第一章空间向量与立体几何 培优测试卷-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册高二上学期.rar

人教版（人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何 培优测试卷）选择性必修一第一章空间向量与立体几何 培优测试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_学校：_姓名：_班级：_考号：_题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、在正方体1111ABCDABC D中，下列各式的运算结果为向量11B D的是( )111ADA AAB ；111BCBBDC ；11ADABDD ；1111B DAADD .A.B.D.2、已知 O 为坐标原点，OA (1,2,3)，OB (2,1,2)，OP (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当QA QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为()A.(12，34，13) B.(12，23，34) C.(43，43，83) D.(43，43，73)3、如图，在四面体 OABC 中，8OA ，6AB ，4AC ，5BC ，45OAC，60OAB，则 OA 与 BC 所成角的余弦值为( )A.32 25B.226C.12D.324、在正方体1111ABCDABC D中，M 为11AB的中点，则异面直线 AM 与1BC所成角的余弦值为( )A.105B.1010C.32D.225、已知矩形ABCD中,1,3ABBC,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则|BD uuu r( )A.102B.62C.52D.26、在棱长为 1的正方体1111ABCDABC D中，P 是底面 ABCD（含边界）上一动点，满足11APAC，则线段1AP 长度的取值范围是( )A.6, 22B.6, 32C.1, 2D. 2, 37、如图，在60二面角的棱上有两点 A、B，线段 AC、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB，若4ABACBD，则线段 CD 的长为（ ）A4 3B16C8D4 28、如图，在正三棱柱111ABCABC中，1AB ，12AA ，D 是1BB的中点，则 AD 与平面11AAC C所成角的正弦值等于( ) A.22B.64C.32D.104二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9、在正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的是( )A.四边形11ABC D的面积为1|AB BCuu u ruuu r B.1ADuuur与1ABuuu r的夹角为 60C.2211111113AAADABABuuu ruuuu ruuu u ruuu u r D.111110ACABADuuu ruuu u ruuuu r10、给出下列命题,其中是真命题的是( )A.若, ,a b c可以作为空间的一组基底,d与c共线,0d,则, ,a b d也可以作为空间的一组基底B.已知向量/a b,则, a b与任何向量都不能构成空间的一组基底C.已知, ,A B M N是空间中的四点,若,BA BM BNuu r uuu r uuu r不能构成空间的一组基底,则, ,A B M N四点共面D.已知, ,a b c是空间的一组基底,若mac,则, ,a b m也是空间的一组基底11、下列结论正确的是（ ）A.直线l的方向向量为(1, 1,2)a ，直线m的方向向量1(2,1,)2b ，则l与m垂直；B.直线l的方向向量(0,1, 1)a ，平面的法向量(1, 1, 1)n ，则l；C.平面、的法向量分别为12(0,1,3),(1,0,2)nn ，则/ /；D.平面经过三点(1,0, 1)(0,1,0),( 1,2,0)ABC,，向量(1, , )nu t是平面的法向量，则1ut .12、如图，在直三棱柱111ABCABC中，12ACBCAA，90ACB，D，E，F 分别为 AC，1AA，AB 的中点则下列结论正确的是（ ）A1AC与 EF 相交B11/ /BC平面 DEFCEF 与1AC所成的角为90D点1B到平面 DEF 的距离为3 22三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13、已知 M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且2MPPN，设向量OA a ，OB b ，OC c，则OP _14、在长方体1111ABC DABCD中，11AA ，3ADDC，Q 是线段11AC上一点，且11113C QC A，则点 Q 到平面1ADC的距离为_.15、P 是棱长为 1的正方体1111ABCDABC D的上底面1111ABC D上一点，则1PA PCuu r uuu r的取值范围是_16、在正方体1111ABCDABC D中,点E是棱11BC的中点,点F是线段1CD上的一个动点.