1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 9.1 直线的方程 最新考纲 考情考向分析 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素 . 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 . 3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式 (点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式 )，了解斜截式与一次函数的关系 . 以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点题型主要在解答题中与圆、圆锥曲线等知识交汇出现，有时也会在选择、填空题中出现 . 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时， 取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向
2、 之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴 平行或重合 时，规定它的倾斜角为 0. (2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 0 ， 180) 2斜率公式 (1)若直线 l 的倾斜角 90 ，则斜率 k tan_ . (2)P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在直线 l 上且 x1 x2，则 l 的斜率 k y2 y1x2 x1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y y0 k(x x0) 不含直线 x x0 斜截式 y kx b 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 y y1y2 y1 x x1x2 x1不含直线 x x1
3、(x1 x2)和直线 y y1 (y1 y2) 截距式 xa yb 1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax By C 0(A2 B20) 平面直角坐标系内的直线都适用 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 ( ) (2)坐标平面内的任何一条直 线均有倾斜角与斜率 ( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大 ( ) (4)若直线的斜率为 tan ，则其倾斜角为 .( ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 ( ) (6)经过任意两个不同的点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)的直线都
4、可以用方程 (y y1)(x2 x1) (xx1)(y2 y1)表示 ( ) 题组二 教材改编 2 P86T3若过点 M( 2， m)， N(m,4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为 ( ) A 1 B 4 C 1 或 3 D 1 或 4 答案 A 解析 由题意得 m 4 2 m 1，解得 m 1. 3 P100A 组 T9过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 _ 答案 3x 2y 0 或 x y 5 0 解析 当截距为 0 时，直线方程为 3x 2y 0； 当截距不为 0 时，设直线方程为 xa ya 1， 则 2a 3a 1，解得 a 5.所以直线方程为 x y 5 0
5、. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题组三 易错自纠 4 (2018 石家庄模拟 )直线 x (a2 1)y 1 0 的倾斜角的取值范围是 ( ) A.? ?0， 4 B.? ?34 ， C.? ?0， 4 ? ? 2 ， D.? ? 4 ， 2 ? ?34 ， 答案 B 解析 由直线方程可得该直线的斜率为 1a2 1， 又 1 1a2 10，在 y 轴上的截距 CB0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限 6过直线 l： y x 上的点 P(2,2)作直线 m，若直线 l， m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2，则直线 m 的方程为 _ 答案 x 2y 2 0 或 x 2 解析 若
6、直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x 2，直线 m，直线 l 和 x 轴围成的三角形的面积为 2，符合题意； 若直线 m 的斜率 k 0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意； 若直线 m的 斜率 k0 ，设其方程为 y 2 k(x 2)，令 y 0，得 x 2 2k，依题意有 12 ? ?2 2k2 2，即 ? ?1 1k 1，解得 k 12，所以直线 m 的方程为 y 2 12(x 2)，即 x 2y 2 0. 综上可知，直线 m 的方程为 x 2y 2 0 或 x 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 题型一 直线的倾斜角与 斜率 典例 (1)直线 2xcos y 3
7、 0? ? ? ? 6 ， 3 的倾斜角的取值范围是 ( ) A.? ? 6 ， 3 B.? ? 4 ， 3 C.? ? 4 ， 2 D.? ? 4 ， 23 答案 B 解析 直线 2xcos y 3 0 的斜率 k 2cos ， 因为 ? ? 6 ， 3 ，所以 12cos 32 ， 因此 k 2cos 1 ， 3 设直线的倾斜角为 ，则有 tan 1 ， 3 又 0 ， ) ，所以 ? ? 4 ， 3 ， 即倾斜角的取值范围是 ? ? 4 ， 3 . (2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)， B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为 _ 答案 (
