3.4圆锥曲线与方程 全章复习与巩固-新人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）.rar

圆锥曲线与方程全章复习与巩固圆锥曲线与方程全章复习与巩固【典型例题】【典型例题】类型一：圆锥曲线的方程与性质类型一：圆锥曲线的方程与性质例例 1. 已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若bca,依次构成等差数列， 且ca ，2AB，求顶点C的轨迹方程.举一反三：举一反三：【变式 1】 已知圆25y)4x(22的圆心为 M1，圆1y)4x(22的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。【变式 2】设、是双曲线 x2y24 的两焦点，是双曲线上任意一点，从引平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程是例例 2过原点的直线l与曲线 y=x2-2x+2 交于 A，B 两点，求弦 AB 中点的轨迹.举一反三：举一反三：【变式 1】设双曲线191622yx的两个焦点分别是 F1和 F2，A 、B 分别是双曲线两条渐近线上的动点，且213FFAB ，求线段 AB 中点的轨迹方程.【变式 2】 以抛物线214yx的弦 AB 为直径的圆经过原点 O，过点 O 作 OMAB，M 为垂足，求点 M的轨迹方程.类型二：直线与圆锥曲线相交类型二：直线与圆锥曲线相交 - 弦的有关问题：弦的有关问题： 例例 3设直线l过双曲线2213yx 的一个焦点，交双曲线于 A、B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB ，求|AB|的值。【变式 1】(2015 江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆222210 xyabab的离心率为22，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC2AB，求直线 AB 的方程.【变式 2】(2016 浙江理)如图，设椭圆2221(1)xyaa()求直线 ykx+1 被椭圆截得的线段长(用 a、k 表示)；()若任意以点 A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围【变式 3】 如图，( , 3 )A mm和( ,3 )B nn两点分别在射线 OS、OT 上移动，且12OA OB ，O 为坐标原点，动点 P 满足OPOAOB 。（1）求m n的值；（2）求 P 点的轨迹 C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线 l 过点 E（2，0）交（2）中曲线 C 于 M、N 两点，且3MEEN，求l的方程.类型三：求取值范围或最值：类型三：求取值范围或最值：例例 4. 设椭圆)22( 18:222ayaxM的右焦点为1F，直线8:22aaxl与x轴交于点A，若0211AFOF（其中O为坐标原点） （1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的一点，EF为圆12:22 yxN的任意一条直径，求PFPE的最大值【变式 1】(1)抛物线 C：y2=4x 上一点 P 到点 A(3，42)与到准线的距离和最小，则点 P 的坐标为_(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 【变式 2】 已知椭圆中心在原点， 焦点在 x 轴上， 一个顶点为 A（0， -1） 。 若右焦点到直线022 yx 的距离为 3.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线(0)ykxm k相交于不同的两点 M、N.当AMAN时，求 m 的取值范围.【巩固练习】【巩固练习】一、选择题一、选择题1下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=2x 的是（ ）(A)2214yx (B)2214xy (C)2214yx (D)2214xy 2若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3已知椭圆22121(1)xCymm:与双曲线22221(0)xCyny:的焦点重合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则( )Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21Cmn 且 e1e21 Dmn 且 e1e214. 设双曲线的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 5 C. D.12222byax2452555. 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( )A B C D6抛物线2yx 上的点到直线 4x+3y8=0 距离的最小值是（ ）A43 B75 C85 D37.已知椭圆 C：22221xyab（ab0）的离心率为32，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB ，则 k 为( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）222221(0,0)xyababA1,B C12ABBC 23510FFPHy0 xA二、填空题二、填空题8若抛物线 y22px 的焦点与椭圆15922yx的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 9F 是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点，PFPA 的最小值为 10.