广东省珠海市2021-2022高二上学期数学期末试卷及答案.pdf

1、 珠海市珠海市 20212022 学年度第一学期期末普通高中学年度第一学期期末普通高中 学生学业质量监测高二数学学生学业质量监测高二数学 一、单选题：本题共一、单选题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 直线330 xy+=的倾斜角是（ ） A. 6 B. 56 C. 3 D. 23 2. 已知空间向量()0,1,4a =，()1, 1,0b =，则ab+=（ ） A. 19 B. 19 C. 17 D. 17 3. 已知数列 na是等差数列，nS为数

2、列 na的前n项和，11a =，318S =，则6S =（ ） A. 54 B. 71 C. 81 D. 80 4. 已知双曲线C：()222210,0 xyabab=与椭圆E：22194xy+=有相同的焦点，且一条渐近线方程为l：20 xy=，则双曲线C的方程为（ ） A. 2214yx = B. 2214xy= C. 2214yx+= D. 2214xy+= 5. 已知长方体1111ABCDABC D中，2ABBC=，11AA =，则直线1AD与1BD所成角的余弦值是（ ） A. 15 B. 15 C. 55 D. 55 6. 已知点P在抛物线C：()22,0ymx mR m=上，点F为抛

3、物线C的焦点，12PF =，点 P到 y轴的距离为 4，则抛物线 C的方程为（ ） A. 264yx= B. 264yx= C. 232yx= D. 232yx= 7. 我国古代数学名著算法统宗是明代数学家程大位（1533-1606 年）所著.该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座 7 层塔共挂了 381盏灯，且下一层灯数是上一层的 2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为 “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（ ）盏. A. 192 B. 128 C. 3 D. 1 8. 已知直线l：310mxym+ =恒过点P，过点P作

4、直线与圆O：()()221225xy+=相交于 A，B 两点，则AB的最小值为（ ） A. 4 5 B. 2 C. 4 D. 2 5 9. 如图，已知多面体ABCDE，其中ABC是边长为 4的等边三角形，四边形ACDE是矩形，2AE =，平面ACDE 平面ABC，则点C到平面ABD的距离是（ ） A. 34 B. 4 3 C. 3 D. 3 314+ 10. 已知数列 na的通项公式是() ()153nnan= ，则1232021aaaa+=（ ） A. 10100 B. -10100 C. 5052 D. -5052 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 2小题，每小题小题，每小题 5 分，

5、共分，共 10 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分分. 11. 已知圆M：22430 xyx+=，则下列说法正确的是（ ） A. 点()4,0圆 M内 B. 圆 M 关于320 xy+=对称 C. 半径为3 D. 直线30 xy=与圆 M相切 在 12. 如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有 1 个球，第二层有 3个球，第三层有 6个球，.设第n层有na个球，从上往下n层球的总数为n

6、S，则（ ） A. 1nnnaa+= B. 535S = C. ()112nnn nSS+=，2n D. 1232021111120211011aaaa+= 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 44 小题，每小题小题，每小题 55 分，共分，共 020 分分. 13. 已知直线210 xy+ =在两坐标轴上的截距分别为a，b，则ab+=_. 14. 已知数列 na是公差不为零的等差数列，1a，3a，11a成等比数列，第 1，2项与第 10，11 项的和为68，则数列 na的通项公式是_. 15. 已知四面体OABC中，D，E分别在AB，OC上，且ADDB=，2OEEC=，若DEOAOBOC=

7、+ ，则+=_. 16. 已知双曲线C：22197xy=，1F，2F是其左右焦点.圆E：22430 xyy+=，点P为双曲线C右支上动点，点Q为圆E上的动点，则1PQPF+的最小值是_. 的的 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在16100aaa+=，2132aa=，2357a aa=这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中. 问题：等差数列 na的公差为()0d d ，满足23715aaa+= ，_? （1）求数列 na的通项公式； （2）求数列 na的前n项和n

