第一章空间向量单元测试题（偏难）- 新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

2021-2022 年度高二第一学期单元测试2021-2022 年度高二第一学期单元测试空间向量与立体几何空间向量与立体几何一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，正方体1111ABCDABC D的棱长为a，M，N分别为1AB和AC上的点，123aAMAN，则MN与平面11BBC C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定2. 已知正四面体ABCD的棱长为 1，点E、 F 分别是AD、DC中点，则(EF AB )A14B14C34D343. 三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，11AAABAC，ABAC，N是BC的中点，点P在11AB上，且满足111APAB，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为()A12B22C32D2 554. 如图，在长方体1111ABCDABC D中，2AB ，3BC ，16AA ，则异面直线1AB与1BC所成角的大小为()A60B45C30D155. 如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC， BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB 已知4AB ，6AC ，8BD ，则CD的长为()A17B7C2 17D96. 在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E， F 分别为11AD，11DC的中点，则过B，E， F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为()A5 2B6 2C22 13D24 137. 在长方体1111ABCDABC D中，2AB ，11BCAA，点M为1AB的中点，点P为对角线1AC上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合） ，则MPPQ的最小值为()A22B32C34D18. 把正方形ABCD沿对角线 BD折成直二面角，对于下列结论：ACBD；ADC是正三角形； AB 与CD成60角； AB 与平面BCD成60角则其中正确结论的个数是()A1 个B2 个C3 个D4 个二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9. 如图，在正方体1111ABCDABC D中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是()A点1C，1D到平面PMN的距离相等BPN与QM为异面直线C90PNMD平面PMN截该正方体的截面为正六边形10. 如图，棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D的内切球为球O，E、 F 分别是棱 AB 和棱1CC的中点，G在棱BC上移动，则下列结论成立的有()A存在点G，使OD垂直于平面EFGB对于任意点G，/ /OA平面EFGC直线 EF 的被球O截得的弦长为2D过直线 EF 的平面截球O所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为211. 如图所示是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：AB与EF所在的直线平行；AB与CD所在的直线异面；MN与BF所在的直线成60角；MN与CD所在的直线互相垂直其中正确的命题是()A B C D12. 在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB ，其中0,1，0,1，则（ ）A. 当1时，1AB P的周长为定值B. 当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C. 当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD. 当12时，有且仅有一个点P，使得1AB 平面1AB P三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 如图，动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD上，过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M，N两点，设BPx，MNy，则函数( )yf x的图象大致是 （在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）14.如图，矩形ABCD中，2ABAD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1ADE若M为线段1AC的中点，则在ADE翻折过程中，下列命题正确的是 （写出所有正确的命题的编号）线段BM的长是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使1DEAC；存在某个位置，使/ /MB平面1ADE15.正方体1111ABCDABC D中，E、F分别是棱11AB，BC上的动点，且1AEBF，P为EF的中点，则点P的轨迹是 16.