有以下三个命题： 异面直线1AC与1B F所成的角是定值； 三棱锥1BAEF的体积是定值； 直线1AF与平面11BCD所成的角是定值.其中真命题的是_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、如图，在三棱锥ABCD中， AB 平面 BCD，底面 BCD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，ABBD,E 是线段 AC 上一点试问：当点 E 在什么位置时，平面BDE 平面 ADC？ 18、如图,在四棱柱1111ABCDA B C D中,1AA 平面ABCD,底面ABCD满足/ /ADBC,且12,2 2ABADAABDDC.(1) 求证: AB 平面11ADD A;(2) 求直线 AB 与平面11B CD,所成角的正弦值.19、如图，三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA 平面 ABC，ABC为等腰直角三角形，90BAC，且12ABAA，E、F 分别为1CC、BC 的中点.（1）若 D 是1AA的中点，求证：/BD平面 AEF；（2）若 M 是线段 AE 上的任意一点，求直线1B M与平面 AEF 所成角的正弦的最大值.20、如图，在三棱锥PABC中，2ABCABCPBAC ，是等腰直角PAC的斜边.（1）证明：平面PAC 平面 ABC.（2）过 AC 的平面交 BP于点 Q，若 Q 为棱 PB（异于 P，B）上的点，且AQQC，求二面角PAQC的余弦值.21、如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面 ABCD，侧棱2PAPD，PAPD，底面 ABCD 为直角梯形，其中BCADP, ABAD, 1ABBC，O 为 AD 的中点. （1）求点 B 到平面 PCD 的距离；（2）在线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角QACD的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由.22、等边ABC的边长为 3，点 D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且满足12ADCEDBEA（如图 1）.将ADE沿 DE折起到1ADE的位置，使平面1ADE 平面 BCED，连接1AB、1AC（如图 2）.（1）求证：1AD 平面 BCED；（2）在线段 BC 上是否存在点 P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为 60？若存在，求出线段 BP 的长度；若不存在，请说明理由.人教版（人教版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何 培优测试卷）选择性必修一第一章空间向量与立体几何 培优测试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_学校：_姓名：_班级：_考号：_题号题号一一二二三三四四总分总分得分得分一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、在正方体1111ABCDABC D中，下列各式的运算结果为向量11B D的是( )111ADA AAB ；111BCBBDC ；11ADABDD ；1111B DAADD .A.B.D.答案：C解析：11111ADA AABADABBD ，错；1111111111BCBBDCBCCCDCBCC DBD ，错；111111ADABDDB DDDB D ，对；1111111111B DAADDB DDDDDB D ，对.故选 C.2、已知 O 为坐标原点，OA (1,2,3)，OB (2,1,2)，OP (1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当QA QB 取得最小值时，点 Q 的坐标为()A.(12，34，13) B.(12，23，34) C.(43，43，83) D.(43，43，73)答案：C解析：设OQ OP ，则QA OA OQ OA OP (1，2，32)，QB OB OQ OB OP (2，1，22)，所以QA QB (1，2，32)(2，1，22)2(3285)23(43)213.