1、2021 学年第二学期高中教学质量监测试题高二数学本试卷共 5页，22 小题，全卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟。?事项：?事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40
2、分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合 M = fx j 0 x 4g，N = fx j 1 x 5g，则 MTN = (A) fx j 0 x 1g (B) fx j 1 x 4g (C) fx j 4 x 5g (D) fx j 0 b c(B) c a b(C) c b a(D) a c b7.已知 F 是抛物线 C : y = 2x2的焦点，N 是 x 轴上一点，线段 FN 与抛物线C 相交于点 M，若 2? ? !FM =? ? !MN，则 jFNj =(A)58(B)12(C)38(D) 18.已知函数 f (x) = asin2x ?p3cos2x 的
3、图象关于直线 x = ?12对称，若f (x1) ? f (x2) = ?4，则 jx1? x2j 的最小值为(A)3(B)23(C)2(D)4二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知?2x +13px?n的展开式共有 13 项，则下列说法中正确的有(A) 所有奇数项的二项式系数和为 212(B) 所有项的系数和为 312(C) 二项式系数最大的项为第 6 项或第 7 项(D) 有理项共 5 项10. 已知函数 f (x) = ?x3+ 3x + 1，则(A)
4、f (x) 有三个零点(B) f (x) 有两个极值点(C) 点 (0，1) 是曲线 y = f (x) 的对称中心(D) 直线 y = 2x 是曲线 y = f (x) 的切线11. 甲罐中有 5 个红球、2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 6 个红球、2 个白球和 2个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以事件 A1，A2，A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一个球，以事件B 表示由乙罐取出的球是红球，下列结论正确的是数学，第 2 页（共 5页）(A) 事件 B 与事件 A1不相互独立(B) A1，A2，A3是两两互斥的事件(C) P(B) =35(D) P
5、(BjA1) =71112. 已知正方体ABCD?EFGH 棱长为2， M 为棱CG 的中点， P 为底面EFGH上的动点，则(A) 存在点 P，使得 jAPj + jPMj = 4(B) 存在唯一点 P，使得 AP?PM(C)当AM?BP， 此时点P 的轨迹长度为p2(D) 当 P 为底面 EFGH 的中心时，三棱锥P ? ABM 的外接球体积为92ABDCEFHGPM三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 随机变量 X 服从正态分布 N(2，?2)，若 P(2 2:5) =14. 已知数列 an，bn满足 a1=12，an+ bn= 1，bn+1=bn1 ? a
6、2n(n 2 N?)，则b2022=15. 写出与圆 x2+ y2= 1 和圆 (x ? 4)2+ (y + 3)2= 16 都相切的一条切线方程16. 若直线 y = kx + b 是曲线 y = lnx + 2 的切线，也是曲线 y = ln(x + 1) 的切线，则 b =四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (10分)记 Sn为数列 fang 的前 n 的和，已知 a1= 1，fSnng 是公差为12的等差数列.（1）求数列 fang 的通项公式；（2）证明：1S1+1S2+ ? +1Sn 0(1) 若 a = 1，求函数 f (x
7、) 的单调区间和最值；(2) 求函数 f (x) 的零点个数，并说明理由数学，第 5 页（共 5页）2021 学年第二学期期末质量检测高二数学试题评分参考说明：1参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数。2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、
