1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 66 讲 变量间的相关关系与统计案例 解密考纲 本节内容在高考中，三种题型均有考查，文字量比较大，但题目较容易 一、选择题 1为了了解某保温产品的用电量 y(kWh) 与气温 () 之间的关系，随机统计了 4 次用电量与相应的气温，并制作了对照表 . 气温 x/ 18 13 10 1 用电量 y/kWh 24 34 38 64 由表中数据，得到线性回归方程 y 2x a(a R)，由此请估 计出用电量 72 kWh 时气温的度数为 ( D ) A 10 B 8 C 4 D 6 解析 由题意可得 x 10， y 40，所以 a y 2 x 40 210 60
2、.所以 y 2x 60，当 y 72 时，有 2x 60 72，解得 x 6，故选 D 2对具有线性相关关系的变量 x， y 有一组 观测数据 (xi， yi)(i 1， 2， ? ， 8)其回归直线方程是 y 13x a，且 x1 x2 x3 ? x8 2(y1 y2 y3 ? y8) 6，则实数 a的值是( B ) A 116 B 18 C 14 D 12 解析 依题意可知样本中心点为 ? ?34， 38 ，则 38 13 34 a，解得 a 18，故选 B 3在一组样本数据 (x1， y1)， (x2， y2)， ? ， (xn， yn)(n2 ， x1， x2， ? ， xn 不全相等
3、 )的散点图中，若所有样本点 (xi， yi)(i 1， 2， ? ， n)都在直线 y 12x 1 上，则这组样本数据的样本相关系数为 ( D ) A 1 B 0 C 12 D 1 解析 由题设可知这组样本中的数据完全正相关，又都在 y 12x 1 上，故相关系数为 1，故选 D 4 (2018 辽宁大连双基测试 )对于下列表格所示五个散点，已知求得的线性回归方程=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 y 0.8x 155，则实数 m 的值为 ( A ) x 196 197 200 203 204 y 1 3 6 7 m A 8 B 8.2 C 8.4 D 8.5 解析 x 196 197 2
4、00 203 2045 200， y 1 3 6 7 m5 17 m5 ，将样本中心点 ? ?200， 17 m5 代入 y 0.8x 155，可得 m 8，故选 A 5如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨 )与相应的生产能耗 y(吨 )的几组对应数据，根据表提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y0.7x 0.35，则下列结论错误的是 ( B ) x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5 A产品的生产能耗与产量呈正相关 B t 的取值必定是 3.15 C回归直线一定过 (4.5,3.5) D A 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增
5、加 0.7 吨 解析 由题意， x 3 4 5 64 4.5，因为 y 0.7x 0.35，所以 y 0.7 4.5 0.35 3.5，所以 t 43.5 2.5 4 4.5 3，故选 B 6 (2018 福建泉州模拟 )已知某产品连续 4 个月的广告费 xi(千元 )与销售额 yi(万元 )，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息： ?i 44xi 18， ?i 44yi 14； 广告费用 x 和销售额 y 之间具有较强的线性相关关系； 回归直线方程为 y bx a中的 b 0.8(用最小二乘法求得 ) 那么广告费用为 6 千元时，可预测销售额约为 ( B ) A 3.5 万元 B 4.7
6、万元 C 4.9 万元 D 6.5 万元 解析 因为 ?i 14xi 18， ?i 14yi 14，所以 x 92， y 72，因为回归直线方程为 y bx a中=【 ;精品教育资源文库 】 = 的 b 0.8，所以 72 0.8 92 a，所以 a 110，所以 y 0.8x 110.故 x 6 时，可预测销售额约为 4.7 万元，故选 B 二、填空题 7已知 x， y 的取值如下表 . x 2 3 4 5 y 2.2 3.8 5.5 6.5 从散点图分析， y与 x线性相关，且回归方程为 y 1.46x a，则实数 a的值为 _ 0.61_. 解析 x 2 3 4 54 3.5， y 2.