8、S得到最小值时n的值. 18. 如图，矩形 ABCD，点 E，F 分别是线段 AB，CD 的中点，2AB =，1BC =，以 EF 为轴，将正方形AEFD 翻折至与平面 EBCF 垂直的位置11EFD A处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题 （1）求证：直线1ED 平面1ACF； （2）求直线EC与平面1ACF所成角的正弦值. 19. 已知圆C过点()4,0A，()8,6B，且圆心C在直线l：30 xy=上. （1）求圆C的方程； （2）若从点()4,1M 发出的光线经过x轴反射，反射光线1l刚好经过圆心C，求反射光线1l的方程. 20. 如图，三棱锥PA

9、BC中，PAAB，PAAC，ABAC，2ABAC=，4PA =，点M是PA 的中点，点 D是 AC 的中点，点 N在 PB上，且2PNNB=. （1）证明：BD 平面 CMN； （2）求平面 MNC 与平面 ABC所成角的余弦值. 21. 已知数列 na正项数列，12a =，且2211122nnnnnnaaaaaa+=+. （1）求数列 na的通项公式； （2）设nnnba=，数列 nb的前n项和为nT，若()1nnna TnmamR+对*nN恒成立，求实数m的取值范围. 22. 已知椭圆1C：()222166xyaa+=，1C的左右焦点1F，2F是双曲线2C的左右顶点，1C的离心率为63，2

10、C的离心率为2，点E在2C上，过点 E 和1F，2F分别作直线交椭圆1C于F，G和M，N点，如图. 是 （1）求1C，2C的方程； （2）求证：直线1EF和2EF的斜率之积为定值； （3）求证：11FGMN+定值. 为 珠海市珠海市 20212022 学年度第一学期期末普通高中学年度第一学期期末普通高中 学生学业质量监测高二数学学生学业质量监测高二数学 一、单选题：本题共一、单选题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的. 1. 直线330 xy+=的倾斜角是（

11、） A. 6 B. 56 C. 3 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】求得斜率，然后求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为1333= ，对应的倾斜角为56. 故选：B 2. 已知空间向量()0,1,4a =，()1, 1,0b =，则ab+=（ ） A. 19 B. 19 C. 17 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】先求出ab+的坐标，再求出其模 【详解】因为()0,1,4a =，()1, 1,0b =， 所以()1,0,4ab+=，故17ab+=， 故选：D. 3. 已知数列 na是等差数列，nS为数列 na的前n项和，11a =，318S =，则6S =（ ） A. 54 B

12、. 71 C. 81 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前 n项和公式求解. 【详解】 na是等差数列，11a =， 31333318Sadd=+=+=，得5d =， 616 56675812Sad=+=+=. 故选：C. 4. 已知双曲线C：()222210,0 xyabab=与椭圆E：22194xy+=有相同的焦点，且一条渐近线方程为l：20 xy=，则双曲线C的方程为（ ） A. 2214yx = B. 2214xy= C. 2214yx+= D. 2214xy+= 【答案】B 【解析】 【分析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合C与椭圆E有相同的焦点，求出双曲线方

13、程. 【详解】双曲线C：22221xyab=的一条渐近线方程为l：20 xy= 设双曲线C：2214xy= 双曲线C与椭圆E有相同的焦点 45+=，解得：1= 双曲线C的方程为2214xy=. 故选：B. 5. 已知长方体1111ABCDABC D中，2ABBC=，11AA =，则直线1AD与1BD所成角的余弦值是（ ） A. 15 B. 15 C. 55 D. 55 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设直线1AD与1BD所成角为，由1111cosDA D BDAD B= 求解. 【详解】长方体1111ABCDABC D中，2ABBC=，11AA =， 分别以DA，DC，1DD

14、为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， ， 则()0,0,0D，()12,0,1A，()2,2,0B，()10,0,1D， 所以()12,0,1DA = ，()12,2, 1D B = ， 设直线1AD与1BD所成角为， 则111135cos55 3DA D BDAD B= ， 直线1AD和1BD夹角余弦值是55. 故选：C. 6. 已知点P在抛物线C：()22,0ymx mR m=上，点F为抛物线C的焦点，12PF =，点 P到 y轴的距离为 4，则抛物线 C的方程为（ ） A. 264yx= B. 264yx= C. 232yx= D. 232yx= 【答案】D 【解析】 【分析】由抛