8、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1B2D3D4A5B6C7A8C二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9BD10ABC11ABD12BCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。130:14.1420222023.15y = 1，或 24x + 7y + 25 = 0，或 4x ? 3y ? 5 = 0.161 ? ln 2.五、解答题：本大题共 90 分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。17. （10 分）解： （1）Snn=S11+12(n ? 1)
9、1 分=n + 12所以Sn=12n(n + 1)2 分当 n 2 时，an= Sn? Sn?13 分=12n(n + 1) ?12(n ? 1)n= n4 分当 n = 1 时，S1= 1 = a1，所以5 分an= n.6 分（）因为1Sn=2n(n + 1)=2n?2n + 1，所以7 分1S1+1S2+ ? +1Sn=?21?22?+?22?23?+ ? +?2n?2n + 1?8 分= 2 ?2n + 19 分 2.10 分18. （12 分）解： （1）由 (sinB + sinC) (b + c) = asinA + b sinC，得(b + c)2= a2+ bc，1 分即a2
10、= b2+ c2+ bc，2 分所以b2+ c2? a2= ?bc又由余弦定理得，cos A =b2+ c2? a22bc3 分第 1 页（共 6页）= ?12.4 分因为 0 A 6:635 = x0:01.4 分依据小概率值 = 0:01 的独立性检验，能够认为性别与使用刷脸支付有关联.5 分（2）方法一: 易知 9 人中刷脸支付的有 5 人，非刷脸支付的有 4 人. 6 分由题意可知，X 的可能取值为 0，1，2，3，4.7 分P(X = 0) =C44C49=1126，P(X = 1) =C15C34C49=20126=1063，8 分P(X = 2) =C25C24C49=60126
11、=1021，P(X = 3) =C35C14C49=40126=2063，9 分P(X = 4) =C45C49=5126，X 的分布列为X01234P1126106310212063512610 分E(X) = 0 ?1126+ 1 ?1063+ 2 ?1021+ 3 ?2063+ 4 ?512611 分=20912 分方法二: 易知 9 人中刷脸支付的有 5 人，非刷脸支付的有 4 人.6 分由题意可知，X 服从超几何分布.7 分所以 X 的分布列为 P(x = k) =Ck5? C4?k4C49，k = 1，2，3，4.9 分又因为从 9 人中抽到刷脸支付的概率 P =59.10 分所以
12、E(X) = np = 4 ?59=209.12 分20. （12 分）解： （1）证明：因为 AB? 平面 PBC，PC ? 平面 PBC，所以PC?AB1 分因为 PC?BC，AB BC = B，2 分所以PC? 平面 ABC3 分因为 AG = GC，PD = DA，所以DG/PC，故 DG? 平面 ABC4 分因为 DG ? 平面 BDG，ABDCGP所以平面 BDG? 平面 ABC5 分（）方法一：因为 AG = GC，AB = BC，所以 BG?AC以 G 为坐标原点，GB，GC，GD 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，第 3 页（共 6页）则 A(0，?p2，0)
13、，B(p2，0，0)，D(0，0，1)，C(0，p2，0)， 6 分所以? ? !AB = (p2，p2，0)，? ? !AD = (0，p2，1)，? ? !CD = (0，?p2，1)，? ? !CB = (p2，?p2，0)设 m m m = (x，y，z) 是平面 ABD 的法向量，则8:m m m ? ? !AB = 0;m m m ? ? !AD = 0:即8:p2x +p2y = 0;p2y + z = 0:7 分令 x = 1，则 y = ?1，z =p2，所以 m m m = (1，?1，p2)8 分设 n n n = (a，b，c) 是平面 CBD 的法向量，则8:n n
14、n ? ? !CD = 0;n n n ? ? !CB = 0:即8:?p2b + c = 0;p2a ?p2b = 0:9 分ABDCGPxyz令 a = 1，则 b = 1，c =p2，所以 n n n = (1，1，p2)，10 分所以 cos =? !m ? !nj? !mj ? j? !n j=22 ? 2=12.11 分所以平面 ABD 与平面 CBD 的夹角的大小为 6012 分方法二：如图，过 A 作 AE?BD，垂足为 E，连接 EC.6 分由（1）中的垂直关系及条件 AB = BC = CP = 2，可计算得AC = 2p2，PA =p10， 7 分所以DB = DC =