抛物线24yx与斜率为 1 且过焦点的直线l交于 A、B 两点，则 OA OB 11. 在抛物线 y2=16x 内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_三、解答题三、解答题12ABC 中，A(3，0)，2BC，BC 在 y 轴上，且在-3，3间滑动，求ABC 外心的轨迹方程。13已知抛物线 y2=2px(p0)，一条长为 4p 的弦 AB 的两个端点 A、B 在抛物线上滑动，求此动弦的中点 Q 到 y 轴的最小距离.14. 如图，F 是椭圆12222byax(ab0)的一个焦点，A,B 是椭圆 的两个顶点，椭圆的离心率为21点C 在 x 轴上，BCBF，B，C，F 三点确定的圆 M 恰好与直线 l1：330 xy相切 （）求椭圆的方程： （）过点 A 的直线 l2与圆 M 交于 PQ 两点，且2MQMP，求直线 l2的方程15.已知椭圆 C: x2+3y2=3，过点 D(1，0)且不过点 E(2，1)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M（）求椭圆 C 的离心率；（）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；（）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由16.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是32，抛物线2:2E xy的焦点 F 是 C 的一个顶点.()求椭圆 C 的方程；()设 P 是 E 上的动点， 且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A， B， 线段 AB的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.(i)求证：点 M 在定直线上；(ii)直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.12SS17.已知椭圆2222+=1(0)xyabab的左焦点为,0Fc（-）,离心率为33， 点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆222+4bxy =截得的线段的长为 c，4 3|=3FM.()求直线 FM 的斜率；()求椭圆的方程；()设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于2，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围.圆锥曲线与方程全章复习与巩固圆锥曲线与方程全章复习与巩固【典型例题】【典型例题】类型一：圆锥曲线的方程与性质类型一：圆锥曲线的方程与性质例例 1. 已知ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若bca,依次构成等差数列， 且ca ，2AB，求顶点C的轨迹方程.【解析】如右图，以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系. 由题意，bca,构成等差数列，bac2，即4|2|ABCBCA，又CACB ，C的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，1, 2ca，3 b，故C的轨迹方程为)2, 0( 13422xxyx.举一反三：举一反三：【变式 1】 已知圆25y)4x(22的圆心为 M1，圆1y)4x(22的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。【答案】设动圆圆心 P（x，y） ，动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得：5R|PM|1，1R|PM|2。12| 5 | 1PMPM ，1212| 48 |PMPMM M动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2为焦点的双曲线的右支，其中 c=4，a=2，b2=12，故所求轨迹方程为)2x( 112y4x22。【变式 2】设、是双曲线 x2y24 的两焦点，是双曲线上任意一点，从引平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹方程是【答案】设 O 为 F1F2的中点， 延长 F1P 交 QF2于 A，连接 OP，据题意知：AQF1为等腰三角形，所以 QF1=QA|QF1-QF2|=4，|QA-QF2|=4，即 AF2=4OP 为F1F2A 的中位线，OP=2故点 P 的轨迹为以 O 为圆心，以 2 为半径的圆，方程为：x2+y2=4例例 2过原点的直线l与曲线 y=x2-2x+2 交于 A，B 两点，求弦 AB 中点的轨迹.【解析】设 AB 的中点 M(x,y)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，依题意，直线l的斜率必须存在，设为 k，又直线l 过原点，直线l的方程为：y=kx， 将此式代入 y=x2-2x+2整理得：x2-(2+k)x +2=0 x1+x2=2+k，12222xxkx 22222kkkykxk 由22222kxkky消去 k，得222yxx。又由于直线l与曲线有两交点，故(1)式中的判别式 0, (2+k)2-80, 解得22 2k 或22 2k 22kx，2x 或2x 所求的轨迹是抛物线 y=2x2-2x(2x 或2x )部分。举一反三：举一反三：【变式 1】设双曲线191622yx的两个焦点分别是 F1和 F2，A 、B 分别是双曲线两条渐近线上的动点，且213FFAB ，求线段 AB 中点的轨迹方程.