所以当 43时，QA QB 取得最小值，此时OQ 43OP (43，43，83)，即点 Q 的坐标为(43，43，83).3、如图，在四面体 OABC 中，8OA ，6AB ，4AC ，5BC ，45OAC，60OAB，则 OA 与 BC所成角的余弦值为( )A.32 25B.226C.12D.32答案：A解析：因为BCACAB ，所以()OA BCOAACAB OA ACOA AB |cos,| cos,OAACOA ACOAABOA AB 84cos13586cos12016 224 .所以2416 232 2cos,8 55|OA BCOA BCOA BC ，即 OA 与 BC 所成角的余弦值为32 25.4、在正方体1111ABCDABC D中，M 为11AB的中点，则异面直线 AM 与1BC所成角的余弦值为( )A.105B.1010C.32D.22答案：A解析：以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则(1,0,0)A，1(1,0,1)A，1(1,1,1)B，(0,1,0)C，1( 1,0, 1)BC uuu r， 12BCuuu r，MQ为11AB的中点， 11,12M.10,12AMuuur， 5|2AMuuur，异面直线 AM 与1BC所成角的余弦值为11110cos,5AM BCAM BCAMBCuuur uuu ruuur uuu ruuuruuu r. 故选 A.5、已知矩形ABCD中,1,3ABBC,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则|BD uuu r( )A.102B.62C.52D.2答案：A解析：分别过点,B D向AC作垂线,垂足为,M N,可得1313,12222AMBMCNDNMN.由于BDBMMNNDuuu ruuu ruuu ruuu r,所以22222|()|2()BDBMMNNDBMMNNDBM MNMN NDBM NDuuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r=22233512(000)222,所以10|2BD uuu r.故选 A.6、在棱长为 1的正方体1111ABCDABC D中，P 是底面 ABCD（含边界）上一动点，满足11APAC，则线段1AP 长度的取值范围是( )A.6, 22B.6, 32C.1, 2D. 2, 3答案：A解析：如图，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A，1(0,0,1)A，1(1,1,1)C，PQ是底面 ABCD（含边界）上一动点，设( , ,0)(01,01)P x yxy，则1( , , 1)APx yuuu r，1(1,1,1)AC uuu r，11APACQ，1110AP ACxy uuu r uuu r，22222221131(1)1222222APxyxxxxx uuu r，当12x 时，21APuuu r取最小值32，此时线段1AP的长度为62；当0 x 或1x 时，21APuuu r取最大值 2，此时线段1AP的长度为2，线段1AP长度的取值范围是6, 22.故选 A.7、如图，在60二面角的棱上有两点 A、B，线段 AC、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB，若4ABACBD，则线段 CD 的长为（ ）A4 3B16C8D4 2答案：D解析：分别过点A 、点D作BD、AB的平行线相交于点E，连接CE，则四边形ABDE为平行四边形.线段 AC、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 AB.ACAB，AEAB则CAE为二面角的平面角，即60CAE4ABACBD4ACBDAEABDE，如图所示.ACE为等边三角形，4CE ACDE，AEDE，ACAEA，AC 平面ACE，AE 平面ACEDE平面ACE又CE 平面ACEDECE在Rt CDE中2222444 2CDCEDE 故选：D8、如图，在正三棱柱111ABCABC中，1AB ，12AA ，D 是1BB的中点，则 AD 与平面11AAC C所成角的正弦值等于( ) A.22B.64C.32D.104答案：B解析：以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)C，3 1,022A，1(0,0,2)C，(0,1,1)D，所以3 1,022CAuu r，1(0,0,2)CC uuu r，3 1,122AD uuu r.设平面11AAC C的一个法向量为( , , )x y zn，则13102220CAxyCCzuu ruuu r，nn 取1x ，得(1,3,0)n.设 AD 与平面11AAC C所成的角为，则|36sin424|ADADuuu ruuu rnn，所以 AD 与平面11AAC C所成角的正弦值为64.