坐标是 ， . xyzADC3 4 2A3 42B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3O
22、A 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB思路小结： 1）过点分别作各坐标轴的垂面； 2）确定点在坐标轴上的射影的坐标； 3）得到空间点的坐标.问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；D CAB（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC 追问5：怎么求解空间给定向量的坐标？问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
23、所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD OxyzB B追问6：观察几何体，有没有过原点的向 量与所求向量相等？ 在长方体中易知 ， ，AB OC =BBOD =0400,4,0AB OC =ijk=0020,0, 2BBOD =ijk问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC B B,.追问7：对于 和 ，没有棱所在的向量与它们相等，那又该怎么办呢？A
24、C AC 问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC B B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC A C = A DD C B B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所
25、示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC A C = A DD C B B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC A C = A DD C B B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD
26、13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC A C = A DD C = OA +OCB B 0403403,4,0-300= ij + kijkijk问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz= OA A C = A DD C +OC（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC B B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDAB
27、C 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC AC = ACCC B B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC AC = ACCC B B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向
28、量 , , , 的坐标.A B AC AC = OAOCCC AC = ACCC B B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC = OAOCCC AC = ACCC B B问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC A
29、C = OAOCOD = OAOCCC AC = ACCC B B 0400023423,4,2-300=ij+ kijkijkijk= OAOCOD = OAOCCC AC = ACCC 问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC B B思路小结：思路小结：通过分析几何体的结构特征，将所求向量写成基向量的和，从而得到空间向量的坐标.问题4 如图，在长方体 中， ， ， , 以 ， ， 为单位正交基底，建
30、立如图所示的空间直角坐标系 .OABCDABC 3OA 4OC 2OD 13OA 14OC12OD Oxyz（2）写出向量 , , , 的坐标.A B AC AC B B问题问题5 5：回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和 空间向量的坐标表示的？空间向量的坐标表示的？平面直角坐标平面直角坐标系系空间直角坐标空间直角坐标系系空间点和空间空间点和空间向量的坐标表向量的坐标表示示空间点或向量的坐标将点或向量用单位正交基底 ， ， 来表示，它们的系数就是点或向量的坐标.空间向量基本定理确定点对应的向量在各个轴上的投影向量，根据投影向量的坐标得到点或向量的坐标.几何直观ijk问题问题6 6：如何求空间点或向量的坐标呢？如何求空间点或向量的坐标呢？课后作业1. 在空间直角坐标系中标出下列各点：2. 在长方体 中， ， ， ， 与 相交于点 ，建立如图所示的空间直角坐标系 .（1）写出点 的坐标；（2）写出向量 ， 的坐标. 0A， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，241B050C201D34OABCD A B C 3OA 4OC 3OD A C BD POxyzCBP， ，BBA C 谢谢观看祝同学们学习生活愉快！
