1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（十三） 导数的概念及运算 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 导数的运算 1 (2018 泉州质检 )设函数 f(x) x(x k)(x 2k)，则 f( x) ( ) A 3x2 3kx k2 B x2 2kx 2k2 C 3x2 6kx 2k2 D 3x2 6kx k2 解析：选 C 法一： f(x) x(x k)(x 2k)， f( x) (x k)(x 2k) x(x k)(x 2k) (x k)( x 2k) x(x 2k) x(xk) 3x2 6kx 2k2，故选 C. 法 二：因为 f(x) x(x k)(x 2k) x3 3k
2、x2 2k2x，所以 f( x) 3x2 6kx 2k2，故选 C. 2 (2018 泰安一模 )给出下列结论： 若 y log2x，则 y 1xln 2； 若 y 1x，则 y 12x x； 若 f(x) 1x2，则 f(3) 227； 若 y ax(a0)，则 y axln a其中正确的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 ：选 D 根据求导公式可知 正确；若 y 1x x?12 ，则 y 12x?32 12x x，所以 正确；若 f(x) 1x2，则 f( x) 2x 3，所以 f(3) 227，所以 正确；若 yax(a0)，则 y axln a，所以 正确因此正确的结
3、论个数是 4，故选 D. 3若函数 y xm的导函数为 y 6x5，则 m ( ) A 4 B 5 C 6 D 7 解析：选 C 因为 y xm，所以 y mxm 1，与 y 6x5相比较，可得 m 6. 4已知函数 f(x) xex(e 是自然对数的底数 )，则其导函数 f( x) ( ) A.1 xex B.1 xex C 1 x D 1 x 解析：选 B 函数 f(x) xex，则其导函数 f( x) ex xexe2x 1 xex ，故选 B. 5若 f(x) x2 2x 4ln x，则 f( x)0， f( x) 2x 2 4x2x2 2x 4x ，由 f( x)2x2 2x 4x
4、0，得 0x2， f( x)0 的解集为 (0,2)，故选 B. 6 (2018 信阳模拟 )已知函数 f(x) aex x，若 1f(0)2 ，则实数 a 的取值范围是( ) A.? ?0， 1e B (0,1) C (1,2) D (2,3) 解析：选 B 根据题意， f(x) aex x，则 f( x) (aex) x aex 1，则 f(0) a 1，若 1f(0)2 ，则 1a 12，解得 0a1，所以实数 a 的取值范围为 (0,1)故选B. 对点练 (二 ) 导数的几何意义 1 (2018 安徽八校联考 )函数 f(x) tan x2在 ? ? 2 ， f? ? 2 处的切线的倾
5、斜角 为( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析：选 B f( x)?sin x2cos x2 12cos2 x2，得切线斜率 k tan f ? ? 2 1，故 4 ，选 B. 2若函数 f(x) x3 x 3 的图象在点 P 处的切线平行于直线 y 2x 1，则点 P 的坐标为 ( ) A (1,3) B ( 1,3) C (1,3)或 ( 1,3) D (1， 3) 解析：选 C f( x) 3x2 1，令 f( x) 2，即 3x2 1 2?x 1 或 1，又 f(1) 3，f( 1) 3，所以 P(1,3)或 ( 1,3)，经检验，点 (1,3)， ( 1,3)均不在直线
6、 y 2x 1 上，故点 P 的坐标为 (1,3)或 ( 1,3) 3 (2018 福州质检 )过点 ( 1,1)与曲线 f(x) x3 x2 2x 1 相切的直线有 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 0 条 B 1 条 C 2 条 D 3 条 解析：选 C 设切点 P(a， a3 a2 2a 1)，由 f( x) 3x2 2x 2，当 a 1 时，可得切线的斜率 k 3a2 2a 2 a3 a2 2a 1a ，所以 (3a2 2a 2)(a 1) a3 a22a，即 (3a2 2a 2)(a 1) a(a 2)(a 1)，所以 a 1，此时 k 1.又 ( 1,1)是曲线上的点且
7、 f( 1) 3 1，故切线有 2 条 4 (2018 重庆一模 )已知直线 y a 与函数 f(x) 13x3 x2 3x 1 的图象相切，则实数a 的值为 ( ) A 26 或 83 B 1 或 3 C 8 或 83 D 8 或 83 解析：选 D 令 f( x) x2 2x 3 0，得 x 1 或 x 3， f( 1) 83， f(3) 8， a 83或 8. 5 (2018 临川一模 )函数 f(x) x ln xx 的图象在 x 1 处的切线与两坐 标轴围成的三角形的面积为 ( ) A.12 B.14 C.32 D.54 解析：选 B 因为 f(x) x ln xx ， f( x)
8、1 1 ln xx2 ，所以 f(1) 1， f(1) 2，故切线方程为 y 1 2(x 1)令 x 0，可得 y 1；令 y 0，可得 x 12.故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 121 12 14，故选 B. 6 (2018 成都诊断 )若曲线 y ln x ax2(a 为常数 )不存在斜率为负数的切线，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.? ? 12， B.? ? 12， C (0， ) D 0， ) 解析：选 D 由题意知，函数 y ln x ax2的定义域为 (0， ) ， y 1x 2ax 2ax2 1x=【 ;精品教育资源文库 】 = 0 恒成立，即 2ax2 10 ， a