8、， 31 ， ) 解析 如图， kAP 1 02 1 1， kBP 3 00 1 3， k( ， 3 1 ， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 引申探究 1若将本例 (2)中 P(1,0)改为 P( 1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围 解 P( 1,0)， A(2,1)， B(0， 3)， kAP 1 02 ? 1? 13， kBP 3 00 ? 1? 3. 如图可知，直线 l 斜率的取值范围为 ? ?13， 3 . 2若将本例 (2)中的 B 点坐标改为 (2， 1)，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的取值范围 解 如图， 直线 PA 的倾斜角为 45 ， 直线 PB 的
9、倾斜角为 135 ， 由图象知 l 的倾斜角的范围为 0 ， 45135 ， 180) 思维升华 直线倾斜角的范围是 0， ) ，根据斜率求倾斜角的范围时，要分 ? ?0， 2 与 ? ? 2 ， 两种情况讨论 跟踪训练 已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y 2 x2相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取到最大值时，直线 l 的倾斜角为 ( ) A 150 B 135 C 120 D 不存在 答案 A 解析 由 y 2 x2，得 x2 y2 2(y0) ，它表示以原点 O 为圆心，以 2为半径的圆的一部分，其图象如图所示 =【 ;精品教育资源文库 】 = 显然
10、直线 l 的斜率存在， 设过点 P(2,0)的直线 l 为 y k(x 2)， 则圆心到此直线的距离 d | 2k|1 k2， 弦长 |AB| 2 2 ? ?| 2k|1 k2 2 2 2 2k21 k2 ， 所以 S AOB 12 | 2k|1 k22 2 2k21 k2 ?2k?2 2 2k22?1 k2? 1， 当且仅当 (2k)2 2 2k2，即 k2 13时等号成立， 由图可得 k 33 ? ?k 33 舍去 ， 故直线 l 的倾斜角为 150. 题型二 求直线的方程 典例 (1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y 4x 的斜率的 13的直线方程； (2)求经过点 A( 5,2)，
11、且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程 解 (1)设所求直线的 斜率为 k， 依题意 k 4 13 43. 又直线经过点 A(1,3)， 因此所求直线方程为 y 3 43(x 1)， 即 4x 3y 13 0. (2)当直线不过原点时，设所求直线方程为 x2a ya 1，将 ( 5,2)代入所设方程，解得 a 12，所以直线方程为 x 2y 1 0；当直线过原点时，设直线方程为 y kx，则 5k 2，解得 k 25，所以直线方程为 y 25x，即 2x 5y 0. 故所求直线方程为 2x 5y 0 或 x 2y 1 0. 思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方
12、程的形式，并注意各种形式的适用条件若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况 跟踪训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点 ( 4,0)，倾斜角的正弦值为 1010 ； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点 (5,10)，到原点的距离为 5. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)由题设知， 该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 1010 (00， b0， 直线 l 的方程为 xa yb 1，所以 2a 1b 1. =【 ;精品教育资源文库 】 =
13、 |MA | MB | MA MB (a 2， 1)( 2， b 1) 2(a 2) b 1 2a b 5 (2a b)? ?2a 1b 5 2ba 2ab 4 ， 当且 仅当 a b 3 时取等号，此时直线 l 的方程为 x y 3 0. 命题点 2 由直线方程解决参数问题 典例 已知直线 l1： ax 2y 2a 4， l2： 2x a2y 2a2 4，当 0 a 2 时，直线 l1， l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值 解 由题意知直线 l1， l2恒过定点 P(2,2)，直线 l1在 y 轴上的截距为 2 a，直线 l2在 x 轴上的截距为 a2 2，
14、所以四边形的面积 S 122(2 a) 122( a2 2) a2 a 4 ? ?a 122 154 ， 当 a 12时，四边形的面积最小 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值 (2)求直线方程弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 (3)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解 跟踪训练 已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A， B 两点，如图所示，求 ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程 解 方法一 设直线方程为 xa yb 1(a0， b0)， 把点 P(3,2)代入得 3a 2b 12 6ab，得 ab24 ， 从而 S AOB 12ab12 ，当且仅当 3a 2b时等号成立，这时 k ba 23，从而所