【答案】设 A 点在渐近线xy43上, B 点在渐近线xy43上，A(x1，y1)， B(x2，y2)，线段 AB 中点 M(x，y)，112233,44yx yx ，121233(),42yyxxx121248()33xxyyy由213FFAB =30,得30)()(221221yyxx, 304996422xy, 化简得221614002025xy.【变式 2】 以抛物线214yx的弦 AB 为直径的圆经过原点 O，过点 O 作 OMAB，M 为垂足，求点 M的轨迹方程.【答案】设直线 OA 方程为kxy ，代入214yx得 A 点坐标为)4 ,4(2kk，OBOA ，1OBkk ，同理可得 B(24,4kk)，直线 AB 方程为)4(44444222kxkkkkky，即: xkky142 直线 OM 方程为xkky12,得: 224xyy， 即)0(0422xyyx为所求点 M 的轨迹方程.类型二：直线与圆锥曲线相交类型二：直线与圆锥曲线相交 - 弦的有关问题：弦的有关问题： 例例 3设直线l过双曲线2213yx 的一个焦点，交双曲线于 A、B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB ，求|AB|的值。【解析】当 ABx 轴时，点 A（2，3） ，B（2，3） ，不满足条件。则直线 AB 斜率存在，设为 k，则直线 AB 的方程为 y=k(x2)。代入双曲线方程，得2223(2)3xkx即2222(3)4430kxk xk。设点11( ,)A x y，22(,)B xy，则当 0 时，212243kxxk，2122433kx xk。从而21212(2)(2)y ykxx221212292()43kkx xxxk 0OA OB ，12120 x xy y2222439033kkkk，解得235k 。此时422164(3)(43)0kkk 2122413kxxk ，212243934kx xk 故由焦点弦长公式，得：212|1| 4ABkxx。【变式 1】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆222210 xyabab的离心率为22，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC2AB，求直线 AB 的方程.【解析】 (1)由题意，得22ca且23acc，解得2a ，c1，则 b1，所以椭圆的标准方程为2212xy（2）当 ABx 轴时，2A ，又C3 ，不合题意当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y=k(x1)，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，将 AB 的方程代入椭圆方程，得2222124210kxk xk，则221,2222 112kkxk，C 的坐标为2222,1212kkkk，且2222221212122 2 1112kxxyykxxkA 若 k=0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意从而 k0，故直线 PC 的方程为222121212kkyxkkk ，则 P 点的坐标为22522,12kkk，从而2222 311C12kkkk因为 PC=2AB，所以222222 3114 2 11212kkkkkk，解得 k=1此时直线 AB 方程为 y=x1 或 y=x+1【变式 2】如图，设椭圆2221(1)xyaa()求直线 ykx+1 被椭圆截得的线段长(用 a、k 表示)；()若任意以点 A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围【答案】()设直线 ykx+1 被椭圆截得的线段为 AP，由22211ykxxya得2222(1)20a kxa kx，故21222201a kxxa k ，因此22212222|1|11a kAPkxxka k()假设圆与椭圆的公共点有 4 个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P，Q，满足|AP|AQ|记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k20，k1k2由()知，222211222222122| 12| 1|11akkakkAPAQa ka k，故222211222222122| 12| 111akkakka ka k，所以22222222121212()1(2)0kkkkaak k，由于 k1k2，k1，k20 得22222212121(2)0kkaak k，因此22221211111(2)aakk ， 因为式关于 k1，k2的方程有解的充要条件是221(2)1aa，所以2a 因此，任意以点 A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1a2，由21caeaa得，所求离心率的取值范围为202e，【变式 3】 如图，( , 3 )A mm和( ,3 )B nn两点分别在射线 OS、OT 上移动，且12OA OB ，O 为坐标原点，动点 P 满足OPOAOB 。（1）求m n的值；（2）求 P 点的轨迹 C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线 l 过点 E（2，0）交（2）中曲线 C 于 M、N 两点，且3MEEN，求l的方程.