1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（二十五） 平面向量基本定理及坐标表示 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 平面向量基本定理 1 (2018 珠海一模 )如图，设 O 是平行四边形 ABCD 两条对角线的交点，给出下列向量组： AD 与 AB ； DA 与 BC ； CA 与 DC ； OD 与 OB . 其中可作为该平面内其他向量的基底的是 ( ) A B C D 解析：选 B 中 AD ， AB 不共线； 中 CA ， DC 不共线 中的两向量共线，因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，所以选 B. 2 (2018 山西太原质检 )在 ABC 中， M 为边 BC
2、上任意一点， N 为 AM 的中点， AN AB AC ，则 的值为 ( ) A.12 B.13 C.14 D 1 解析：选 A 设 BM t BC ，则 AN 12 AM 12( AB BM ) 12 AB 12 BM 12 AB t2BC 12 AB t2( AC AB ) ? ?12 t2 AB t2 AC ， 12 t2， t2， 12，故选A. 3 (2018 湖南四大名校联考 )在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交 于点 O， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F.若 AC a， BD b，则 AF ( ) A.14a 12b B.12a 14
3、b C.23a 13b D.12a 23b 解析：选 C 如图，根据题意，得 AB 12 AC 12 DB 12(a b)，AD 12 AC 12 BD 12(a b) =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 AF t AE ，则 AF t( AB BE ) t? ?AB 34 BE t2a t4b.由 AF AD DF ，令 DF s DC ，又 AD 12(a b)， DF s2a s2b，所以 AF s 12 a 1 s2 b，所以? t2 s 12 ，t41 s2 ，解方程组得? s 13，t 43，把 s 代入即可得到 AF 23a 13b，故选 C. 4 (2018 山东潍坊一模 )
4、若 M 是 ABC 内一点，且满足 BA BC 4 BM ，则 ABM 与 ACM 的面积之比为 ( ) A.12 B.13 C.14 D 2 解析：选 A 设 AC 的中点为 D，则 BA BC 2 BD ，于是 2 BD 4 BM ，从而 BD 2 BM ，即 M 为 BD 的中点 ，于是 S ABMS ACM S ABM2S AMD BM2MD 12. 5 (2018 湖北黄石质检 )已知点 G 是 ABC 的重心，过 G 作一条直线与 AB， AC 两边分别交于 M， N 两点，且 AM x AB ， AN y AC ，则 xyx y的值为 ( ) A.12 B.13 C 2 D 3
5、解析：选 B 由已知得 M， G， N 三点共线， AG AM (1 ) AN x AB (1 )y AC . 点 G 是 ABC 的重心， AG 23 12( AB AC ) 13( AB AC )， ? x 13， y 13，即? 13x，1 13y，得 13x 13y 1，即 1x 1y 3，通分变形得，x yxy 3， xyx y13. 对点练 (二 ) 平面向量的坐标表示 1 (2018 福州一模 )已知向量 a (2,4)， b ( 1,1)，则 2a b ( ) A (5,7) B (5,9) C (3,7) D (3,9) 解析：选 D 2a b 2(2,4) ( 1,1) (
6、3,9)，故选 D. 2 (2018 河北联考 )已知平面向量 a (1,2)， b ( 2， m)，若 a b，则 2a 3b ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A ( 5， 10) B ( 2， 4) C ( 3， 6) D ( 4， 8) 解析：选 D 由 a b，得 m 4 0，即 m 4，所以 2a 3b 2(1,2) 3( 2， 4)( 4， 8) 3 (2018 吉林白城模拟 )已知向量 a (2,3)， b ( 1,2)，若 ma nb 与 a 2b 共线，则 mn ( ) A.12 B 2 C 12 D 2 解析：选 C 由向量 a (2,3)， b ( 1,2)，得