故选 B.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9、在正方体1111ABCDABC D中，下列结论正确的是( )A.四边形11ABC D的面积为1|AB BCuu u ruuu r B.1ADuuur与1ABuuu r的夹角为 60C.2211111113AAADABABuuu ruuuu ruuu u ruuu u r D.111110ACABADuuu ruuu u ruuuu r答案：ACD解析：易知四边形11ABC D为平行四边形，由 AB 面11BBC C，得1ABBC，所以四边形11ABC D为矩形，其面积为1|ABBCuuuu ruuu r，故 A 正确;1ACDQV是等边三角形，160ADCo，又11ABDCQP，1D Auuu r与1ABuuu r的夹角，即1D Auuu r与1DCuuur的夹角为60，向量1ADuuur与1ABuuu r的夹角为 120，故 B 错误；由向量加法的运算法则可以得到111111AAADABACuuu ruuuu ruuu u ruuu r，221113ACABQ，2211111113AAADABABuuu ruuuu ruuu u ruuu u r，故 C正确；易得111111ABADD Buuu u ruuuu ruuuu r，Q在正方体111ABCDABC D中，11D B 平11AAC C,111D BAC,1110AC D Buuu r uuuu r，故 D 正确. 故选 ACD.10、给出下列命题,其中是真命题的是( )A.若, ,a b c可以作为空间的一组基底,d与c共线,0d,则, ,a b d也可以作为空间的一组基底B.已知向量/a b,则, a b与任何向量都不能构成空间的一组基底C.已知, ,A B M N是空间中的四点,若,BA BM BNuu r uuu r uuu r不能构成空间的一组基底,则, ,A B M N四点共面D.已知, ,a b c是空间的一组基底,若mac,则, ,a b m也是空间的一组基底答案：ABCD解析：根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一组基底,否则就不能构成空间的一组基底.显然 B选项是真命题.对于选项 C，由,BA BM BNuu r uuu r uuu r不能构成空间的一组基底，知,BA BM BNuu r uuu r uuu r共面，所以, ,A B M N四点共面，即C是真命题.对于选项 A 和选项 D，假设d与, a b共面，则存在实数, ，使得dab,因为d与c共线, 0c, 0d，所以存在实数0k ，使kdc，从而kkcab，故c与, a b共面，与条件矛盾,因此d与, a b不共面,所以 , , a b d也可作为空间的一组基底，同理可证 D 也是真命题.11、下列结论正确的是（ ）A.直线l的方向向量为(1, 1,2)a ，直线m的方向向量1(2,1,)2b ，则l与m垂直；B.直线l的方向向量(0,1, 1)a ，平面的法向量(1, 1, 1)n ，则l；C.平面、的法向量分别为12(0,1,3),(1,0,2)nn ，则/ /；D.平面经过三点(1,0, 1)(0,1,0),( 1,2,0)ABC,，向量(1, , )nu t是平面的法向量，则1ut .答案：12、如图，在直三棱柱111ABCABC中，12ACBCAA，90ACB，D，E，F 分别为 AC，1AA，AB 的中点则下列结论正确的是（ ）A1AC与 EF 相交B11/ /BC平面 DEFCEF 与1AC所成的角为90D点1B到平面 DEF 的距离为3 22答案：BCD解析：对选项 A，由图知1AC 平面11ACC A，EF I平面11ACC AE，且1.EAC由异面直线的定义可知1AC与EF 异面，故 A 错误；对于选项 B，在直三棱柱111ABCABC中，11BC / BCDQ，F 分别是 AC，AB 的中点，/ /FDBC，11BC / FD又11BC 平面 DEF，DF 平面 DEF，11BC / /平面.DEF故 B 正确；对于选项 C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C，0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(2A，0，2)，1(0B，2，2)，1(0C，0，2)，(1D ，0，0)，(2E，0，1)，(1F ，1，0)( 1EF ，1，1)，1( 2AC ，0，2)12020EF AC ，1EFAC ，1EFACEF与1AC所成的角为90，故 C 正确；对于选项 D，设向量(nx，y，) z是平面 DEF 的一个法向量(1DE ，0，1)，(0DF ，1，0)，由nDEnDF ，即00n DEn DF，得00.xzy， 取1x ，则1z ，(1n，0，1)，又1( 1DB ，2，2)，设点1B到平面 DEF 的距离为 d 11 023 222DB ndn ，点1B到平面 DEF 的距离为3 22，故 D 正确 故选：BCD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13、已知 M、N 分别是四面体 OABC 的棱 OA，BC 的中点，点 P 在线段 MN 上，且2MPPN，设向量OA a ，OB b ，OC c，则OP _答案：111633abc解析：212111111()333232336OPONOMOBOCOAbca 14、在长方体1111ABC DABCD中，11AA ，3ADDC，Q 是线段11AC上一点，且11113C QC A，则点 Q 到平面1ADC的距离为_.