正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，E， F 分别是BC和11C D的中点，经过点A，E， F 的平面把正方体1111ABCDABC D截成两部分，则截面的周长为四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 如图，直线AQ 平面，直线AQ 平行四边形ABCD，四棱锥PABCD的顶点P在平面上，7AB ，3AD ，ADDB，ACBDO，/ /OPAQ，2AQ ，M，N分别是AQ与CD的中点（1）求证：/ /MN平面QBC；（2）求二面角MCBQ的余弦值18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，ADAF，2AEAD（）证明：平面PAD 平面ABFE；（）求正四棱锥PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是2 2319. 如图，已知长方形ABCD中，2AB ，1AD ，M为DC的中点将ADM沿AM折起，使得平面ADM 平面ABCM（1）求证：ADBM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为5520. 如图 ，PD垂 直 于梯形ABCD所 在 的 平面 ，90ADCBAD F为PA中 点 ，2PD ，112ABADCD 四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N（）求证：/ /AC平面DEF；（）求二面角ABCP的大小；（）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为6？若存在，求出Q点所在的位置；若不存在，请说明理由21. 已知长方形ABCD中，1AB ，2AD ，现将长方形沿对角线BD折起，使ACa，得到一个四面体ABCD，如图所示（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由（2）当四面体ABCD体积最大时，求二面角ACDB的余弦值22. 如图，AB是圆O的直径， 点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面， 且1POOB，（）若 D 为线段AC的中点，求证：AC 平面PDO；（）求三棱锥PABC体积的最大值；（）若2BC ，点E在线段PB上，求CEOE的最小值2021-2022 年度高二第一学期单元测试2021-2022 年度高二第一学期单元测试空间向量与立体几何空间向量与立体几何一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 如图所示，正方体1111ABCDABC D的棱长为a，M，N分别为1AB和AC上的点，123aAMAN，则MN与平面11BBC C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定【解答】解：正方体棱长为a，123aAMAN，123MBAB，23CNCA ，11112222()()3333MNMBBCCNABBCCAABB BBCCDDA 1112133B BBC又CD是平面11B BCC的法向量，且11121()033MN CDB BBCCD ，MNCD ，/ /MN平面11B BCC故选：B2. 已知正四面体ABCD的棱长为 1，点E、 F 分别是AD、DC中点，则(EF AB )A14B14C34D34【解答】解：点E、 F 分别是AD、DC中点12EFAC 11111| |cos601 122224EF ABAC ABACAB 故选：A3. 三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，11AAABAC，ABAC，N是BC的中点，点P在11AB上，且满足111APAB，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为()A12B22C32D2 55【解答】解：如图，以 AB ，AC，1AA分别为x，y， z 轴，建立空间直角坐标系Axyz，则(P，0，1)，1(2PN，12，1)，平面ABC的一个法向量为(0n ，0，1)2|1sin| |15()24PN nPNn，当12时，2 5(sin )5max，此时角最大为2 5arcsin5故选：A4. 如图，在长方体1111ABCDABC D中，2AB ，3BC ，16AA ，则异面直线1AB与1BC所成角的大小为()A60B45C30D15【解答】解：如图：连结1AD，11B D，则异面直线1AB与1BC所成角为11B AD，在11B AD中，1262 2AB ；1363AD ；11235B D ；则119852cos2232 2B AD ，1145B AD，故选：B5. 如图，60的二面角的棱上有A，B两点，直线AC， BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB 已知4AB ，6AC ，8BD ，则CD的长为()A17B7C2 17D9【解答】解：CAAB，BDAB，0CA AB ，0DB AB CDCAABBD ，2222222CDCAABBDCA ABCA BDAB BD 22264826 8cos12068 ，2 17CD故选：C6. 在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，E， F 分别为11AD，11DC的中点，则过B，E， F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为()A5 2B6 2C22 13D24 13【解答】解：如图，延长 EF ， FE ，分别交11BC，11B A的延长线于点H，G连结BG，BH，分别交1AA，1CC于点 I ，J，则五边形BIEFJ为所求截面平面1/ /BC平面1A D，平面BGH与之交线/ /IEBJ，棱长为 2 的正方体1111ADCBADC B中，可得2242 132( )33BIGJ，222131( )33EIFJ，2EF ，则过 D ，E， F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为：132 1322()22 1333故选：C7. 