1、题型一题型一 直线与圆的方程实际应用直线与圆的方程实际应用例1.已知台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，求B城市处于危险区内的时间【解】【解】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系射线AC为xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动，点B到AC的距离为.xyCAB则射线AC被以B为圆心，以30 km为半径的圆截得的弦长为所以B城市处于危险区内的时间为t1(h).审题认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知建系利用直线与圆的方程的有关知识求解求解还原将运算结果还原到实际问题中建
2、立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，从而在实际问题中求出直线与圆的方程求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为2.5 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为2 m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？解：以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为x2y216(y0).oxy2.74将x2.7代入x2y216(y0)，得y即在离中心线2.7 m处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个
3、隧道将x2代入x2y216(y0)，得所以货车要驶入该隧道，题型二题型二 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题例2 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(2)求yx的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，的几何意义是圆上一点与原点连线的的斜率，即ykx.oxy当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，b取得最大值或最小值，oxy在本例条件下，求x2y2的最大值和最小值解：x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为所以x2y2的最大值是x2y2的最小值是设P是圆(x
4、3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为()A6B4 C3 D2解析：画出已知图，利用数形结合的思想求解如图，圆心M(3，1)与定直线x3的最短距离为|MQ|3(3)6.因为圆的半径为2，所以|PQ|的最小值为624. oxyQx3M题型三题型三过直线与圆的交点的圆系方程过直线与圆的交点的圆系方程例3.已知圆C经过直线xy20与圆x2y24的交点，且圆C的圆心在直线2xy30上，求圆C的方程设所求圆的方程为(x2y24)a(xy2)0，即x2y2axay42a0，因为圆心在直线2xy30上，所以a6.所以圆的方程为x2y26x6y160，即(x3)2(y3)234
5、.求过直线与圆的交点的圆系方程的方法求过直线与圆的交点的圆系方程的方法(1)联立方程组，求出交点坐标，再根据交点坐标求方程；联立方程组，求出交点坐标，再根据交点坐标求方程；(2)设圆系方程求参数，一般地，过直线设圆系方程求参数，一般地，过直线l：AxByC0与圆与圆O：x2y2DxEyF0(D2E24F0)的交点的圆系方程可设为的交点的圆系方程可设为x2y2DxEyF(AxByC)0. 求经过直线xy0与圆x2y22x4y80的交点，且经过点P(1，2)的圆的方程解方程组所以直线与圆交于点A(1，1)和点B(4，4).设所求圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，故所求圆的方程为x2
6、y23x3y80.方法二：设所求圆的方程为x2y22x4y8(xy)0，又点P(1，2)在圆上，将(1，2)代入圆的方程得(1)2(2)22(1)4(2)8(12)0，解得1.故所求圆的方程为x2y22x4y8xy0，即x2y23x3y80.1.已知圆x2y22x2yk0和定点P(1，1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是()A(2，)B(，2)C(2,2)D(，2)(2，)由题意知点P(1，1)必须在圆的外部，则12(1)2212(1)k0，解得k22设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，则从村庄外围到小路的最短距离是_圆心(2，3)到直线xy20的距离减去圆的半径2，3直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则y=kx与直线2x+y+b=0垂直，且2x+y+b=0过圆心，k= ,b=-412oxy4xyO当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，m=1,当直线与圆相切时，32m=5.过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_.最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦xyO(2)2-( )22=2
