1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 19 讲 三角函数的图象与性质 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能画出 y sin x， y cos x， y tan x 的图象，了解三角函数的周期性 2理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2 上的性质 (如单调性、最大值和最小值、图象与 x轴的交点等 )，理解正切函数在区间 ? ? 2 ， 2 内的单调性 3了解函数 y Asin(x )的物理意义；能画出 yAsin(x )的图象，了解参数A， ， 对函数图象变化的 影响 4体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题 . 2017 全国卷 ， 6 2017 北京卷
2、， 16 2017 天津卷， 7 2016 四川卷， 4 2016 山东卷， 7 1.三角函数的图象，主要考查三角函数的图象变换、三角函数解析式的求法及三角函数图象的应用 2三角函数的性质是高考的必考内容，常与三角函数的图象结合，主要考查三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性 3高考中常以选择、填空题的形式考查三角函数关系式、三角函数诱导公式、三角函数的奇偶性及对称 性，属于中低档题 4以解答题的形式考查三角函数的单调性、最值，常与平面向量、解三角形及三角恒等变换相结合 . 分值： 5 12分 1 “ 五点法 ” 作图的原理 在确定正弦函数 y sin x 在 0,2 上的图象形状时，
3、起关键作用的五个点是_(0,0)_， _? ? 2 ， 1 _， _( ， 0)_， _? ?32 ， 1 _， _(2 ， 0)_. 2三角函数的图象和性质 函数 性质 y sin x y cos x y tan x 定义域 R R _? =【 ;精品教育资源文库 】 = x? ?x k 2 ， k Z _ 图象 值域 _ 1,1_ _ 1,1_ _R_ 对称性 对称轴： _x k 2 (k Z)_；对称中心：_(k ， 0)(k Z)_ 对称轴： _xk( k Z)_；对称中心：_? ?k 2 ， 0 (k Z)_ 对称中心： ? ?k2 ， 0 (k Z)_ 周期 _2 _ _2 _ _
4、 _ 单调性 在_? 2 2k ，2 2k(k Z)_上单调递增；在_?2 2k ，32 2k(k Z)_上单调递减 在 _( 2k ， 2k)( k Z)_上单调递增；在 _(2k ， 2k)( k Z)_ 上单调递减 在_ ? ? 2 k ， 2 k (k Z)_上单调递增 奇偶性 _奇函数 _ _偶函数 _ _奇函数 _ 3用五点法画 y Asin(x )一个周期内的简图 用五点法画 y Asin(x )一个周期内的简 图时，要找五个关键点，如下表所示 . x _ _ 2 _ _ 32 _ _2 _ x _0_ _ 2_ _ _32_ _2 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = yAsi
5、n(x ) 0 A 0 A 0 4函数 y sin x 的图象变换为 y Asin(x )的图象 的步骤 5函数 y Asin(x )的有关概念及物理量 yAsin(x )(A0， 0，x 0， ) 表示一个振动量时 ) 振幅 周期 频率 相位 初相 _A_ T_2 _ f_ 2 _ _x _ _ _ 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)把 y sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 12，所得图象对应的函数解析式为 y sin12x.( ) (2)正弦函数 y sin x 的图象在 0,2 上的五个关键点是 (0,0)， ? ? 2 ， 1 ， ( ， 0)，?