答案：33解析：如图，以11D A，11DC，1D D所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D，(0, 3,1)C，1( 3,0,0)A，1(0, 3,0)C，(0, 3,0)DCuuu r，1( 3,0, 1)DA uuu r，11( 3,3,0)C A uuuu r，由11113C QC Auuu ruuuu r，得3 2 3,033Q， 3 2 3, 133DQuuu r，设平面1ADC的法向量为( , , )x y zn， 由10,0,DCDAnnuuu ruuu r得30,30,yxz取1x ，则3z ，0y ，(1,0, 3)n，点 Q 到平面1ADC的距离|3|3DQdnnuuu r.15、P 是棱长为 1的正方体1111ABCDABC D的上底面1111ABC D上一点，则1PA PCuu r uuu r的取值范围是_答案：1,02解析：以 D 为原点，以 DA 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，1DD所在的直线为 z 轴,建立空间直角坐系，如图所示，则(1,0,0)A，1(0,1,1)C. 设点 P 的坐标为( , , )x y z，由题意可得01x ,01y ，1z ，(1, 1)PAxyuu r，1(,1,0)PCxy uuu r，221(1)(1)0PA PCxxyyxxy uu r uuu r22111222yxy，当12xy时，1PA PCuu r uuu r取得最小值，最小值为12；当0 x 或 1，且0y 或 1 时，1PA PCuu r uuu r取得最大值，最大值为 0.故1PA PCuu r uuu r的取值范围是1,02.16、在正方体1111ABCDABC D中,点E是棱11BC的中点,点F是线段1CD上的一个动点.有以下三个命题： 异面直线1AC与1B F所成的角是定值； 三棱锥1BAEF的体积是定值； 直线1AF与平面11BCD所成的角是定值.其中真命题的是_答案： 解析：以点A为坐标原点,1,AB AD AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系如图所示不妨设正方体棱长为 1，则11111,1,0 ,0,0,1 ,1,0,1 ,1,1,1 ,0,1,1CABCD.根据题意设,1,101()F ttt ，则11(1,1,1),(1,1,)ACB Fttuuu ruuu r,所以110ACB Fuuu r uuu r，所以异面直线1AC与1B F所成的角是 90为定值，所以正确；对于，因为三棱锥1BAEF的底面1ABE面积为定值，且11CDBAP，而点 F 是线段1CD上的一个动点，所以点F到平面1ABE的距离为定值,所以三棱锥1BA EF的体积是定值，故正确；xxzxyx对于，因为1111( ,1,),(0,1, 1),( 1,1,0)AFtt BCB D uuu ruuu ruuuu r，可得平面11BCD的一个法向量为1,1,1n，所以1cos,AF nuuu r不是定值，故错误四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、如图，在三棱锥ABCD中， AB 平面 BCD，底面 BCD 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，ABBD,E 是线段 AC 上一点试问：当点 E 在什么位置时，平面BDE 平面 ADC？ 解析：不妨设2AB ，在平面 BCD 中作BFBD，以 B 为坐标原点，BF,BD,BA 所在直线分别为 x 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则(0,0,0)B，(0,0,2) A，(0,2,0)D，(1,1,0)C. 设当平面BDE 平面 ADC 时，(01)AEECuu u ruu u r,易得( 1,1,0)CD uuu r，( 1, 1,2)CA uu r.设111,x y zm是平面 ACD 的一个法向量，则0,0,CDCAuuu ruu rmm即111110,20,xyxyz取11x ，则11y ，11z ，所以平面 ACD 的一个法向量为(1,1,1)m.