【解析】 （1）由已知得：1( , 3 ) ( ,3 )22OA OBmmnnmn ，14m n （2）设 P 点坐标为（x，y） （x0） ，由OPOAOB 得： ( , )( , 3 )( ,3 )x ymmnn(, 3()mnmn 3()xmnymn，消去 m，n 可得：2243yxmn，又因14mn P 点的轨迹方程为221(0)3yxx 它表示以坐标原点为中心，焦点在x轴上，且实轴长为 2，焦距为 4 的双曲线2213yx 的右支（3）设直线 l 的方程为2xty，将其代入 C 的方程得：223(2)3tyy 即22(31)1290tyty，易知2(31)0t （否则它与 x 轴平行，不符合题意）又22214436(31)36(1)0ttt 设1122( ,),(,)M x yN xy，则121222129,3131tyyy ytt l 与 C 的两个交点,M N在y轴的右侧， 1212(2)(2)x xtyty212122 ()4t y yt yy222912243131ttttt2234031tt 2310t ，即2103t，又由 120 xx，同理可得： 2103t 由3MEEN得： 1122(2,)3(2,)xyxy，121223(2)3xxyy 由122222123231tyyyyyt 得： 22631tyt 由21222229( 3)331y yyyyt 得：222331yt ，消去2y得 2222363(31)31ttt 解得：2115t ，满足2103t，故 l 存在，方程为：152 50 xy或152 50 xy类型三：求取值范围或最值：类型三：求取值范围或最值：例例 4. 设椭圆)22( 18:222ayaxM的右焦点为1F，直线8:22aaxl与x轴交于点A，若0211AFOF（其中O为坐标原点） （1）求椭圆M的方程；（2）设P是椭圆M上的一点，EF为圆12:22 yxN的任意一条直径，求PFPE的最大值FAPHBQ【答案】 （1）由题设知：)0 ,8(),0 ,8(2122aFaaA由0211AFOF得：88282222aaaa 解得62a，椭圆M的方程为1824:22yxM （2） NPNFNPNEPFPE 1222NPNFNPNPNFNPNF从而将求PFPE的最大值转化为求2NP的最大值，P是椭圆M上的任一点，设00, yxP，则有18242020yx即2020824yx 又2 , 0N，301222020202yyxNP 22 ,220y 当10y时，2NP取最大值30 PFPE的最大值为29【变式 1】(1)抛物线 C：y2=4x 上一点 P 到点 A(3，42)与到准线的距离和最小，则点 P 的坐标为_(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 【答案】 （1） （2， 22） ， 连 PF， 当 A、 P、 F 三点共线时，PFAPPHAP最小，此时 AF 的方程为) 1(13024xy 即 y=22(x-1),代入 y2=4x 得 P(2,22)， （注：另一交点为(2,21)，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，舍去）（2） （1 ,41） ，过 Q 作 QRl 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，代入 y2=4x 得 x=41，Q(1 ,41)【变式 2】 已知椭圆中心在原点， 焦点在 x 轴上， 一个顶点为 A（0， -1） 。 若右焦点到直线022 yx 的距离为 3.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线(0)ykxm k相交于不同的两点 M、N.当AMAN时，求 m 的取值范围.【答案】 （1）依题意可设椭圆方程为 1222 yax ，则右焦点 F2(1, 0)a 由题设212 232a 解得32a 故所求椭圆的方程为2213xy. （2）设 P 为弦 MN 的中点，由2213ykxmxy 得 0) 1(36) 13(222mmkxxk.由于直线与椭圆有两个交点，, 0 即 1322 km 13322kmkxxxNMp ，从而132kmmkxypp，mkkmxykppAp31312又,AMANAPMN，则23113mkmkk ， 即 1322 km 把代入得 22mm 解得 20m 又由得 22103mk 解得21m. 故所求 m 的取范围是1( , 2)2.【巩固练习】【巩固练习】一、选择题一、选择题1下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=2x 的是（ ）(A)2214yx (B)2214xy (C)2214yx (D)2214xy 1、 【答案】 C【解析】C 项的渐近线方程为2204yx，即 y2x 2若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1，则 P 点的轨迹方程是（ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x2.【答案】 C【解析】 点 P 到 F 与到 x+4=0 等距离，P 点轨迹为抛物线 p=8 开口向右，则方程为 y2=16x3已知椭圆22121(1)xCymm:与双曲线22221(0)xCyny:的焦点重合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则( )Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21Cmn 且 e1e21 Dmn 且 e1e213.【答案】A 【解析】由题知m2-1n2+1，即m2n2+2，2221 222221111()(1)(1)mneemnmn，代入 m2n2+2，得 mn，(e1e2)214. 设双曲线的一条渐近线与抛物线 y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. 5 C. D.4.【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组，消去 y，得有唯一解，所以=，所以,5. 