15、物线定义可得，注意开口方向. 详解】设00(,)P xy 点 P到 y轴的距离是 4 04x = 12PF =，041222mmPFx=+=+=. 得16m = C：232yx= . 故选：D. 7. 我国古代数学名著算法统宗是明代数学家程大位（1533-1606 年）所著.该书中有如下问题：“远望【 巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”.其意思是：“一座 7 层塔共挂了 381盏灯，且下一层灯数是上一层的 2倍，则可得塔的最顶层共有灯几盏？”.若改为 “求塔的最底层几盏灯？”，则最底层有（ ）盏. A. 192 B. 128 C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】

16、 【分析】根据题意，转化为等比数列，利用通项公式和求和公式进行求解. 【详解】设这个塔顶层有x盏灯，则问题等价于一个首项为x，公比为 2的等比数列的前 7 项和为 381， 所以()7213812 1x=，解得3x =， 所以这个塔的最底层有7 13 2192=盏灯. 故选：A. 8. 已知直线l：310mxym+ =恒过点P，过点P作直线与圆O：()()221225xy+=相交于 A，B 两点，则AB的最小值为（ ） A. 4 5 B. 2 C. 4 D. 2 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据222ABrd=将AB最小值问题转化为 d 取得最大值问题，然后结合图形可解. 【详解】将31

17、0mxym+ =，变形为()13ym x =，故直线l恒过点()3,1P， 圆心()1,2O，半径= 5r，已知点 P 在圆内， 过点P作直线与圆()()221225xy+=相交于 A，B两点，记圆心到直线的距离为 d，则 22222 25ABrdd=，所以当 d 取得最大值时，AB有最小值， 结合图形易知，当直线与线段OP垂直的时候，d 取得最大值，即AB取得最小值， 此时()()223 11 25OP =+=， 所以22222554 5ABrOP=. 故选：A. 9. 如图，已知多面体ABCDE，其中ABC是边长为 4的等边三角形，四边形ACDE是矩形，2AE =，平面ACDE 平面ABC

18、，则点C到平面ABD的距离是（ ） A. 34 B. 4 3 C. 3 D. 3 314+ 【答案】C 【解析】 【分析】利用面面垂直性质结合已知寻找两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，用向量法可解. 【详解】取AC的中点 O，连接 OB，过 O在平面 ACDE 面内作OFAC交 DE 于 F 平面ACDE 平面 ABC，平面 ACDE平面ABC=AC，OF 平面 ACDE，OFAC OF 平面 ABC OFOB ABC是边长为 4的等边三角形，四边形 ACDE 是矩形，2AE = OBAC 以 O 为原点，OA，OB，OF 分别为 x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系 则()2,0,0

19、A，()0,2 3,0B，()2,0,0C ，()2,0,2D 设平面 ABD 的单位法向量()000,nxyz= ()2,2 3,0AB = ，()4,0,2AD = ，()4,0,0CA = 由000022 30420n ABxyn ADxz= += += 解得0000132yxzx= 取03=x，则()3,1,2 3n = 点 C到平面 ABD的距离4333 1 12n CAdn+=+= . 故选：C 10. 已知数列 na的通项公式是() ()153nnan= ，则1232021aaaa+=（ ） A 10100 B. -10100 C. 5052 D. -5052 【答案】D . 【

20、解析】 【分析】根据已知条件，用并项求和法即可求得结果. 【详解】() ()153nnan= () () ()()()111153151315nnnnnaann+= + += () ()()12320211234201920202021aaaaaaaaaaa+=+ ()()20211010 515 2021 35052= + = . 故选：D. 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 2小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 10 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选

21、对的得分，部分选对的得 2 分分. 11. 已知圆M：22430 xyx+=，则下列说法正确的是（ ） A. 点()4,0在圆 M 内 B. 圆 M 关于320 xy+=对称 C. 半径为3 D. 直线30 xy=与圆 M相切 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，代入点坐标，大于 0，表示点在圆外；B选项，圆心在直线上，故关于直线对称；C选项，配方后得到圆的半径；D 选项，利用点到直线距离进行求解. 【详解】22430 xyx+=整理得：()2221xy+=， 4x =，0y =时224330 xyx+=，点()4,0在圆 M 外，A错； 圆心 M()2,0在直线320 xy+=上，圆 M

