1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（六十二） 参数方程 1 (2018 河南息县第一高级中学段测 )已知曲线 C 的参数方程是? x cos ，y m sin (为参数 )，直线 l 的参数方程为? x 1 55 t，y 4 2 55 t(t 为参数 ) (1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P， Q 两点，且 |PQ| 4 55 ，求实数 m 的值 解： (1)由? x cos ，y m sin ( 为参数 )得曲线 C 的普通方程为 x2 (y m)2 1.由 x1 55 t，得 55 t x 1，代入 y 4 2 55 t，得 y
2、4 2(x 1)，所以直线 l 的普通方程为2x y 2 0. (2)圆心 (0， m)到直线 l 的距离为 d | m 2|5 ，由勾股定理得 ? ?| m 2|5 2 ? ?2 55 2 1，解得 m 3 或 m 1. 2在极坐标系中，已知三点 O(0,0)， A? ?2， 2 ， B? ?2 2， 4 . (1)求经过点 O， A， B 的圆 C1的极坐标方程； (2)以极点为坐标原点 ，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 C2的参数方程为? x 1 acos ，y 1 asin ( 是参数 )，若圆 C1与圆 C2外切，求实数 a 的值 解： (1)O(0,0)， A? ?2
3、， 2 ， B? ?2 2， 4 对应的直角坐标分别为 O(0,0)， A(0,2)， B(2,2)，则过点 O， A， B 的圆的普通方程为 x2 y2 2x 2y 0，将? x cos ，y sin 代入可求得经过点 O， A， B 的圆 C1的极坐标方程为 2 2cos? ? 4 . (2)圆 C2：? x 1 acos ，y 1 asin ( 是参数 )对应的普通方程为 (x 1)2 (y 1)2 a2，圆心为 ( 1， 1)，半径为 |a|，而圆 C1的圆心为 (1,1)，半径为 2，所以当圆 C1与圆 C2外切时，有 2 |a| 1 2 1 2，解得 a 2. =【 ;精品教育资源
4、文库 】 = 3 (2018 湖北宜昌模拟 )在直角坐标系 xOy 中，直线 l： y x，圆 C：? x 1 cos ，y 2 sin ( 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求直线 l 与圆 C 的极坐标方程； (2)设直线 l 与圆 C 的交点为 M， N，求 CMN 的面积 解： (1)将 C 的参数方程化为普通方程为 (x 1)2 (y 2)2 1，极坐标方程为 22 cos 4 sin 4 0. 直线 l： y x 的极坐标方程为 4( R) (2)圆心到直线的距离 d | 1 2|2 22 ， |MN| 2 1 12 2， CMN 的面积 S
5、12 2 22 12. 4 (2018 豫南九校联考 )在直角坐标系 xOy 中，设倾斜角为 的直线 l：? x 2 tcos ，y 3 tsin (t 为参数 )与曲线 C： ? x 2cos ，y sin ( 为参数 )相交于不同的两点 A， B. (1)若 3 ，求线段 AB 的中点 M 的坐标； (2)若 |PA| |PB| |OP|2，其中 P(2， 3)，求直线 l 的斜率 解： (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程是 x24 y2 1. 当 3 时，设点 M 对应的参数为 t0. 直线 l 的方程为? x 2 12t，y 3 32 t(t 为参数 )， 代入曲线 C 的普通方
6、程 x24 y2 1，得 13t2 56t 48 0， 设直线 l 上的点 A， B 对应参数分别为 t1， t2. 则 t0 t1 t22 2813， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以点 M 的坐标为 ? ?1213， 313 . (2)将 ? x 2 tcos ，y 3 tsin 代入曲线 C 的普通方程x24 y2 1， 得 (cos2 4sin2 )t2 (8 3sin 4cos )t 12 0， 因为 |PA| PB| |t1t2| 12cos2 4sin2 ， |OP|2 7， 所以 12cos2 4sin2 7，得 tan2 516. 由于 32cos (2 3sin co