15、DA =12PA =r52.所以4DAB DBC.所以AEC 为二面角 A ? BD ? C 的平面角.8 分cosADB =52+52? 42 ?52?52=15，ABDCGPEsin ADB =p1 ? cos2ADB =2p5.9 分EA = DAsin ADE =p2.所以EC =p2.10 分在 4EAC 中，由余弦定理可得cos AEC =EA2+ EC2? AC22EA ? EC= ?12.11 分所以AEC = 120，所以平面 ABD 与平面 CBD 的夹角的大小为 6012 分21 （12 分）解： （1）设 M 点的坐标为 M(x;y)，由题可知yx + 2?yx ? 2
16、= ?34，1 分所以x24+y23= 1（x 2） 3 分设直线 l 的方程为 x = my + 1，Q(x1，y1)，P(x2，y2)，且 y1 0.联立8 0，x1= my1+ 1x2= my2+ 1jPFj =p(x2? 1)2+ y22=p1 + m2y2.8 分点 Q1到直线 l 的距离为xyOFMP2A1A1QQd =jx1+ my1? 1jp1 + m2=j2my1jp1 + m2= ?2my1p1 + m2.9 分由（1）可知，y1y2=?93m2+ 4所以 4PFQ1的面积为S =12jPFj ? d = ?12y1y2=9m3m2+ 4.10 分=93m +4m92p12
17、=3p34，11 分当 m2=43，即 m =2p33时，等号成立，此时 4PFQ1的面积最大值为3p3412 分方法二：设 Q1(x1，?y1)，由椭圆的对称性，不妨设 m 0，所以S4PQQ1=12? (?2y1)(x2? x1) = x1y1? x2y1，S4QQ1F=12(1 ? x1)(?2y1) = x1y1? y1，8 分而 S4PFQ1= S4PQQ1? S4QQ1F= (x1y1? x2y1) ? (x1y1? y1)9 分= y1? (my2+ 1)y1= ?my1y2=9m3m2+ 410 分=93m +4m92p12=3p34，11 分当 m2=43，即 m =2p33
18、时，等号成立，此时 4PFQ1的面积最大值为3p3412 分第 5 页（共 6页）22. （12 分）解： （1）解：函数 f (x) 的定义域为 (0，+1)，当 a = 1 时，f (x) = ?12x2+ lnx +12，f0(x) = ?x +1x=?x2+ 1x，1 分令 f0(x) = 0，得 x = 1；由 f0(x) 0，得 0 x 1；由 f0(x) 1所以，函数 f (x) 的增区间为 (0，1)，减区间为 (1，+1)2 分当 x = 1 时，函数 f (x) 有最大值为 f (1) = 0，无最小值。3 分（2）f (x) = ?12x2+ (a ? 1)x + aln
19、x +a2，a 0，f0(x) = ?x + (a ? 1) +ax=?x2+ (a ? 1)x + ax=?(x + 1)(x ? a)x，4 分令 f0(x) = 0，得 x = ?1（舍去） ，或 x = a；由 f0(x) 0，得 0 x a；由 f0(x) a所以，增区间为 (0;a)，减区间为 (a;+1)函数有唯一的极大值点 x = a，f (a) = ?12a2+ (a ? 1)a + alna +a2= a(12a ?12+ lna)，5 分令 g(a) =12a ?12+ lna，a 0因为 g0(a) =12a +1a 0 恒成立，函数 g(a) 为增函数，且 g(1)
20、=12?12+ ln1 = 0， 0 a 1 时，g(a) 0，即 f (a) 1 时，g(a) 0，即 f (a) 0，f (x) = ?12x2+ (a ? 1)x + alnx +a2，且 f (1e) = ?12e2+ae?1e+ aln1e+a2= a(1e?12) ?12e2?1e 0)，则 h0(x) = ex? 1，当 x 0 时，h0(x) 0 成立，所以 h(x) h(0) = 0，所以 ex x + 1(x 0)，所以 e4a 4a + 1，a 0，9 分所以 f (e4a) ?12(4a +1)(2a +3)+4a2+a2= ?12(13a +3) 0，10 分在区间 1e，a 上有唯一零点，在区间 a，;e4a 上有唯一零点，函数 f (x) 有两个不同的零点11 分综上所述： 0 a 1 时，函数 f (x) 有两个不同的零点12 分第 6 页（共 6页）