因为AEECuu u ruu u r，所以点 E 的坐标为2,111,所以2,111BEuu u r，(0,2,0)BD uuu r.设222,xyzn是平面 BDE 的一个法向量，则0,0,BEBDuu u ruuu rnn即222220,11120,xyzy取21x ，则22z ，所以平面 BDE 的一个法向量为1,0,2n.因为平面BDE 平面 ADC，所以mn，即0m n =，所以102，解得2.所以当|2|AEECuu u ruu u r，即点 E 为线段 AC 上靠近点 C 的三等分点时，平面BDE 平面 ADC.18、如图,在四棱柱1111ABCDA B C D中,1AA 平面ABCD,底面ABCD满足/ /ADBC,且12,2 2ABADAABDDC.(1) 求证: AB 平面11ADD A;(2) 求直线 AB 与平面11B CD,所成角的正弦值.解析：(1)证明：在ABC中,2,2 2ABADBD由勾股定理得,90BADABAD1AA 平面ABCD,AB 平面ABCD1AAAB又1AAADAAB 平面11ADD A.(2) 由(1)知,1,AB AD AA两两垂直,分别以1,AB AD AA为x轴,y轴z轴建立空间直角坐标系则11(0,0,0), (2,0,0),(2,4,0),(2,0,2),(0,2,2)ABCBD111(2,0,0),(0,4, 2),( 2,2,0)ABB CB D 设平面11B CD的法向量为( , , )nx y z11100n B Cn B D 即420220yzxy 令1x ,则1,2yz,(1,1,2)n设直线 AB 与平面11B CD所成角为, 26sin|cos,|6| |26AB nAB nABn .19、如图，三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA 平面 ABC，ABC为等腰直角三角形，90BAC，且12ABAA，E、F 分别为1CC、BC 的中点.（1）若 D 是1AA的中点，求证：/BD平面 AEF；zxyxxx（2）若 M 是线段 AE 上的任意一点，求直线1B M与平面 AEF 所成角的正弦的最大值.解析：（1）证明：连接1DC，1BC.因为 D、E 分别是1AA、1CC的中点，所以1ADC E，又1/AD C E，所以四边形1ADC E是平行四边形，所以1/AE DC，因为 E，F 分别是1CC，BC 的中点，所以1/EF BC，所以平面/AEF平面1BDC.又BD 平面1BDC，所以/BD平面 AEF.（2）以 A 为坐标原点，AB，AC，1AA所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示则(0,0,0)A，1(2,0,2)B，(0,2,1)E，(1,1,0)F，(0,2,1)AEuu u r，(1,1,0)AF uuu r.设平面 AEF的法向量为( , , )x y zn，由0,0,AEAFnnuu u ruuu r得20,0,yzxy 令2z ，得1x ，1y ，所以平面 AEF 的一个法向量为(1, 1,2)n.设( , , )M a b c，(01)AMAEuuuruu u r，则(0,2 , )AM uuur，所以(0,2 , )M ，所以1( 2,2 ,2)B M uuuu r，设直线1B M与平面 AEF 所成角为，则111sincos,B MB MB Mnnnuuuu ruuuu ruuuu r222222|1 ( 2)( 1)22(2)|1( 1)2( 2)(2 )(2) 2266654854826(01)236555，易知当25时，max30(sin )6.故直线1B M与平面 AEF 所成角的正弦的最大值为306.20、如图，在三棱锥PABC中，2ABCABCPBAC ，是等腰直角PAC的斜边.（1）证明：平面PAC 平面 ABC.（2）过 AC 的平面交 BP于点 Q，若 Q 为棱 PB（异于 P，B）上的点，且AQQC，求二面角PAQC的余弦值.解析：(1)证明：如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO，OP.ABCQV是等边三角形，.OBACACQ是等腰直角PACV的斜边,POACBOP是二面角PACB的平面角. 又2222221,2POACOAPOBOAOBOABBP.BOP=900平面PAC 平面ABC.(2) 连接 OQ，由(1)知AC 平面 POB，OQ Q平面,POBOQAC，则QCQA，,2,2AQCQ ACQCQAPCQ，由余弦定理得222222cos22BCPBPCBCBQCQPBCBC PBBC BQ，即24424222222BQBQ ，解得1BQ 或2BQ ，2,1,BQBPBQBQPQ Q Q是 PC 的中点.