7、s )0， 故 tan 54 .所以直线 l 的斜率为 54 . 5 (2018 江西百校联盟模拟 )在平面直角坐标系 xOy 中， C1：? x t，y k t (t 为参数 )以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C2： 2 10 cos 6 sin 33 0. (1)求 C1的普通方程及 C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 P， Q 分别为 C1， C2上的动点，且 |PQ|的最小值为 2，求 k 的值 解： (1)由? x t，y k t 可得其普通方程为 y k(x 1)，它表示过定点 (1,0)，斜率为 k 的直线 由 2 10
8、cos 6 sin 33 0 可得其直角坐标方程为 x2 y2 10x 6y 33 0，整理得 (x 5)2 (y 3)2 1，它表示圆心为 ( 5,3)，半径为 1 的圆 (2)因为圆心 ( 5,3)到直线 y k(x 1)的距离 d | 6k 3|1 k2 |6k 3|1 k2 ，故 |PQ|的最小值为 |6k 3|1 k2 1，故 |6k 3|1 k2 1 2，得 3k2 4k 0，解得 k 0 或 k 43. 6 (2018 湖南岳阳模拟 )已知曲线 C 的极坐标方程为 6sin ，以极点 O 为原点，极轴为 x轴的非负半轴建立直角坐标系，直线 l的参数方程为? x 1 at，y 1
9、t (t 为参数 ) (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； (2)直线 l 与曲线 C 交于 B， D 两点，当 |BD|取到最小值时，求 a 的值 解： (1)曲线 C 的极坐标方程为 6sin ， 即 2 6 sin ，化为直角坐标方程： x2 y2 6y， =【 ;精品教育资源文库 】 = 配 方为： x2 (y 3)2 9，圆心 C(0,3)，半径 r 3. 直线 l 的参数方程为? x 1 at，y 1 t (t 为参数 )，消去参数 t 可得： x ay a 10. (2)由直线 l 经过定点 P( 1,1)，此点在圆的内部， 因此当 CP l 时， |BD|取
10、到最小值， 则 kCP kl 1 3 1 0 kl 1， 解得 kl 12. 1a 12，解得 a 2. 7 (2018 河南六市联考 )在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为? x 4cos ，y 3sin ( 为参数 )，以坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2cos . (1)求曲线 C2的直角坐标方程； (2)已知点 M 是曲线 C1上任意一点，点 N 是曲线 C2上任意一点，求 |MN|的取值范围 解： (1) 2cos ， 2 2 cos ， 曲线 C2的直角坐标方程为 x2 y2 2x. (2)将曲线 C2的方程化为标准形式为
11、 (x 1)2 y2 1，它表示圆心为 C2(1,0)，半径 r 1的圆 由题意， |MN|max |MC2|max r， |MN|min |MC2|min r.设 M(4cos ， 3sin ) 则 |MC2|2 (4cos 1)2 (3sin 0)2 7cos2 8cos 10. 当 cos 47时， |MC2|2min 547 ； 当 cos 1 时， |MC2|2max 25. |MN|max |MC2|max r 6， |MN|min |MC2|min r 3 427 1， |MN| ? ?3 427 1， 6 . 8极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，以原点 O 为极点
12、，以 x 轴正半轴为极轴已知直线 l 的参数方程为? x 2 tcos ，y tsin (t 为参数 )曲线 C 的极坐标方程为 sin2 8cos . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，与 x 轴的交点为 F，求 1|AF| 1|BF|的值 解： (1)由 sin2 8cos ，得 2sin2 8 cos ， 曲线 C 的直角坐标方程为 y2 8x. (2)易得直线 l 与 x 轴的交点为 F(2,0)，将直线 l 的方程代入 y2 8x，得 (tsin )28(2 tcos )，整理得 sin2 t2 8cos t 16 0. 由已知 sin 0 ， ( 8cos )2 4( 16)sin2 64 0， t1 t2 8cos sin2 ， t1t2 16sin2 0， 故 1|AF| 1|BF| 1|t1| 1|t2| ? ?1t1 1t2 ? ?t1 t2t1t2 t1 t22 4t1t2|t1t2| ? ?8cos sin2 2 64sin216sin2 12.