在长方体1111ABCDABC D中，2AB ，11BCAA，点M为1AB的中点，点P为对角线1AC上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合） ，则MPPQ的最小值为()A22B32C34D1【解答】 解：由题意，要求MPPQ的最小值，就是P到底面ABCD的距离的最小值与MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距离最小，展开三角形1ACC与三角形11ABC，在同一个平面上，如图，易知11130B ACC AC ，32AM ，可知MQAC时，MPPQ的最小，最小值为：33sin6024 故选：C8. 把正方形ABCD沿对角线 BD折成直二面角，对于下列结论：ACBD；ADC是正三角形； AB 与CD成60角； AB 与平面BCD成60角则其中正确结论的个数是()A1 个B2 个C3 个D4 个【解答】解：取 BD的中点E，则AEBD，CEBDBD面AECBDAC，故正确设正方形边长为a，则ADDCa，22AEaECACaADC为等边三角形，故正确ABD为 AB 与面BCD所成的角为45，以E为坐标原点，EC、 ED、EA分别为x，y， z 轴建立直角坐标系，则(0A，0，2)2a，(0B，22a，0)，(0D，22a，0)，2(2Ca，0，0)(0AB ，22a，2)2a，2(2DCa，22a，0)cosAB ，12DC ，AB ，60DC ，故正确ABD为 AB 与面BCD所成的角为45，故不正确故选：C二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9. 如图，在正方体1111ABCDABC D中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是()A点1C，1D到平面PMN的距离相等BPN与QM为异面直线C90PNMD平面PMN截该正方体的截面为正六边形【解答】解：如图，取BC中点E，1CC中点 F ，则有六边形MQNPEF为正六边形，对于A，根据正方体的对称性，可得点1C，1D到平面MQNPEF的距离相等，A正确；对于B，PN与QM为共面直线，故B错；对 于C， 在 正 六 边 形MQNPEF中 ， 设1PN ， 则2PM ，3MN ，222MNPNPM， 则MNPN，故C正确；对于 D ，平面PMN截该正方体的截面为正六边形，故 D 正确故选：ACD10. 如图，棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D的内切球为球O，E、 F 分别是棱 AB 和棱1CC的中点，G在棱BC上移动，则下列结论成立的有()A存在点G，使OD垂直于平面EFGB对于任意点G，/ /OA平面EFGC直线 EF 的被球O截得的弦长为2D过直线 EF 的平面截球O所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为2【解答】解：正方体的内切球的球心即正方体的中心O，1R ，对于A，当G为BC的中点时，EGBD，1BBEG，1BBBDB，EG平面1BB D，而1B D 平面1BB D，则1EGB D，同理，FG 平面1BCD，可得1FGB D，EGFGG，1B D平面EFG，即OD垂直于平面EFG，故A正确；对于B，当G与B重合时，A平面 EFB ，O平面 EFB ，OA与平面EFG相交，此时/ /OA平面EFG不成立，故B错误；对于C，22516EFECFC，取 EF 的中点M，由对称性可知，OEOF，OMEF，2OE ，2222OMOEEM，即O到 EF 的距离为22，直线 EF 的被球O截得的弦长为222222 1()22ROM，故C正确；对于 D ，设截面圆的半径为r ，O到平面的距离为d，则222rdR，当O到平面的距离最大时，截面圆的半径r 最小，O到平面的距离小于等于O到 EF 的距离，当22d 时，2221()22minr，半径最小的圆的面积为22r，故 D 正确故选：ACD11. 如图所示是一个正方体的展开图，在原来的正方体中，有下列命题：AB与EF所在的直线平行；AB与CD所在的直线异面；MN与BF所在的直线成60角；MN与CD所在的直线互相垂直其中正确的命题是()A B C D【解答】解：由展开图可知，各点在正方体中的位置如下：由图可知，ABEF且异面，不正确；AB与CD异面，正确；/ /MNBF，不正确；MNCD，正确故正确的命题是：，故答案为：12. 在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB ，其中0,1，0,1，则（ ）A. 当1时，1AB P的周长为定值B. 当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C. 当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD. 当12时，有且仅有一个点P，使得1AB 平面1AB P【答案】BD【解析】【分析】对于 A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于 B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于 C，考虑借助向量平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；对于 D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数【详解】易知，点P在矩形11BCC B内部（含边界） 对于 A，当1时，11=BPBCBBBCCC ，即此时P线段1CC，1AB P周长不是定值，故 A的错误；对于 B， 当1时，1111=BPBCBBBBBC ， 故此时P点轨迹为线段11BC， 而11/BCBC，11/BC平面1ABC，则有P到平面1ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故 B 正确对于 C，当12时，112BPBCBB ，取BC，11BC中点分别为Q，H，则BPBQQH ，所以P点轨迹为线段QH， 不妨建系解决， 建立空间直角坐标系如图，13,0,12A，0,0P,，10,02B，则13,0,12AP ，10,2BP ，10 ，所以0或1故,H Q均满足，故C 错误；对于 D，当12时，112BPBCBB ，取1BB，1CC中点为,M NBPBMMN ，所以P点轨迹为线段MN设010,2Py，因为30,02A，所以031,22APy ，13 1, 122AB ，所以00311104222yy ，此时P与N重合，故 D 正确故选：BD【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 如图，动点P在正方体1111ABCDABC D的对角线1BD上，过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M，N两点，设BPx，MNy，则函数( )yf x的图象大致是 （在横线上填上正确的序号，多选少选都不得分）【解答】解：由题意知，MN 平面11BB D D，则MN在底面ABCD上的射影是与对角线AC平行的直线，故当动点P在对角线1BD上从点B向1D运动时，x变大y变大，直到P为1BD的中点时，y最大为AC；然后x变小y变小，直到y变为 0，因底面ABCD为正方形，故变化速度是均匀的，且两边一样故答案为：14.如图，矩形ABCD中，2ABAD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1ADE若M为线段1AC的中点，则在ADE翻折过程中，下列命题正确的是 （写出所有正确的命题的编号）线段BM的长是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使1DEAC；存在某个位置，使/ /MB平面1ADE【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则1/ /MFDA，/ /BFDE，平面/ /MBF平面1ADE，/ /MB平面1ADE，故D正确由1ADEMFB ，112MFAD定值，FBDE定值，由余弦定理可得2222cosMBMFFBMF FBMFB，所以MB是定值，故正确B是定点，M是在以B为球心，MB为半径的球上，故正确，若成立，则由DECE，可得DE 面1A EC1DEA E，而这与11DAA E矛盾故错误取CD中点F，连接MF，BF，则平面/ /MBF平面1ADE，可得正确；故正确的命题有：，故答案为：15.正方体1111ABCDABC D中，E、F分别是棱11AB，BC上的动点，且1AEBF，P为EF的中点，则点P的轨迹是直线【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设正方体的棱长为 1 个单位，由于E在11AB上，F在BC上，所以EF的中点P必在该直角坐标平面内设( , )P x y，设BFa，则11B Ea ，如图，1122OQBFa，所以12xa， ，又有，111(1)22PQB Ea，所以1(1)2ya， ，将两式相加得，12xy，显然，点P的轨迹为“直线” 故答案为：直线16.正方体1111ABCDABC D的棱长为 4，E， F 分别是BC和11C D的中点，经过点A，E， F 的平面把正方体1111ABCDABC D截成两部分，则截面的周长为102 1353 533【解答】解：如图所示：过点 F 作/ /FHAE交11AD于H，由题意可得2222422 5AEABBE，易知11D H ，可得2211145HFD HD F，所以点H为11AD的四等分点，可得222211435AHAAAH，所以11114D HAD，过点E作/ /EPAH交1CC于点P，则1AAHPCE，所以11AACPAHCE，解得83CP ，所以截面与11BCC B的交线段长为22103PECECP，22221182 13(4)233PFC PC F，可得截面的周长102 13102 132 55553 53333LAEEPPFFHHA故答案为：102 1353 533四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.四解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 如图，直线AQ 平面，直线AQ 平行四边形ABCD，四棱锥PABCD的顶点P在平面上，7AB ，3AD ，ADDB，ACBDO，/ /OPAQ，2AQ ，M，N分别是AQ与CD的中点（1）求证：/ /MN平面QBC；（2）求二面角MCBQ的余弦值【解答】 【答案】（1）连接OM，ON，底面ABCD为平行四边形，N是CD的中点，O是BD的中点，/ /ONBC，M是AQ的中点，O是AC的中点，/ /OMQC，ONOMO，BCQCC，平面/ /OMN平面QBC，MN 平面OMN，/ /MN平面QBC；（2）由AQ 平面，AQ 平行四边形ABCD平面/ /底面ABCD，/ /OPAQ，2OPAQ，四边形PQAO为矩形，且PO 底面ABCD，ADDB，过D作/ /DZOP，以DA，DB，DZ所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图）由7,3,ABADADDB，知2DB ，(0,0,0), ( 3,0,0),( 3,0, 1),( 3,0, 2), (0,2,0),(3,2,0)DAMNBC(3,2,1)MB ，( 3,0,0)CBDA ，(3,2,2)QB ，设平面MCB的法向量1111(,)nx y z ，则11111132030n MBxyzn CBx ，取11y ，12z ，10 x ，即1(0, 1,2)n ，设平面QCB的法向量2222(,)nxyz ，则22222232030n QBxyzn CBx ，取21y ，22z ，20 x ，即2(0, 1,1)n ，二面角MCBQ的平面角的余弦值12123 10cos10|n nnn 18. 