22、 关于320 xy+=对称，B对； 圆 M 半径为 1，故 C 错； 圆心()2,0M到直线30 xy=的距离为211 3d =+，与半径相等， 直线30 xy=与圆 M相切，D 对. 故选：BD. 12. 如图形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有 1 个球，第二层有 3个球，第三层有 6个球，.设第n层有na个球，从上往下n层球的总数为nS，则（ ） 的 A. 1nnnaa+= B. 535S = C. ()112nnn nSS+=，2n D. 1232021111120211011aaaa+= 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据123

23、aaa、 、的值可得1nnaan=，利用累加法可得na，再计算前 5项的和即可判断 B；由递推公式即可判断 A；由1=nnnaSS即可判断 C；利用裂项相消求和法即可判断 D. 【详解】因为11a =， 212aa=， 323aa=， ， 1nnaan=， 以上n个式子累加可得：()11232nn nan+= + +=， 所以5123451 36 10 1535Saaaaa=+= + +=，故选项 B正确； 由递推关系可知：11nnaan+=+，故选项 A 不正确； 当2n ，()112nnnn nSSa+=，故选项 C正确； 因为()1211211nan nnn=+， 所以122021111

24、11111120212 1222 12232021202220221011aaa+=+=， 故选项 D 正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 44 小题，每小题小题，每小题 55 分，共分，共 020 分分. 13. 已知直线210 xy+ =在两坐标轴上的截距分别为a，b，则ab+=_. 【答案】12#0.5 【解析】 【分析】根据截距定义，分别令0 x =，0y =可得. 【详解】由直线210 xy+ =，令0 x =得1y = ，即1b = 令0y =，得12x =，即12a =， 故12ab+= . 故答案为：12 14. 已知数列 na是公差不为零的等差数列，

25、1a，3a，11a成等比数列，第 1，2项与第 10，11 项的和为68，则数列 na的通项公式是_. 【答案】31nan= 【解析】 【分析】利用基本量结合已知列方程组求解即可. 【详解】设等差数列 na的公差为d 由题可知()()()()2231111 1112101111111210221068aada ada aaaaaaaaad=+=+=+=+=+= 即211230517da dad=+= 因为0d ，所以解得：123ad= 所以31nan=. 故答案为：31nan= 15. 已知四面体OABC中，D，E分别在AB，OC上，且ADDB=，2OEEC=，若DEOAOBOC=+ ，则+=

26、_. 【答案】13 【解析】 【分析】连接OD，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可. 【详解】解：连接OD 四面体OABC中，D，E分别在AB，OC上，且ADDB=，2OEEC= ()2111232223DEOEODOCOAOBOAOBOC=+= + 121223= = = 13+= . 故答案为：13 16. 已知双曲线C：22197xy=，1F，2F是其左右焦点.圆E：22430 xyy+=，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则1PQPF+的最小值是_. 【答案】52 5+#2 55+ 【解析】 【分析】利用双曲线定义，将1PFPQ+的最小值问题转化为26PFPQ+的最

27、小值问题，然后结合图形可解. 【详解】由题设知，()14,0F ，()24,0F，()0,2E，圆E的半径1r = 由点P为双曲线C右支上的动点知 126PFPF=+ 126PFPQPFPQ+=+ ()()122minmin662 51 652 5PFPQPFPQF Er+=+= += +=+. 故答案为：52 5+ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在16100aaa+=，2132aa=，2357a aa=这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中. 问题：等差数列

28、 na的公差为()0d d ，满足23715aaa+= ，_? （1）求数列 na的通项公式； （2）求数列 na的前n项和nS得到最小值时n的值. 【答案】 （1）选择条件见解析，317nan= （2）5n = 【解析】 【分析】 （1）设等差数列 na的公差为()0d d ，由23715aaa+= ，得到153ad= ，选161013140aaaad+=+=，联立求解；选112212adad=+，联立求解；选()()()2111246adadad+=+，联立求解； （2）由（1）知317nan=，令3170nan=求解. 【小问 1 详解】 解：设等差数列 na的公差为()0d d ， 得