6、32 ， 1 ， (2 ， 0) ( ) (3)利用图象变换作图时 “ 先平移，后伸缩 ” 与 “ 先伸缩，后平移 ” 中平移的长度一致 ( ) (4)由图象求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内的图象中的最高点的值与最低点的值确定的 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)错误横坐 标缩短，周期变小， 变大，故变换后，所得图象的解析式为 y sin 2x. (2)正确由正弦函数 y sin x 的图象易知 (3)错误 “ 先平移，后伸缩 ” 的平移单位长度为 | |，而 “ 先伸缩，后平移 ” 的平移单位长度为 | | ( 0)故当 1 时平移的长度不相等 (4)正确振幅
7、A 的值是由最大值 M 与最小值 m 确定的， 其中 A M m2 . 2 y 2sin? ?2x 4 的振幅、频率和初相分别为 ( A ) A 2， 1 ， 4 B 2， 12 ， 4 C 2， 1 ， 8 D 2， 12 ， 8 解析 由振幅、频率和初相的定义可知，函数 y 2sin? ?2x 4 的振幅为 2，周期为 ，频率为 1 ，初相为 4 . 3 (2017 全国卷 )函数 f(x) sin? ?2x 3 的最小正周期为 ( C ) A 4 B 2 C D 2 解析 依题意得，函数 f(x) sin? ?2x 3 的最小正周期 T 22 . 故选 C 4将函数 y sin? ?2x
8、 6 的图象向右平移 4 个单位长度后得到的函数图象的对称轴是( B ) A x k2 56 ， k Z B x k2 512 ， k Z C x k2 6 ， k Z D x k 12， k Z 解析 y sin? ?2x 6 的图象向右平移 4 个单位长 度，得 y sin? ?2? ?x 4 6 sin? ?2x 3 .令 2x 3 2 k ， k Z，得 x 512 k2 ， k Z. 5已知函数 f(x) sin(x )( 0)的图象如图所示，则 _32_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题图知， T4 23 3 3 ， T 43 ，即 2 43 ，故 32. 一 三角函
9、数图象的变换 三角函数图象的两种变换 (1)平移变换 沿 x 轴平移：由 y f(x)变为 y f(x )时， “ 左加右减 ” ，即 0，左移； 0，上移； k0， 2 0， 0)中参数的方法 (1)求 A， b：确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A M m2 ， b M m2 . (2)求 ：确定函数的周期 T，则可得 2T . (3)求 ：常用的方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入 (此时 A， ， b 已知 )或代入图象与直线 y b的交点求解 (此时要注意交点是在上升区间还是在下降区间 ) 五点法：确定 值时，往往以寻找 “ 五点法 ” 中的某一个点为突破口具体如下： “
10、 第一点 ”( 即图象上升时与 x 轴的交点 )为 x 0； “ 第 二点 ”( 即图象的 “ 峰点 ”) 为 x 2 ； “ 第三点 ”( 即图象下降时与 x 轴的交点 )为 x ； “ 第四点 ”( 即图象的 “ 谷点 ”) 为 x 32 ； “ 第五点 ” 为 x 2. 【例 2】 (1)函数 f(x) 2sin(x )? ? 0， 20， 0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是 ( C ) A A 3， T 43 ， 6 B A 1， T 43 ， 34 C A 1， T 43 ， 34 D A 1， T 43 ， 6 解析 (1)因为 T2 1112 512 ，所以 T . 又
11、 T 2 ( 0)，所以 2 ，所以 2. 又 2 512 2 2k( k Z)，且 20)的单调区间时，要视 “ x ” 为一个整体，通过解不等式求解但如果 0)的最小正周期为 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 的值； (2)讨论 f(x)在区间 ? ?0， 2 上的单调性 解析 (1)f(x) 4cos x sin? ?x 4 2 2sin x cos x 2 2cos2x 2(sin 2x cos 2x ) 2 2sin? ?2x 4 2. 因为 f(x)的最小正周期为 ，且 0，所以 22 ，故 1. (2)由 (1)知 f(x) 2sin? ?2x 4 2. 若 0 x
12、 2 ，则 4 2 x 4 54 . 当 4 2 x 40， 0， R)，则 “ f(x)是奇函数 ”是 “ 2 ” 的 ( B ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)函数 f(x) sin? ?x 4 的图象的 一条对称轴是 ( C ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A x 4 B x 2 C x 4 D x 2 (3)设函数 f(x) Asin(x )(A， ， 是常数， A0， 0)若 f(x)在区间 ? ? 6 ， 2上具有单调性，且 f? ? 2 f? ?23 f? ? 6 ，则 f(x)的最小正周期为 _ _. 解析 (1)f(x)是
13、奇函数时， 2 k( k Z)； 2 时， f(x) Acos? ?x 2 Asin x ，为奇函数，所以 “ f(x)是奇函数 ” 是 “ 2 ” 的必要不充分条件 (2) 正弦函数图 象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令 x 4 k 2 ， k Z， x k 34 ， k Z. 取 k 1，则 x 4. (3)记 f(x)的最小正周期为 T.由题意知 T2 2 6 3. 又 f? ? 2 f? ?23 f? ? 6 ，且 23 2 6. 可作出示意图如图所示 (一种情况 ) x1 ? ? 2 6 12 3 ， x2 ? ? 2 23 12 712 ， T4 x2 x1 712 3 4. T . 1把函数 y sin? ?x 3 的图象上所有点向右平移 3 个单位长度，再将所得图象的横坐标变为原来的 12(纵坐标不变 )，所得图象的解析式是 y sin(x )( 0， | |) ，则 ( C ) A 12， 3 B 2， 3