如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，ADAF，2AEAD（）证明：平面PAD 平面ABFE；（）求正四棱锥PABCD的高h，使得二面角CAFP的余弦值是2 23【解答】证明： （）几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个正四棱锥PABCD组合而成，ADAF，ADAB，又AFABA，AD平面ABEF，又AD 平面PAD，平面PAD 平面ABFE解： （）以A 为原点，AB、AE、AD的正方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz设正四棱棱的高为h，2AEAD，则(0A，0，0)，(2F，2，0)，(2C，0，2)，(1P，1，1)设平面ACF的一个法向量(mx，y，) z，(2AF ，2，0)，(2AC ，0，2)，则220220m AFxym ACxz，取1x ，得(1m ，1，1)，设平面ACP的一个法向量(na，b，)c，则2200n AFabn APahbc ，取1b ，则( 1n ，1，1)h，二面角CAFP的余弦值2 23，2| 1 1(1)|2 2|cos,| |332(1)m nhm nmnh ，解得1h 19. 如图，已知长方形ABCD中，2AB ，1AD ，M为DC的中点将ADM沿AM折起，使得平面ADM 平面ABCM（1）求证：ADBM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角EAMD的余弦值为55【解答】 （1）证明：长方形ABCD中，2AB ，1AD ，M为DC的中点，2AMBM，BMAM，平面ADM 平面ABCM，平面ADM平面ABCMAM，BM 平面ABCMBM平面ADMAD 平面ADMADBM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设DEDB ，则平面AMD的一个法向量(0,1,0)n ，22(22ME，2，22)22，(2,0,0)AM 设平面AME的一个法向量为( , , )mx y z，2022(1)02xyz取1y ，得0 x ，1y ，21z，所以(0m ，1，2)1，因为5cos,| |5m nm nmn 求得12，所以E为BD的中点20. 如图 ，PD垂 直 于梯形ABCD所 在 的 平面 ，90ADCBAD F为PA中 点 ，2PD ，112ABADCD 四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N（）求证：/ /AC平面DEF；（）求二面角ABCP的大小；（）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为6？若存在，求出Q点所在的位置；若不存在，请说明理由【解答】 （本小题满分 14 分）证明： （）连接FN，在PAC中，F，N分别为PA，PC的中点，所以/ /FNAC，因为FN 平面DEF，AC 平面DEF，AC 平面DEF，所以/ /AC平面DEF （5 分）解 ： （） 如图， 以D为原点， 分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系Dxyz，则(0P，0，2)，(1B，1，0)，(0C，2，0)，(1,1,2)PB ，( 1BC ，1，0)，设平面PBC的法向量为(mx，y，) z，则200m PBxyzm BCxy ，取1x ，得(1m ，1，2)，因为平面ABC的法向量(0n ，0，1)，所以2cos,| |2n mn mnm ，由图可知二面角ABCP为锐二面角，所以二面角ABCP的大小为4 （10 分）（）设存在点Q满足条件，且Q点与E点重合由12( ,0,)22F，(0E，2，2)，设(01)FQFE ，整理得1(2Q，2，2(1)2，1(2BQ ，21，2(1)2，因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为6，所以2|51|1sin|cos,| |62| |2 19107BQ mBQ mBQm ，则21，知1，即Q点与E点重合 （14 分）21. 已知长方形ABCD中，1AB ，2AD ，现将长方形沿对角线BD折起，使ACa，得到一个四面体ABCD，如图所示（1）试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由（2）当四面体ABCD体积最大时，求二面角ACDB的余弦值【解答】解： （1）若ABCD，由ABAD，ADCDD，得AB 面ACD，ABAC，222ABaBC，即212a，解得1a ，若ADBC，由ABAD，ABBCB，得AD 平面ABC，ADAC，222ADaCD，即221a，解得21a ，不成立，ADBC不成立（2）四面体ABCD体积最大，BCD面积为定值22，只需三棱锥ABCD的高最大即可，此时面ABD 面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则(0A，0，6)3，63(,33C，0)，(0D，2 33，0)，面BCD的法向量为(0OA ，0，6)3，面ACD的法向量(nx，y，) z，63(,0)33CD ，2 36(0,)33DA ，则630332 36033n CDxyn DAyz ，取2y ，得(1, 2, 2)n ，设二面角ACDB的平面角为，则2 6|2 73cos|cos,|7| |673n OAn OAnOA ，二面角ACDB的余弦值为2 7722. 如图，AB是圆O的直径， 点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面， 且1POOB，（）若 D 为线段AC的中点，求证：AC 平面PDO；（）求三棱锥PABC体积的最大值；（）若2BC ，点E在线段PB上，求CEOE的最小值【解答】解： （）在AOC中，因为OAOC， D 为AC的中点，所以ACDO，又PO垂直于圆O所在的平面，所以POAC，因为DOPOO，所以AC 平面PDO（）因为点C在圆O上，所以当COAB时，C到AB的距离最大，且最大值为 1，又2AB ，所以ABC面积的最大值为12 112 ，又因为三棱锥PABC的高1PO ，故三棱锥PABC体积的最大值为：111 133 （）在POB中，1POOB，90POB，所以22112PB ，同理2PC ，所以PBPCBC，在三棱锥PABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC P，使之与平面 ABP 共面，如图所示，当O，E，C共线时，CEOE取得最小值，又因为OPOB，C PC B，所以OC垂直平分PB，即E为PB中点从而2626222OCOEEC 亦即CEOE的最小值为：262