1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（三十） 数列的综合问题 小题常考题点 准解快解 1 (2018 安徽六安一中月考 )已知数列 an的通项公式为 an 5 n，其前 n 项和为 Sn，将数列 an的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 bn的前 3 项，记bn的前 n 项和为 Tn.若存在 m N*，使对任意 n N*， Sn Tm 恒成立，则实数 的取值范围是 ( ) A 2， ) B (3， ) C 3， ) D (2， ) 解析：选 D 依题意得 Sn 5 n n2 n n2 ，根据二次函数的性质， n 4,5时， Sn取得最大值为 10.另外，根据通项
2、公式得数列 an的前 4 项为 a1 4， a2 3， a3 2，a4 1，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列所以数列 bn中， b1 4，公比 q 12，所以 Tn4? ?1 12n1 12 8? ?1 12n ，所以 4 Tn2.故选 D. 2 (2018 北京景山学校段测 )已知数列 an满足 a1 1， P(an， an 1)(n N*)在直线 xy 1 0 上，如果函数 f(n) 1n a1 1n a2 1n an(n N*， n2) ，那么函数 f(n)的最小值为 ( ) A.13 B 14 C.712 D 512 解析：选 C 将点 P 的坐标代入直线方程，得 an
3、1 an 1，所以 an是首项为 1，公差为 1的等差数列，所以 an n，所以 f(n) 1n 1 1n 2 1n n， f(n 1) 1n 2 1n 3 1n n 2，所以 f(n 1) f(n) 1n n 1 1n n 2 1n 1 12n 2 12n 2 1n 1 0，所以 f(n)单调递增，故 f(n)的最小值为 f(2) 712，故选 C. 3 (2018 江西金溪一中月考 )据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半若饲养 5 年后，鱼的质量预计为原来的 t 倍下列选项中，与 t 值最接近的是 ( ) A 11 B 13 =【 ;精品
4、教育资源文库 】 = C 15 D 17 解析：选 B 设鱼原来的质量为 a，饲养 n 年后鱼的质量为 an， q 200% 2，则 a1 a(1 q)， a2 a1? ?1 q2 a(1 q)? ?1 q2 ， ， a5 a(1 2)(1 1) ? ?1 12 ? ?1 122 ? ?1 123 40532a12.7 a，即 5 年后，鱼的质量预计为原来的 12.7 倍，故选 B. 4 (2018 湖北襄阳四校联考 )我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列 1， 12， 13， 14， ， 1n. 第二步：将数列 的各项乘以 n2，得到
5、一个新数列 a1， a2， a3， ， an. 则 a1a2 a2a3 a3a4 an 1an ( ) A.n24 Bn 24 C.n n4 D n n4 解析：选 C 由题意知所得新数列为 1 n2， 12 n2， 13 n2， ， 1n n2，所以 a1a2 a2a3a3a4 an 1an n24 ?112 12 3134 1n n n24?1 12 ?1213 ?1314 ?1n 11n n24?1 1n n n4 ，故选 C. 5 (2018 辽宁盘锦高中月考 )数列 an满足 a1 14， an 1 14 4an，若不等式 a2a1 a3a2 an 2an 11， a1 1，且 2a
6、2， a4,3a3成等差数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)记 bn 2nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解： (1)由 2a2， a4,3a3成等差数列可得 2a4 2a2 3a3， 即 2a1q3 2a1q 3a1q2， 又 q1， a1 1，故 2q2 2 3q， 即 2q2 3q 2 0，得 q 2， 因此数列 an的通项公式为 an 2n 1. (2)bn 2n2 n 1 n2 n， Tn 12 22 2 32 3 n2 n， 2Tn 12 2 22 3 32 4 n2 n 1. 得 Tn 2 22 23 2n n2 n 1， Tn 2 2n 12 1 n2n 1，
7、 Tn (n 1)2 n 1 2. 2 (2017 山东高考 )已知 xn是各项均为正数的等比数列，且 x1 x2 3， x3 x2 2. (1)求数列 xn的通项公式； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1， 1)， P2(x2,2)， ， Pn 1(xn 1，n 1)得到折线 P1P2 Pn 1，求由该折线与直线 y 0， x x1， x xn 1所围成的区域的面积 Tn. 解： (1)设数列 xn的公比为 q，由已知得 q0.由题意得? x1 x1q 3，x1q2 x1q 2. 所以 3q2 5q 2 0.因为 q0，所以 q
8、 2， x1 1，因此数列 xn的通项公式为 xn 2n 1. (2)过 P1， P2， ， Pn 1向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q1， Q2， ， Qn 1.由 (1)得 xn 1 xn 2n 2n 1 2n 1，记梯形 PnPn 1Qn 1Qn的面积为 bn，由题意得 bn n n2 2 n 1 (2n1)2 n 2，所以 Tn b1 b2 bn 32 1 52 0 72 1 (2n 1)2 n 3 (2n1) 2n 2. 又 2Tn 32 0 52 1 72 2 (2n 1)2 n 2 (2n 1)2 n 1. 得 Tn 32 1 (2 22 2n 1) (2n 1)2 n 1 32
9、2n 11 2 (2n 1)2n 1. 所以 Tn nn 12 . 3 (2018 河北二市联考 )在等比数列 an中， an0(n N*)， a1a3 4，且 a3 1 是 a2和a4的等差中项，若 bn log2an 1. (1)求数列 bn的通项公式； (2)若数列 cn满足 cn an 1 1b2n 1 b2n 1，求数列 cn的前 n 项和 解： (1)设等比数列 an的公比为 q，且 q0， 在等比数列 an中，由 an0， a1a3 4 得， a2 2， 又 a3 1 是 a2和 a4的等差中项， 所以 2(a3 1) a2 a4， 把 代入 得， 2(2q 1) 2 2q2，
10、解得 q 2 或 q 0(舍去 )， 所以 an a2qn 2 2n 1， 则 bn log2an 1 log22n n. (2)由 (1)得， cn an 1 1b2n 1 b2n 1 2n 1n n 2n 12? ?12n 1 12n 1 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以数列 cn 的前 n 项和 Sn 2 22 2n 12? 13 ?1315 ?12n 112n 1 2n1 2 12?1 12n 1 2n 1 2 n2n 1. 4 (2018 河北定州中学阶段性检测 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn n223n2. (1)求数列 an的通项公式； (2)若数列
11、bn满足 bn an 2 an 1an 2 an，且数列 bn的前 n 项和为 Tn，求证： Tn2n 512. 解： (1)因为 Sn n223n2 ， 所以当 n2 时， Sn 1 n22 n2 ， 所以由 两式相减得 an Sn Sn 1 n223n2 n 22 n2 n 1. 又因为 n 1 时， a1 S1 2 适合 an n 1， 所以 an n 1. (2)证明：由 (1)知 bn n 3 (n 1) 1n n 2 12? ?1n 1 1n 3 ， 所以 Tn b1 b2 b3 bn 2n 12? ?12 14 13 15 1n 1 1n 3 2n 12? ?12 13 1n 2 1n 3 2n 512 12? ?1n 2 1n 3 2n 512.
