1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（三十四）空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 空间几何体的三视图和直观图 1给出下列四个命题： 各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱； 对角面是全等矩形的六面体一定是长方体； 有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； 长方体一定是正四棱柱 其中正确的命题个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析：选 A 直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱； 底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体； 显然错误，故选 A. 2 (2018 广州六校联考 )已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给
2、出下列 5 个图形： 其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为 ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 解析：选 B 由题知可以作为该几何体的俯视图的图形可以为 .故选 B. 3在如图所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2)，(2,2,0)， (1,2,1)， (2,2,2)给出编号为 的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 和 B 和 C 和 D 和 解析：选 D 由题意得，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,2)， (0,2,0)， (0,2,2)，且内有一条虚线 (一顶点
3、与另一直角边中点的连线 )，故正视图是 ；俯视图即在底面的射影，是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是 (0,0,0)， (2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是 . 4.如图， O A B 是 OAB 的水平放置的直观图，其中 O A O B 2，则 OAB 的面积是 _ 解析：在 Rt OAB 中， OA 2， OB 4， OAB 的面积 S 1224 4. 答案： 4 5一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为 12 cm，则这个圆台的母线长为 _cm. 解析：如图，过点 A 作 AC OB，交 OB 于点 C.在 Rt ABC 中， AC 12 c
4、m， BC 8 35(cm) AB 122 52 13(cm) 答案： 13 对点练 (二 ) 空间几何体的表面积与体积 1已知圆锥的表面积为 a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( ) A.a2 B. 3 a3 C.2 3 a3 D.2 3a3 解析：选 C 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意知 2 r l， l 2r，则圆锥的表面积 S 表 r2 12(2 r)2 a， r2 a3 ， 2r 2 3 a3 . 2 (2017 全国卷 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
5、 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 90 B 63 C 42 D 36 解析：选 B 由题意知，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，故其体积 V 3 210 123 26 63. 3 (2018 湖北四校联考 )已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A 16 B (10 5) C 4 (5 5) D 6 (5 5) 解析：选 C 该几何体是两个相同的半圆锥与一个 半圆柱的组合体，其表面积为 S 4 4 5 4 (5 5). 4 (2017 山东高考 )由一个长方体和两个 14圆柱体构成的几何体的三视图如图，
6、则该几何体的体积为 _ 解析：该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，高为 1的四分之一圆柱体构成， =【 ;精品教育资源文库 】 = V 211 2 141 21 2 2. 答案： 2 2 5我国古代数学名著数书九章 中有 “ 天池盆测雨 ” 题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 _寸 (注： 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； 一尺等于十寸 ) 解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为 V 13 h(r2中 r2下 r中 r 下 )3 9(
7、102 62 106) 588( 立方寸 )，降雨量为 V142 588196 3(寸 ) 答案： 3 6 (2018 合肥市质检 )高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的_ 解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为 2、底面积为 122(2 4) 6 的四棱锥，其体积为 1362 4.而直三棱柱的体积为 12224 8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的 12. 答案： 12 对点练 (三 ) 与球有关的切、接应用问题 1在三棱锥 A BCD 中，侧棱 AB， AC， AD 两两垂直， ABC， A
8、CD， ADB 的面积分别为 22 ， 32 ， 62 ，则该三棱锥外接球的表面积为 ( ) A 2 B 6 C 4 6 D 24 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：选 B 设相互垂直的三条侧棱 AB， AC， AD 分别为 a， b， c 则 12ab 22 ， 12bc 32 ，12ac62 ，解得 a 2， b 1， c 3.所以三棱锥 A BCD 的外接球的直径 2R a2 b2 c2 6，则其外接球的表面积 S 4 R2 6. 2已知正四面体的棱长为 2，则其外接球的表面积为 ( ) A 8 B 12 C. 32 D 3 解析：选 D 如图所示，过顶点 A 作 AO 底面 BC
9、D，垂足为 O，则 O为正三角形 BCD 的中心，连接 DO 并延长交 BC 于点 E，又正四面体的棱长为 2，所以 DE 62 ， OD 23DE 63 ，所以在直角三角形 AOD 中， AO AD2 OD2 2 33 .设正四面体外接球的球心为 P，半径为 R，连接 PD，则在直角三角形 POD中， PD2 PO2 OD2，即 R2 ? ?2 33 R 2 ? ?63 2，解得 R 32 ，所以外接球的表面积 S 4 R2 3. 3 (2018 湖北七市 (州 )联考 )一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为 ( ) A 36 B.1123 C 32 D 28 解析：选 B
10、根据三视图，可知该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为 4 的正方形，高是 2 3.将该四棱锥补形成一个三棱柱，如图所示，则其底面是边长为 4 的正三角形，高是 4，该三棱柱的外接球即为原四棱锥的外接球，其中心到三棱柱 6 个顶点的距离即为该四棱锥外接球的半径 三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形， 底面三角形的中心到该三角形三个顶点的距离=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 232 3 4 33 ， 外接球的半径 R ? ?4 33 2 22 283 ，外接 球的表面积 S 4 R2 4 283 1123 ，故选 B. 4.(2018 陕西西工大附中训练 )如图，在四棱锥 P ABCD 中
11、，底面ABCD 是边长为 m 的正方形， PD 底面 ABCD，且 PD m， PA PC 2m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是 _ 解析：由 PD 底面 ABCD，得 PD AD.又 PD m， PA 2m，则 AD m.设内切球的球心为O，半径为 R，连接 OA， OB， OC， OD， OP(图略 )，易知 VP ABCD VO ABCD VO PAD VO PAB VO PBCVO PCD，即 13 m2 m 13 m2 R 13 12 m2 R 13 12 2m2 R 13 12 2m2 R1312 m2 R，解得 R 12(2 2)m，所以此球的最大半径是12(2 2
12、)m. 答案： 12(2 2)m 大题综合练 迁移贯通 1有一根长为 3 cm ，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？ 解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图 )，由题意知 BC 3 cm ， AB 4 cm ，点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最 短长度 AC AB2 BC2 5(cm) 故铁丝的最短长度为 5 cm. 2.一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为 1的平行四边形，侧视图是一个长为 3、宽为 1 的矩形，俯
13、视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形 (1)求该几何体的体积 V； (2)求该几何体的表面积 S. 解： (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体 (如图 )，其底面是边长为 1 的正方形，高为 3. 所以 V 11 3 3. (2)由三视图可知 ，该平行六面体中， A1D 平面 ABCD， CD 平面=【 ;精品教育资源文库 】 = BCC1B1， 所以 AA1 2，侧面 ABB1A1， CDD1C1均为矩形 S 2(11 1 3 12) 6 2 3. 3一个正三棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 15，求这个三棱锥的体积 解：正三棱锥 S ABC 如图所示， 设 H 为正三角形 ABC 的中心，连接 SH，则 SH 的长即为该正三棱锥的高 连接 AH 并延长交 BC 于点 E， 则 E 为 BC 的中点，且 AE BC. ABC 是边长为 6 的正三角形， AE 32 6 3 3， AH 23AE 2 3. 在 ABC 中， S ABC 12BC AE 1263 3 9 3. 在 Rt SHA 中， SA 15， AH 2 3， SH SA2 AH2 15 12 3， V 正三棱锥 13S ABC SH 139 3 3 9.
