1、,函数、导数及其应用,第 二 章,第6讲函数的奇偶性与周期性,栏目导航,1偶函数、奇函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数,f(x)f(x),f(x)f(x),2奇、偶函数的图象特点偶函数的图象关于_对称，奇函数的图象关于_对称3函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇
2、,y轴,原点,4函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个_T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_正周期,非零常数,f(xT)f(x),最小,6函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，且周期T2(ba)(不一定是最小正周期，下同)(2)如果函数f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(a0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)
3、f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性,一函数奇偶性的判断,C,二函数奇偶性的应用,与函数奇偶性有关的问题及解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式,(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：由f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解(4)应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区
4、间上的图象并判断另一区间上的单调性,【例2】 (1)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3B1C1D3(2)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，flg(log210)5，则flg(lg 2)()A5B1C3D4,C,C,三函数的周期性,函数周期性的判断与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ
5、，且k0)也是函数的周期,【例3】 定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 018)()A337B338C339D2 018解析由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 018)f(1)f(2)336112336339.,C,四函数性质的综合应用,函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1
6、)单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解,A,1,D,2已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)3xm(m为常数)，则f(log35)()A6B6C4D4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)3xm，所以f(0)1m0?m1，则f(log35)f(log35)(3log351)4.,D,B,2,易错点不会判断函数的周期性,解析由已知得f(x4)f(x)，即周期是4，于是f(1.5)f(1.5)f(1.54)f(2.5)2.5.,2.5,
