1、1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题距离问题根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式根据两向量数量积的性质和坐标运算，利用公式 或或 (其中其中 ) ，可将两点距离问题转化为求向量模长问题可将两点距离问题转化为求向量模长问题2aa222zyxa),(zyxa两点之间距离两点之间距离已知直线已知直线l的单位方向向量为的单位方向向量为,A是直线是直线l上的定点上的定点,P是直线是直线l外外一点一点.则则P到到直线直线l的距离如何求呢？的距离如何求呢？点P到直线l的距离为PQ =2222|()APAQaa u 已知直线l的方向向量为 b,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设 ,则向量 在直线
2、l上的投影向量.APa AP | |a bbAQbb设 ,则向量 在直线l上的投影向量 =(a).APa AP AQ点P到直线l的距离为PQ =2222|()|a bAPAQab 点到直线的距离点到直线的距离2.两条平行直线之间的距离求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C, D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为. 向量法求点到平面的距离向量法求点到平面的距离：如图，设如图，设P P是平面是平面外一点，外一点，点点P P到到的距离为的距离为d,d,作作P
3、OPO于于O,AO,A是是内任一点内任一点, ,n n是平是平面面的法向量，则的法向量，则PAOd|PA nn 即d这个结论说明这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点此点与平面上的任一点(常选择一常选择一个特殊点个特殊点)的的向量向量在平面的在平面的法向量法向量上的上的射影的绝对值射影的绝对值.用向量求直线与平面的距离用向量求直线与平面的距离定义：定义：直线上任一点到与它平行的平面的距离，直线上任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离。叫做这条直线到平面的距离。 由以上定义可知由以上定义可知,直直线与平面的距离线与平面的距离
4、,本质上本质上是点到平面的的距离是点到平面的的距离,所所以，计算公式还是：以，计算公式还是：|PA nn d已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2,M,N2,M,N分别是分别是BCBC和和CDCD的中点的中点, ,求直线求直线BDBD与平面与平面C C1 1MNMN的距离的距离. .x xy yz z解解: :BD/BD/平面平面C C1 1MN, MN, 只需求点只需求点B B与与平面平面C C1 1MNMN的距离，的距离，用向量求两个平行平面的距离用向量求两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平和两个平行
5、平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做面的公垂线。公垂线夹在平行平面间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。这两个平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小两个平行平面的公垂线段都相等，公垂线段长小于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。于或等于任一条夹在这两平行平面间的线段长。两个平行平面的公垂线段的长两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。度，叫做两个平行平面的距离。求两平行平面的距离，其求两平行平面的距离，其实就是求点到平面的距离。实就是求点到平面的距离。所以计算公式还是所以计算公式还是: :|PA nn d所以计算公式
6、还是所以计算公式还是: :如图如图, ,正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为2 2，E,F,M,NE,F,M,N分别为分别为A A1 1B B1 1,A,A1 1D D1 1,B,B1 1C C1 1,C,C1 1D D1 1 的中点的中点. . (1)(1)求证：平面求证：平面AEF平面平面BDMN; (2)求平面求平面AEF和平面和平面BDMN的距离的距离.(2,0,0), (2,2,0),AB(2)如图建立空间直角坐标系,则解：(0,1,2),(0,2,0),NAB 220(2, 2,1),20 xynyz( , , ),nx y
7、 z则222|2 ( 2)|4.32( 2)1AB nn d(2,2,0),(0,1,2),DBDN BDMN设平面的一个法向量为xyzO用向量求异面直线的距离用向量求异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做两条异面直线的公垂线。面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。叫做这两条异面直线的公垂线段。两条异面直线的公垂线的长度，两条异面直线的公垂线的长度，叫做两条异面直线的距离叫做两条异面直线的距离 异面直线的距离公式异面直线的距离公式如图，设如图，设CD
8、CD是异面直线是异面直线a,b的公的公垂线段垂线段,P,P是直线是直线a上任意一上任意一点点,A,A是直线是直线b上任意一点上任意一点, , 两两条异面直线的距离为条异面直线的距离为d, , n n是与是与异面直线异面直线a,b都垂直的都垂直的向量，则向量，则d|PA nCDn ，AP CD已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线DA1与AC的距离。ABDCA1B1C1D1x xy yz z 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求点B到直线A1C1的距离.解:以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(4,0,1),C1
9、(0,3,1),所以直线A1C1的方向向量所以点B到直线A1C1的距离又因为用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.用空间向量解决立体几何问题的用空间向量解决立体几何问题的“三步曲三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置
10、关）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果）把向量的运算结果“翻译翻译”成相应的几何意义。成相应的几何意义。（化为向量问题）（化为向量问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形） 在直三棱柱中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求直线B1C到平面A1BD的距离.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=90,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.(1)求证:B1D平面ABD;(2)求证:平面EGF平面ABD;(3)求平面EGF与平面ABD的距离.
