1、1.3.1 空间直角坐标系及坐标运算 则由空间向量基本定理可知，则由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量对空间中的任意向量 p，必存在，必存在唯一的有序实数组唯一的有序实数组(x、y、z)，可使，可使 p=xe1+ye2+ze3 设设e1，e2，e3是空间中有公共起点的三个两两垂直是空间中有公共起点的三个两两垂直的单位向量。（我们把它们叫做单位正交基底）的单位向量。（我们把它们叫做单位正交基底） 若以这三个向量的公共起点若以这三个向量的公共起点O为原点，分别以向量为原点，分别以向量 e1，e2，e3的方向为的方向为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向轴的正方向建立空间直角坐标系建立空间直角坐标
2、系O-xyzxyz1e3e2 eOP pppOPpP 思思考考：若若平平移移向向量量 ，使使 的的起起点点与与原原点点重重合合，得得到到向向量量, ,则则点点 的的坐坐标标是是什什么么？为为什什么么呢呢？ABPP(x，y，z) 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对中，对任意向量任意向量p，必存在唯一的有序实数，必存在唯一的有序实数组组(x、y、z)，可使，可使 p=xe1+ye2+ze3 其中，其中，e1，e2，e3是以原点为起点的是以原点为起点的单位正交基底，有序数组单位正交基底，有序数组(x、y、z)叫做向量叫做向量p的坐标，记为的坐标，记为p=(x、y、z)特别地，若平移向量
3、特别地，若平移向量p，使，使p的起点与原点重合，的起点与原点重合，则则p的终点的坐标为的终点的坐标为(x、y、z)二、空间向量的坐标：二、空间向量的坐标：xyz1e3e2 eOP pABP123123-(1,1,1)(2, 3,1)(0,1, 2)O xyzeeeOeeeabc ，一个，练练习习：如如图图在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中， 、 、 是是以以原原点点 为为起起点点的的单单位位正正交交基基底底试试用用 、 、 表表示示下下列列向向量量：（1 1）；（2 2）；（3 3）,2 -aba c 拓拓展展1 1： 又又应应如如何何表表示示？它它们们的的坐坐标标是是什什么么？a b 你能
4、求出 吗？拓拓展展2 2：xyz1e3e2 eO三、空间向量坐标运算：三、空间向量坐标运算：123123(,),( ,)_aa a abb b bababaa b 设则（1）；（2）；（3）；（4）；112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b111222( , ), (,),| _;A x y zB x y zAB （5）若则 222212121()()()xxyyzz空间两点的距离公式空间两点的距离公式:|_;OA 特别地，|222111xyz _ _ab ；（2）；123123(,),( ,)/ /_aa
5、a abb b bab设则（1）； ；四、空间向量平行与垂直的条件：四、空间向量平行与垂直的条件：112233,ab ab ab(0) Rab b，使得312123aaabbb0 a b1 122330a ba ba b123(0,0,0)bbb1(2, 1, 3),( 4,2,),(1,2) / / , , 0) / / , abxcyabcx yacbcx yxakcbky 例例 、已已知知, ,（1 1）若若( (求求的的值值；（2 2）若若且且求求的的值值；（3 3）若若，且且( (求求的的值值；( 2,1,3)解解：（1 1） abx 21312xy1= -1,= -2xy,解解：（
6、2 2）且且acbc2604220yyx 解得解得 x=6，y=-41(2, 1, 3),( 4,2,),(1,2) / / , , 0) / / , abxcyabcx yacbcx yxakcbky 例例 、已已知知, ,（1 1）若若( (求求的的值值；（2 2）若若且且求求的的值值；（3 3）若若，且且( (求求的的值值；1(2, 1, 3),( 4,2,),(1,2)0) / / , abxcyxakcbky 例例 、已已知知, ,（3 3）若若，且且( (求求的的值值；0 ( 4,2,0)解解：（3 3） xb (2, 1, 32 )又又akckkyk 33202，即即kk 332
7、1122422 解解得得yy 课堂小结课堂小结123123(,),( ,)_aa a abb b bababaa b 设则（1）；（2）；（3）；（4）；112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,),()aaaR1 12233a ba ba b111222( , ), (,),| _;A x y zB x y zAB （5）若则 222212121()()()xxyyzz空间两点的距离公式空间两点的距离公式:|_;OA 特别地，|222111xyz _ _ab ；（2）；123123(,),( ,)/ /_aa a abb b bab设则（1）； ；空间向量平行与垂直的条件：空间向量平行与垂直的条件：112233,ab ab ab(0) Rab b，使得312123aaabbb0 a b1 122330a ba ba b123(0,0,0)bbb作业：作业：P22 5 6