7、2 3.8 5.5 6.54 4.5，回归方程必过样本的中心点 ( x ， y )把 (3.5,4.5)代入回归方程，计 算得 a 0.61. 8高三某班学生每周用于物理学习的时间 x(单位：小时 )与物理成绩 y(单位：分 )之间有如下关系 . x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y 92 79 97 89 64 47 83 68 71 59 根据上表可得回归方程的斜率为 3.53，则回归直线在 y 轴上的截距为 _13.5_(精确到0.1) 解析 由已知可得 x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 1310 17.4， y 92 79 97 8
8、9 64 47 83 68 71 5910 74.9， 设回归直线方程为 y 3.53x a，则 74.9 3.5317.4 a，解得 a13.5. 9以下四个命题： 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每 20 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1； 在回归直线方程 y 0.2x 12 中，当解释变量 x 每增加一个单位时，预报变量 y平均增加 0.2 个单位； 对分类变量 X 与 Y，它们的随机变量 K2的观测值 k 来说， k 越小， “ X 与 Y 有关系 ”的把握程度越大 其中所有正确的是 _ _(填序号
9、 ) 解析 是系统抽样；对于 ，随机变量 K2的观测值 k 越小，说明两个变量有关系的把握程度越小 =【 ;精品教育资源文库 】 = 三、解答题 10下表是高三某位文科生连续 5 次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下 . 月份 9 10 11 12 1 历史成绩 x/分 79 81 83 85 87 政治成绩 y/分 77 79 79 82 83 (1)求该生 5 次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差； (2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量 x， y 的线性回归方程 y bx a. 附： b?i 1nxi x yi y?i 1nxi
10、x 2?i 1nxiyi n x y?i 1nx2i n x 2， a y b x . 解析 (1) x 15(79 81 83 85 87) 83， y 15(77 79 79 82 83) 80， s2y 15(77 80)2 (79 80)2 (79 80)2 (82 80)2 (83 80)2 4.8. (2) ?i 15(xi x )(yi y ) 30， ?i 15(xi x )2 40， b 0.75， a y b x 17.75， 则所求的线性回归方程为 y 0.75x 17.75. 11 (2018 河北石家庄调研 )某学校高中毕业班有男生 900 人，女生 600 人，学校
11、为了对高三学生数学学习情况进行分析，从高三年级按照性别进行分层抽样，抽取 200 名学生成绩，统计数据如下表所 示 . 分数段 /分 50,70) 70,90) 90,110) 110,130) 130,150) 总计 频数 20 40 70 50 20 200 (1)若成绩在 90 分以上 (含 90 分 )，则成绩为合格，请估计该校毕业班平均成绩和及格学生人数； (2)如果样本数据中，有 60 名女生数学成绩及格，请完成如下数学成绩与性别的列联表，并判断是否有 90%的把握认为 “ 该校学生的数学成绩与性别有关 ”. 女生 男生 总计 =【 ;精品教育资源文库 】 = 及格人数 60 不及
12、格人数 总计 参考公式： K2 n ad bc2a b c d a c b d P(K2 k0) 0.10 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 解析 (1)高三学生数学平均成绩为 1200(6020 8040 10070 12050 14020) 101，估计高三学生数学平均成绩为 101 分，及格学生人数为 70 50 20200 (900 600) 1 050. (2) 女生 男生 总计 及格人数 60 80 140 不及格人数 20 40 60 总计 80 120 200 K2的观测值 k 28012060140 10063 1.5872.706 ， 所以没有
13、 90%的把握认为 “ 该校学生的数学成绩与性别有关 ” 12一家商场为了确定营销策略，进行了四次投入促销费用 x 和商场实际销售额的试验，得到如下数据 . 投入促销费用 x/万元 2 3 5 6 商场实际营销额 y/万元 100 200 300 400 (1)在下面的直角坐标中，画出上述数据的散点图，并据此判 断两个变量是否具有较好的线性相关性； (2)求出 x， y 之间的回归直线方程 y bx a； (3)若该商场计划营销额不低于 600 万元，则至少要投入多少万元的促销费用？ 解析 (1)散点图如图所示，从图上可以看出两个变量具有较好的线性相关性 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2
14、) x 2 3 5 64 4， y 100 200 300 4004 250， ?i 14(xi x )2 (2 4)2 (3 4)2 (5 4)2 (6 4)2 4 1 1 4 10， ?i 14(x1 x )(yi y ) ( 2)( 150) ( 1)( 50) 150 2150 700， b?i 14xi x yi y?i 14xi x 2 70010 70， a y b x 250 704 30. 故所求的回归直线方程为 y 70x 30. (3)令 70x 30600 ，即 x 600 3070 9(万元 ) 故该商场计划营销额不低于 600 万元，则至少要投入 9 万元的促销费用