分别以 OA，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则3 1(0,0,0), (1,0,0),( 1,0,0), (0,0,1),0,.22OACPQ3 1( 1,0,1),1,( 2,0,0)22APAQAC uu u ruuu ruuu r.设平面 APQ 的法向量为( , , )x y zm，则00APAQmmuu u ruuu r，即031022xzxyz ，令3x ，得(3, 3,3)m，同理可得平面 ACQ 的一个法向量为(0,1,3)n.2 37cos,|7212 m nm nmn二面角PAQC的余弦值为77.21、如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 底面 ABCD，侧棱2PAPD，PAPD，底面 ABCD 为直角梯形，其中BCADP, ABAD, 1ABBC，O 为 AD 的中点. （1）求点 B 到平面 PCD 的距离；（2）在线段 PD 上是否存在一点 Q，使得二面角QACD的余弦值为63？若存在，求出PQQD的值；若不存在，请说明理由.解析：在PADV中， PAPD,O 为 AD 的中点，POAD又Q侧面PAD 底面 ABCD，平面PAD 平面ABCDAD,PO 平面 PADPO平面 ABCD，又OC 平面 ABCD，POOC.在PADV中，PAPDQ, 2PAPD，2ADOQ为 AD 的中点，1OAOD.在直角梯形 ABCD 中， ABAD，易知四边形 ABCO 为正方形，OCAD.以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，OD 所在直线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)P，(0, 1,0)A，(1,0,0)C，(1, 1,0)B，(0,1,0)D.（1）(1, 1, 1)PB uur，( 1,0,1)CP uur，(0,1, 1)PD uuu r，设平面 PCD 的一个法向量为( , , )x y zn,则0,0,CPPDuuruuu rnn即0,0.xzyz 令1z ，得(1,1,1)n，则点 B 到平面 PCD 的距离|3|3PBduurnn.（2）存在，(1,1,0)AC uuu r，设(01)PQPDuuu ruuu r.(0,1, 1)PD uuu rQ，(0, ,)OQOPPQuuu ruu u ruuu r，(0, ,1)OQuuu r，(0, ,1)Q，(0,1,1)AQuuu r.设平面 CAQ 的一个法向量为111,x yzm，则0,0,ACAQuuu ruuu rmm即11110,(1)(1)0.xyyz 令11z ，得(1,1,1) m.易知平面 CAD 的一个法向量为(0,0,1)OP uu u r，Q二面角QACD的余弦值为63，|cos,|OPOPOP uu u ruu u ruu u rmmm222|1|63(1)(1)(1)，化简并整理，得231030.解得13或3（舍去），线段 PD 上存在点1 20, ,3 3Q，使得二面角QACD的余弦值为63，此时12PQQD.22、等边ABC的边长为 3，点 D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且满足12ADCEDBEA（如图 1）.将ADE沿 DE折起到1ADE的位置，使平面1ADE 平面 BCED，连接1AB、1AC（如图 2）.（1）求证：1AD 平面 BCED；（2）在线段 BC 上是否存在点 P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为 60？若存在，求出线段 BP 的长度；若不存在，请说明理由.解析：（1）证明：在ADE中，1AD ，2AE ，60A，得222cos603DEADAEAD AE，所以222ADDEAE，从而ADDE，所以在题图 2 中，1ADDE.又平面1ADE 平面 BCED，平面1ADE 平面BCEDDE，1AD 平面1ADE，所以1AD 平面 BCED.（2）由（1）知，1AD，DB，DE 两两垂直，以 DB，DE，1DA所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则(2,0,0)B，1(0,0,1)A，1 3 3,022C，则3 3 3,022BC uu u r，1(2,0, 1)AB uuu r，假设线段 BC 上存在点 P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为 60，设33 3,022BPBC uuruu u r，其中0,1，则1133 32, 122APABBPuuu ruuu ruur.易知平面1ABD的一个法向量(0,1,0)n，则111sin60cos,APAPAP nnnuuu ruuu ruuu r223 323233 32122.解得56，此时55|62BPBCuuruu u r.所以存在满足要求的点 P，且线段 BP 的长度为52.