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( )12222byax24525512222byaxxaby 21byxayx210bxxa 2( )40ba2ba2221 ( )5cabbeaaa22221(0,0)xyababA1,B C12ABBC A B C D5. 【答案】C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为 B，C，则有，因6抛物线2yx 上的点到直线 4x+3y8=0 距离的最小值是（ ）A43 B75 C85 D36 【答案】A； 【解析】抛物线2yx 上的点到直线 4x+3y8=0 距离：|438|5xyd2|438|5xx2220|3()|335x43，故距离的最小值是437.已知椭圆 C：22221xyab（ab0）的离心率为32，过右焦点 F 且斜率为 k（k0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB ，则 k 为( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）27. 【答案】B【解析】1122( ,), (,)A x yB xy， 3AFFB ， 123yy ， 32e ，设2 ,3at ct，bt， 222440 xyt，直线 AB 方程为3xsyt。23510,0A a0 xya22,(,)aabaabBCab ababab22222222(,),a ba bababBCABababab ab 222,4,5ABBCabe FFPHy0 xA代入消去x， 222(4)2 30systyt， 21212222 3,44sttyyy yss ，2222222 32, 344sttyyss ，解得212s ，2k 二、填空题二、填空题8若抛物线 y22px 的焦点与椭圆15922yx的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 8.【答案】x2【解析】由题意椭圆15922yx，故它的右焦点坐标是(2，0)，又 y22px(p0)的焦点与椭圆15922yx的右焦点重合，故 p4，抛物线的准线方程为 x29F 是椭圆13422yx的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动点，PFPA 的最小值为 9. 【答案】4-5 【解析】设另一焦点为F，则F(-1,0)连 AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当 P 是FA 的延长线与椭圆的交点时, PFPA 取得最小值为 4-5。10.抛物线24yx与斜率为 1 且过焦点的直线l交于 A、B 两点，则 OA OB 10.【答案】-3； 【解析】抛物线24yx的焦点(1,0)，直线l：1yx，设 点11( ,)A x y，22(,)B xy， 由214yxyx， 得2610 xx ， 有126xx，121x x ，故121212121212(1)(1)2() 13OA OBx xy yx xxxx xxx .11. 在抛物线 y2=16x 内，通过点(2,1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_11. 【答案】8x-y-15=0 ； 【解析】设所求直线与 y2=16x 相交于点 A、B，且 A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程得22112216 ,16yx yx，两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2)即121212-168-AByykxxyy，故所求直线方程为 y=8x-15三、解答题三、解答题12ABC 中，A(3，0)，2BC，BC 在 y 轴上，且在-3，3间滑动，求ABC 外心的轨迹方程。12.【解析】设 C 在 B 的上方，设 B(0,t)， 则 C(0,t+2)，-3t1设外心为 M(x,y)，因 BC 的中垂线为 y=t+1 AB 中点为)2,23(t ，3tkABAB 的中垂线为)23(32xtty 由、消去 t 得)22)(34(62yxy这就是点 M 的轨迹方程。13已知抛物线 y2=2px(p0)，一条长为 4p 的弦 AB 的两个端点 A、B 在抛物线上滑动，求此动弦的中点 Q 到 y 轴的最小距离.13 【解析】设 F 为焦点，A(x1,y1), B(x2,y2) ，则1212(,)22xxyyQ, 其到 y 轴的距离为122xx,所以要使中点 Q 到 y 轴的距离最小，只需122xx最小即可，由抛物线定义有12|, |22ppAFxBFx,|AF|+|BF|AB|，所以 x1+x2+p|AB|, 即 x1+x2+p4p, 12322xxp；点 Q 到 y 轴的最小距离为32p。14. 如图，F 是椭圆12222byax(ab0)的一个焦点，A,B 是椭圆 的两个顶点，椭圆的离心率为21点C 在 x 轴上，BCBF，B，C，F 三点确定的圆 M 恰好与直线 l1：330 xy相切 （）求椭圆的方程： （）过点 A 的直线 l2与圆 M 交于 PQ 两点，且2MQMP，求直线 l2的方程14. 【解析】 (1)F(-c，0)，B(0,a3)，kBF=3，kBC=-33，C(3c，0) 且圆 M 的方程为(x-c)2+y2=4c2，圆 M 与直线 l1：x+3u+3=0 相切， cc2313031，解得 c=1，所求的椭圆方程为13422yx(2) 点 A 的坐标为(-2，0)，圆 M 的方程为(x-1)2+y2=4，过点 A 斜率不存在的直线与圆不相交，设直线 l2的方程为 y=k(x+2)，2MQMP，又2 MQMP，cos=21MQMPMQMPPMQ=120，圆心 M 到直线 l2的距离 d=121r，所以1122kkk，k=42所求直线的方程为 x2y2+2=015已知椭圆 C: x2+3y2=3，过点 D(1，0)且不过点 E(2，1)的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M（）求椭圆 C 的离心率；（）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；（）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由15.