9、 12x2恒成立，又在定义域内， 12x2 ( ， 0)，所以实数 a 的取值范围是 0， ) 7 (2017 柳州二模 )已知函数 f(x) x2 bx c(b， c R)， F(x) f xex ，若 F(x)的图象在 x 0 处的切线方程为 y 2x c，则函数 f(x)的最小值是 ( ) A 2 B 1 C 0 D 1 解析：选 C f( x) 2x b， F(x) 2x bex ， F( x) 2 2x bex ，又 F(x)的图象在x 0 处的切线方程为 y 2x c， ? F 2，F c， 得 ? b c，b 4， f(x) (x2)20 ， f(x)min 0. 8 (2018
10、 唐山模拟 )已知函数 f(x) x2 1， g(x) ln x，则下列说法中正确的为 ( ) A f(x)， g(x)的图象在点 (1,0)处有公切线 B存在 f(x)的 图象的某条切线与 g(x)的图象的某条切线平行 C f(x)， g(x)的图象有且只有一个交点 D f(x)， g(x)的图象有且只有三个交点 解析：选 B 对于 A， f(x)的图象在点 (1,0)处的切线为 y 2x 2，函数 g(x)的图象在点 (1,0)处的切线为 y x 1，故 A 错误；对于 B，函数 g(x)的图象在 (1,0)处的切线为 y x 1，设函数 f(x)的图象在点 (a， b)处的切线与 y x
11、 1 平行，则 f( a) 2a 1， a 12，故 b ? ?12 2 1 34，即 g(x)的图象在 (1,0)处的切线与 f(x)的图象在 ? ?12， 34 处的切线平行， B 正确；如图作出两函数的图象，可知两函数的图象有两个交点， C， D 错误故选 B. 9 (2018 包头一模 )已知函数 f(x) x3 ax 1 的图象在点 (1， f(1)处的切线过点(2,7)，则 a _. 解析：函数 f(x) x3 ax 1 的导数为 f( x) 3x2 a， f(1) 3 a，又 f(1) a 2，所以切线方程为 y a 2 (3 a)(x 1)，因为切线经过点 (2,7)，所以 7
12、 a 2 (3 a)(2 1)，解得 a 1. 答案： 1 大题综合练 迁移贯通 1 (2018 兰州双基过关考试 )定义在实数集上的函数 f(x) x2 x， g(x) 13x3 2x=【 ;精品教育资源文库 】 = m. (1)求函数 f(x)的图象在 x 1 处的切线方程； (2)若 f(x) g(x)对任意的 x 4,4恒成立，求实数 m 的取值范围 解： (1) f(x) x2 x， f(1) 2. f( x) 2x 1， f(1) 3. 所求切线方程为 y 2 3(x 1)，即 3x y 1 0. (2)令 h(x) g(x) f(x) 13x3 x2 3x m， 则 h( x)
13、(x 3)(x 1) 当 4 x 1 时， h( x)0 ； 当 1 x3 时， h( x)0 ； 当 3 x4 时， h( x) 0. 要使 f(x) g(x)恒成立，即 h(x)max0 ， 由上知 h(x)的最大值在 x 1 或 x 4 处取得， 而 h( 1) m 53， h(4) m 203 ， h(x)的最大值为 m 53， m 530 ，即 m 53. 实数 m 的取值范围为 ? ? ， 53 . 2 (2018 青岛期末 )设函数 f(x) ax bx，曲线 y f(x)在点 (2， f(2)处的切线方程为 7x 4y 12 0. (1)求 f(x)的解析式； (2)证明曲线
14、f(x)上任一点处的切线与直线 x 0和直线 y x所围成的三角形面积 为定值，并求此定值 解： (1)方程 7x 4y 12 0 可化为 y 74x 3，当 x 2 时， y 12. 又因为 f( x) a bx2， 所以? 2a b2 12，a b4 74.解得? a 1，b 3， 所以 f(x) x3x. (2)证明：设 P(x0， y0)为曲 线 y f(x)上任一点，由 y 1 3x2知曲线在点 P(x0， y0)=【 ;精品教育资源文库 】 = 处的切线方程为 y y0 ? ?1 3x20(x x0)， 即 y ? ?x03x0 ?1 3x20 (x x0) 令 x 0，得 y 6
15、x0，所以切线与直 线 x 0 的交点坐标为 ? ?0， 6x0.令 y x，得 y x 2x0，所以切线与直线 y x 的交点坐标为 (2x0,2x0) 所以曲线 y f(x)在点 P(x0， y0)处的切线与直线 x 0， y x 所围成的三角形的面积 S 12? ? 6x0 |2x0| 6. 故曲线 y f(x)上任一点处的切线与直线 x 0， y x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为 6. 3已知函数 f(x) 13x3 2x2 3x(x R)的图象为曲线 C. (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围； (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值范围 (3)证明：不存在与曲线 C 同时切于两个不同点的直线 解： (1)由题意得 f( x) x2 4x 3， 则 f( x) (x 2)2 1 1， 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是 1， ) (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k， 则由题意，及 (1)可知，? k 1， 1k 1， 解得 1 k 0 或 k1 ， 故由 1 x2 4x 3 0 或 x2 4x 3