29、153ad= ， 选161013141550aaaadd+=+= +=， 得3d =， 故114a = ， 317nan=. 选2111322212aadada= =+=， 得1315914add= = ，得3d =， 故114a = ， 317nan=. 选()()()22351117246a aadadada=+=+=， ()()()25553ddd += +，得3d =， 故114a = ， 317nan=； 【小问 2 详解】 由（1）知317nan=，1140a = ， 数列 na是递增等差数列. 由3170nan=，得172533n =+， 5n 时，0na ， 5n =时，ns得

30、到最小值. 18. 如图，矩形 ABCD，点 E，F 分别是线段 AB，CD 的中点，2AB =，1BC =，以 EF 为轴，将正方形AEFD 翻折至与平面 EBCF 垂直的位置11EFD A处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题 （1）求证：直线1ED 平面1ACF； （2）求直线EC与平面1ACF所成角的正弦值. 【答案】 （1）证明见解析； （2）12. 【解析】 【分析】 （1）以F为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直，即可证明线面垂直； （2）根据（1）中所求平面1ACF的法向量，利用向量法，即可容易求得结果. 【小问

31、1 详解】 矩形 ABCD中，点 E，F分别是线段 AB，CD的中点，EFFD，EFFC翻折后1FDEF 平面11EFD A 平面EBCF，且面11EFD AEBCFEF=，1D F 面11EFD A， 故可得1D F 面EBCF，又FC 面EBCF，1FDFC，故1,FE FC FD两两垂直， 分别以FE，FC，1FD为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系： 2AB =，1BC =则()0,0,0F，()1,0,0E，()11,0,1A，()0,1,0C，()10,0,1D ()11,0, 1D E = ，()11,0,1FA =，()0,1,0FC = 111 1=0D E FA= ，1

32、0D E FC= ，11D EFA ，1D EFC 11D EFA，1D EFC，又11,FAFCF FA FC=面1ACF， 1D E 平面1ACF. 【小问 2 详解】 由（1）知，平面1ACF的法向量为()11,0, 1D E = ，又向量()1, 1,0CE = ， 则向量CE 与法向量为1D E 所成角的余角即是直线EC与平面1ACF所成角， 设直线EC与平面1ACF所成角为，向量CE 与法向量为1D E 所成角为， 则1sincos2DE FEDEFE= . 故直线EC与平面1ACF所成角正弦值为12. 19. 已知圆C过点()4,0A，()8,6B，且圆心C在直线l：30 xy=

33、上. （1）求圆C的方程； （2）若从点()4,1M 发出的光线经过x轴反射，反射光线1l刚好经过圆心C，求反射光线1l的方程. 【答案】 （1）()()226313xy+=； （2）2530 xy+= 【解析】 【分析】(1)根据题意设圆心( ,3)C a a，利用两点坐标公式求距离公式表示出CACB=，解出a，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程； (2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得()14, 1M，利用直线的两点式方程即可得出结果. 【小问 1 详解】 圆C过点()4,0A，()8,6B，因为圆心C在直线：l：30 xy=上， 设圆心( ,3)C a a，又圆C过点()4,0A

34、，()8,6B， 所以CACB=，即2222(4)(3)(8)(9)aaaa+=+， 解得6a =，所以()6,3C，所以13rCA= 故圆C的方程为C：()()226313xy+=； 【小问 2 详解】 点()4,1M 关于x轴的对称点()14, 1M， 则反射光线1l必经过点1M和点C， 由直线的两点式方程可得11 3446yx+ =+ ， 即1l：2530 xy+=. 20. 如图，三棱锥PABC中，PAAB，PAAC，ABAC，2ABAC=，4PA =，点M是PA 的中点，点 D是 AC 的中点，点 N在 PB上，且2PNNB=. （1）证明：BD 平面 CMN； （2）求平面 MNC

35、 与平面 ABC所成角的余弦值. 【答案】 （1）证明见解析 （2）23 【解析】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，得到相关点和相关向量的坐标, （1）求出平面CMN的法向量，利用BD n = 0 证明即可； （2）由（1）知平面CMN的法向量，再求平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问 1 详解】 证明：三棱锥PABC中，PAAB，PAAC，ABAC 分别以AB，AC，APx，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系 2ABAC=，4PA =，点 M 是 PA的中点，点 D是 AC的中点，点 N在 PB上且2PNNB= ()0,0,0A，()2,0,0B，()0,2,0C，(

