1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（三十八） 空间向量及其运算和空间位置关系 小题常考题点 准解快解 1已知 a (2,1， 3)， b ( 1,2,3)， c (7,6， )，若 a， b， c 三向量共面，则 ( ) A 9 B 9 C 3 D 3 解析：选 B 由题意设 c xa yb，则 (7,6， ) x(2,1， 3) y( 1,2,3)， ? 2x y 7，x 2y 6， 3x 3y ，解得 9. 2 若直线 l 的方向向量为 a (1,0,2)，平面 的法向量为 n ( 2,0， 4)，则 ( ) A l B l C l? D l 与 斜交 解析：选 B a (1,
2、0,2)， n ( 2,0， 4)， n 2a，即 a n， l . 3已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E， F 分别是 BC， AD 的中点，则 AE AF 的值为 ( ) A a2 B.12a2 C.14a2 D. 34 a2 解析：选 C AE AF 12( AB AC ) 12 AD 14( AB AD AC AD ) 14(a2cos 60 a2cos 60) 14a2. 4.如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点若 AB a， AD b， AA1 c，则下列向量中与 BM 相等的向量是( ) A 12
3、a 12b c B.12a 12b c C 12a 12b c D.12a 12b c 解析：选 A BM BB1 B1M AA1 12( AD AB ) c 12(b a) 12a 12b c. 5 (2018 云南模拟 )已知 a ( 3,2,5)， b (1， x， 1)，且 a b 2，则 x 的值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 3 B 4 C 5 D 6 解析：选 C a ( 3,2,5)， b (1， x， 1)， a b 3 2x 5 2，解得 x 5，故选 C. 6已知 V为矩形 ABCD所在平面外一点，且 VA VB VC VD， VP 13 VC ， VM
4、 23 VB ， VN 23 VD .则 VA 与平面 PMN 的位置关系是 _ 解析：如图，设 VA a， VB b， VC c，则 VD a c b， 由题意知 PM 23b 13c， PN 23 VD 13 VC 23a 23b 13c. 因此 VA 32 PM 32 PN ， VA ， PM ， PN 共面 又 VA?平面 PMN， VA 平面 PMN. 答案： VA 平面 PMN 7已知 O(0,0,0)， A(1,2,3)， B(2,1,2)， P(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA QB 取最小值 时，点 Q 的坐标是 _ 解析：由题意，设 OQ OP ，则 O
5、Q ( ， ， 2 )，即 Q( ， ， 2 )，则 QA (1 ， 2 ， 3 2 )， QB (2 ， 1 ， 2 2 )， QA QB (1 )(2 ) (2 )(1 ) (3 2 )(2 2 ) 6 2 16 10 6? ? 43 2 23，当 43时有最小值，此时 Q 点坐标为 ? ?43， 43， 83 . 答案： ? ?43， 43， 83 大题常考题点 稳解全解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1已知 a (1， 3,2)， b ( 2,1,1)， A( 3， 1,4)， B( 2， 2,2) (1)求 |2a b|； (2)在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得 OE b
6、？ (O 为原点 ) 解： (1)2a b (2， 6,4) ( 2,1,1) (0， 5,5)， 故 |2a b| 02 2 52 5 2. (2)令 AE t AB (t R)， 所以 OE OA AE OA t AB ( 3， 1,4) t(1， 1， 2) ( 3 t， 1 t,4 2t)， 若 OE b，则 OE b 0， 所以 2( 3 t) ( 1 t) (4 2t) 0，解得 t 95. 因此存在点 E，使得 OE b，此时 E 点的坐标为 ? ? 65， 145 ， 25 . 2.已知直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC 为等腰直角三角形， BAC 90 ，且 AB AA
7、1， D， E， F 分别为 B1A， C1C， BC 的中点求证： (1)DE 平面 ABC； (2)B1F 平面 AEF. 证明：以 A 为原点， AB， AC， AA1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，令 AB AA1 4，则 A(0,0,0)，E(0,4,2)， F(2,2,0)， B1(4， 0,4)， D(2,0,2)， A1(0,0,4) (1) DE ( 2,4,0)，平面 ABC 的法向量为 AA1 (0,0,4)， DE AA1 0， DE?平面 ABC， DE 平面 ABC. (2)B1F ( 2,2， 4)， EF (2，
8、2， 2)， AF (2,2,0)， B1F EF ( 2)2 2( 2) ( 4)( 2) 0， B1F EF ， B1F EF， B1F AF ( 2)2 22 ( 4)0 0， B1F AF ， B1F AF. =【 ;精品教育资源文库 】 = AF EF F， B1F 平面 AEF. 3.如图，四棱锥 P ABCD 的底面为正方形，侧棱 PA 底面 ABCD，且 PA AD 2， E， F， H 分别是线段 PA， PD， AB 的中点求证： (1)PB 平面 EFH； (2)PD 平面 AHF. 证明：建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz. A(0,0,0)， B(2,0,0)，
9、 C(2,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,2)，E(0,0,1)， F(0,1,1)， H(1,0,0) (1) E， H 分别是线段 AP， AB 的中点， PB EH. PB?平面 EFH，且 EH?平面 EFH， PB 平面 EFH. (2) PD (0,2， 2)， AH (1,0,0)， AF (0,1,1)， PD AF 00 21 ( 2)1 0， PD AH 01 20 ( 2)0 0. PD AF， PD AH. 又 AF AH A， PD 平面 AHF. 4.如图所示，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，点 P 为侧棱 SD 上
10、的点 (1)求证： AC SD； (2)若 SD 平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE 平面PAC.若存在，求 SE EC 的值；若不存在，试说明理由 解： (1)证明：连接 BD，设 AC 交 BD 于点 O，则 AC BD.连接 SO，由题意知 SO 平面 ABCD. 以 O 为坐标原点， OB ， OC ， OS 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z轴，建立空间直角坐标系，如图 底面边长为 a，则高 SO 62 a， 于是 S? ?0， 0， 62 a ， D? ? 22 a， 0， 0 ， B? ?22 a， 0， 0 ， C? ?0， 22 a， 0 ， OC
11、 ?0， 22 a， 0 ， SD ? ? 22 a， 0， 62 a ， 则 OC SD 0.故 OC SD.从而 AC SD. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)棱 SC 上存在一点 E，使 BE 平面 PAC. 理由如下：由已知条件知 DS 是平面 PAC 的一个法向量，且 DS ? ?22 a， 0， 62 a ， CS ? ?0， 22 a， 62 a ， BC ? ? 22 a， 22 a， 0 . 设 CE t CS ，则 BE BC CE BC t CS ? ? 22 a， 22 a t ， 62 at ，而BE DS 0?t 13. 即当 SE EC 2 1 时， BE DS . 而 BE?平面 PAC，故 BE 平面 PAC.