()椭圆 C 的标准方程为2213xy，312abc，所以椭圆 C 的离心率63cea（）因为 AB 过点 D(1，0)且垂直于 x 轴，所以可设 A(1，y1)，B(1，y1)直线 AE 的方程为 y1=(1y1)(x2)，令 x=3，得 M(3，2y1)所以直线 BM 的斜率11213 1BMyyk（）直线 BM 与直线 DE 平行证明如下：当直线 AB 的斜率不存在时，由（）可知 kBM=1又因为直线 DE 的斜率1 012 1DEk，所以 BMDE当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y=k(x1)(k1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AE 的方程为1111(2)2yyxx 令 x=3，得点1113(3)2yxMx，由2233(1)xyyk x，得2222(1 3)6330kxk xk所以221212226331 31 3kkxxx xkk，直线 BM 的斜率11212323BMyxyxkx因为11112121(1)3(1)(2)3()(2)1(3)(2)BMk xxk xxxxxkxx 121221(1)2()3(3)(2)kx xxxxx2222213312(1)(3)1 31 3(3)(2)kkkkkxx0 所以 kBM=1=kDE ，所以 BMDE综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行16.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是32，抛物线2:2E xy的焦点 F 是 C 的一个顶点.()求椭圆 C 的方程；()设 P 是 E 上的动点， 且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交与不同的两点 A， B， 线段 AB的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M.(i)求证：点 M 在定直线上；(ii)直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.12SS16.【解析】()由题意知2232aba，可得：a2b因为抛物线 E 的焦点为1(0)2F，所以112ab，所以椭圆 C 的方程为2241xy()(i)设2()(0)2mP mm ，由 x22y 可得 yx，所以直线 l 的斜率为 m，因此直线 l 的方程为2()2mym xm，即22mymx设112200()()()A xyB xyD xy， ，联立方程222241mymxxy得22344(1)410mxm xm ，由0，得122402541mmxxm且，因此312022241xxmxm，将其代入220222(41)mmymxym 得，因为0014yxm ，所以直线 OD 方程为14yxm 联立方程14yxmxm ，得点 M 的纵坐标为14My ，即点 M 在定直线14y 上(ii)由(i)知直线 l 方程为22mymx，令 x0 得22my ，所以2(0)2mG，又2322212()(0)()2241 2(41)mmmP mFDmm， ，所以，令 t2m2+1，则，当，即 t2 时，取得最大值，此时，满足0，所以点 P 的坐标为，因此的最大值为，此时点 P 的坐标为.17.已知椭圆2222+=1(0)xyabab的左焦点为,0Fc（-）,离心率为33， 点 M 在椭圆上且位于第一象限，222221) 12() 1)(14(2mmmSS211) 1)(12(2221tttttSS211t21SS4922m)41,22(12SS49)41,22(直线 FM 被圆222+4bxy =截得的线段的长为 c，4 3|=3FM.()求直线 FM 的斜率；()求椭圆的方程；()设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于2，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围.【解析】 （）解：由已知有2213ca，又由 a2=b2+c2，可得 a2=3c2，b2=2c2.设直线 FM 的斜率为 k（k0） ，则直线 FM 的方程为 y=k(x+c).由已知，有2222221kccbk，解得33k .（）解：由（）得椭圆方程为2222132xycc，直线 FM 的方程为3()3yxc，两个方程联立，消去 y，整理得223250 xcxc，解得53xc ，或 x=c.因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐标为2 3,3cc.由222 34 3|()033FMccc，解得 c=1，所以椭圆的方程为22132xy.（）解：设点 P 的坐标为（x，y） ，直线 FP 的斜率为 t，得1ytx，即(1)(1)yt xx ，与椭圆方程联立22(1)132yt xxy，消去 y，整理得22223 (1)6xtx.又由已知，得226223(1)xtx，解得213x ，或1x0.联立，整理可得22223mx.当3, 12x 时，有(1)0yt x，因此 m0，于是2223mx，得2 2 3,33m.当 x（1，0）时，有 y=t(x+1)0，因此 m0，于是2223mx ，得2 3,3m .综上，直线 OP 的斜率的取值范围是2 32 2 3,333 .