36、)0,0,2M，44,0,33N，()0,1,0D 设平面CMN的法向量()000,nxyz=， ()0, 2,2CM = ，44, 2,33CN=，()2,1,0BD = ， 由00000220442033n CMyzn CNxyz= +=+= 得00012xzyz= 令02z = 得0012xy= = 为 ()1, 2, 2n = () ()2,1,01, 2, 20BD n= = BDn 又BD 平面CMN BD平面CMN； 【小问 2 详解】 PAAB，PAAC，ABACA= PA 平面ABC PA为平面ABC的法向量 ()0,0,4AP = 则AP 与n的夹角的补角是平面ABC与平面

37、CMN所成二面角的平面角 82coscos4 33AP nAPn= = = = . 平面MNC与平面ABC所成角的余弦值为23. 21. 已知数列 na是正项数列，12a =，且2211122nnnnnnaaaaaa+=+. （1）求数列 na的通项公式； （2）设nnnba=，数列 nb的前n项和为nT，若()1nnna TnmamR+对*nN恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】 （1）2nna = （2）1,2+ 【解析】 【分析】 （1）由条件因式分解可得()()11210nnnnaaaa+=，从而得到12nnaa+=，即可得出答案. （2）由（1）可得2nnnb =，由错位相减法求和

38、得到nT，由题意即即322nm+对*nN恒成立，分析数列32n的单调性，得出答案. 【小问 1 详解】 由2211122nnnnnnaaaaaa+=+，得()()11210nnnnaaaa+= 0na 12nnaa+= 12nnaa+= 数列 na是公比为 2的等比数列. 12a =，2nna =. 【小问 2 详解】 由（1）知2nna =，2nnnnnba= 231232222nnnT =+ 234111231222222nnnnnT+=+ -得2311111111122222222nnnnnnnT+=+= 222nnnT+= 由1nnna Tnma+对*nN恒成立 得1222222212

39、nnnnnnnnna Tnmanmm+=+=+对*nN恒成立 即322nm+对*nN恒成立，又32n是递减数列 1n =时32n得到最大值32 322m+，即12m m的取值范围是1,2+. 22. 已知椭圆1C：()222166xyaa+=，1C的左右焦点1F，2F是双曲线2C的左右顶点，1C的离心率为63，2C的离心率为2，点E在2C上，过点 E 和1F，2F分别作直线交椭圆1C于F，G和M，N点，如图. （1）求1C，2C的方程； （2）求证：直线1EF和2EF的斜率之积为定值； （3）求证：11FGMN+为定值. 【答案】 （1）1C：221186xy+=；1C：221xy= （2）证

40、明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法，根据条件先求曲线1C的方程，再求曲线2C的方程； （2）首先设()00,E xy，表示直线1EF和2EF的斜率之积，即可求解定值； （3）首先表示直线1EF()12 3ykx=+与1C方程联立消y，利用韦达定理表示弦长FG，以及利用直线1EF和2EF的斜率关系121k k =，表示弦长MN，并证明11FGMN+为定值. 【小问 1 详解】 由题设知，椭圆1C离心率为2663aa= 解得218a = 的 ()12 3,0F ，()22 3,0F 椭圆1C的左右焦点1F，2F是双曲线2C的左右顶点， 设双曲线2C：()22210

41、12xynn= 2C的离心率为21222 3n+=解得212n =. 1C：221186xy+= 2C：2212xy=； 【小问 2 详解】 证明：点E在2C上 设()00,E xy 则220012yx=， 122020112EFEFykkx=. 直线1EF和2EF的斜率之积为定值 1； 【小问 3 详解】 证明：设直线1EF和2EF的斜率分别为1k，2k，则121k k = 设()11,F x y，()22,G xy 1EF：()12 3ykx=+与1C方程联立消y得 ()()22221113112 318 210kxk xk+=“*” 则1x，2x是“*”的二根 则()21122121122112 33118 2131kxxkkx xk+= +=+ 则()()()()222212121121214FGxxyykxxx x=+=+ ()()()22221121122211118 216 2112 314313131kkkkkkk+=+ =+ 同理()()22221122212116 216 216 21131331kkkMNkkk+=+ ()22112131 3114236 216 2kkFGMNk+ + +=+.