7、 ma nb (2m n,3m 2n)， a 2b (4， 1)由 ma nb 与 a 2b 共线，得 2m n4 3m 2n 1 ，所以 mn 12，故选 C. 4 (2018 河南六市联考 )已知点 A(1,3)， B(4， 1)，则与 AB 同方向的单位向量是( ) A.? ?35， 45 B.? ?45， 35 C.? ? 35， 45 D.? ? 45， 35 解析：选 A 因为 AB (3， 4)，所以与 AB 同方向的单位向量为 AB | AB | ? ?35， 45 . 5设向量 a (1， 3)， b ( 2,4)， c ( 1， 2)，若表示向量 4a,4b 2c,2(ac
8、)， d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 d ( ) A (2,6) B ( 2,6) C (2， 6) D ( 2， 6) 解析：选 D 设 d (x， y)，由题意知 4a (4， 12)， 4b 2c ( 6,20)， 2(a c)(4， 2)，又 4a 4b 2c 2(a c) d 0，所以 (4， 12) ( 6,20) (4， 2) (x，y) (0,0)，解得 x 2， y 6，所以 d ( 2， 6) 6 (2017 南昌二模 )已知在平面直角坐标系 xOy 中， P1(3,1)， P2( 1,3)， P1， P2， P3三点共线且向量 OP3 与向量 a (1， 1)
9、共线，若 OP3 OP1 (1 ) OP2 ，则 ( ) A 3 B 3 C 1 D 1 解析：选 D 设 OP3 (x， y)，则由 OP3 a 知 x y 0，于是 OP3 (x， x)若 OP3 =【 ;精品教育资源文库 】 = OP1 (1 )OP2 ，则有 (x， x) (3,1) (1 )( 1,3) (4 1,3 2 )，即? 4 1 x，3 2 x， 所以 4 1 3 2 0，解得 1，故选 D. 7 (2018 河南中原名校联考 )已知 a (1,3)， b (m,2m 3)，平面上任意向量 c 都可以唯一地表示为 c a b( ， R)，则实数 m 的取值范围是 ( ) A
10、 ( ， 0) (0， ) B ( ， 3) C ( ， 3) ( 3， ) D 3,3) 解析：选 C 根据平面向量基本定理，得向量 a， b 不共线， a (1,3)， b (m,2m3)， 2m 3 3m0 ， m 3.故选 C. 大 题综合练 迁移贯通 1 (2018 皖南八校模拟 )如图， AOB 3 ，动点 A1， A2与 B1， B2分别在射线 OA， OB上，且线段 A1A2的长为 1，线段 B1B2的长为 2，点 M， N 分别是线段 A1B1， A2B2的中点 (1)用向量 A1A2 与 B1B2 表示向量 MN ； (2)求向量 MN 的模 解： (1) MN MA1 A
11、1A2 A2N ， MN MB1 B1B2 B2N ，两式相加，并注意到点 M， N分别是线段 A1B1， A2B2的中点，得 MN 12(A1A2 B1B2 ) (2)由已知可得向量 A1A2 与 B1B2 的模分别为 1 与 2，夹角为 3 ， 所以 A1A2 B1B2 1，由 MN 12(A1A2 B1B2 )得 | MN | 14 A1A2 B1B2 2 12 A1A2 2 B1B2 2 2A1A2 B1B2 72 . 2 已知 A( 2,4)， B(3， 1)， C( 3， 4)，设 AB a， BC b， CA c，有 CM =【 ;精品教育资源文库 】 = 3c， CN 2b，求
12、： (1)3a b 3c； (2)满足 a mb nc 的实数 m， n； (3)M， N 的坐标及向量 MN 的坐标 解：由已知得 a (5， 5)， b ( 6， 3)， c (1,8)， (1)3a b 3c 3(5， 5) ( 6， 3) 3(1,8) (15 6 3， 15 3 24) (6， 42) (2) mb nc ( 6m n， 3m 8n)， ? 6m n 5， 3m 8n 5， 解得 ? m 1，n 1. (3)设 O 为坐标原点， CM OM OC 3c， OM 3c OC (3,24) ( 3，4) (0,20)， M 的坐标为 (0,20)又 CN ON OC 2b
13、， ON 2b OC (12,6) ( 3， 4) (9,2)， N 的坐标为 (9,2)故 MN (9 0， 2 20) (9， 18) 3已知三点 A(a,0)， B(0， b)， C(2,2)，其中 a0， b0. (1)若 O 是坐标原点，且四边形 OACB 是平行四边形，试求 a， b 的值； (2)若 A， B， C 三点共线，试求 a b 的最小值 解： (1)因为四边形 OACB 是平行四边形，所以 OA BC ，即 (a， 0) (2,2 b)，? a 2，2 b 0， 解得 ? a 2，b 2. (2)因为 AB ( a， b)， BC (2,2 b)， 由 A， B， C 三点共线，得 AB BC ， 所以 a(2 b) 2b 0，即 2(a b) ab， 因为 a0， b0，所以 2(a b) ab ? ?a b2 2， 即 (a b)2 8(a b)0 ，解得 a b8 或 a b0. 因为 a0， b0， 所以 a b8 ，即当且仅当 a b 4 时， a b 取最小值为 8.
