1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示,1.平面向量基本定理,如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.,2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：,(2)向量坐标的求法：,若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.,(x1，y1),3.共线向量及其坐标表示,(1)向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，,使得 ba.,(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，当且仅当x1y2,x2y10时，向量a，b
2、共线.,A.(4,6),B.(4，6)C.(2，2)D.(2,2),A,),2.已知 a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则 c(,B,),A,3.已知向量 a(2,4)，b(1,1)，则 2ab(A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9),解析：因为 2a(4,8)，所以 2ab(4,8)(1,1)(5,7).故选 A.4.已知把向量 a(1,1)向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个,(1,1),单位得到向量 b，则 b 的坐标为_.解析：因为向量 ba，所以 b(1,1).,考点 1,平面向量基本定理的应用,解析：不妨设ABC 为等边三角形，D 是 BC 的中点，E
3、,答案：B,【规律方法】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.,【互动探究】,考点 2,平面向量的坐标运算,答案：A,(2)(2015 年江苏)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_. 解析：由题意，得 2mn9，m2n8?m2，n5，,mn3.,答案：3,【互动探究】,标为(,),A.(7,4)C.(5,4),B.(7,14)D.(5,14),D,A.(
4、2，4)C.(3,5),B.(3，5)D.(2,4),B,考点 3,向量共线的坐标表示,例 3：平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1,2)，c(4,1).(1)若(akc)(2ba)，求实数 k 的值；,解得 k,1613,.,解：(1)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意，得 2(34k)(5)(2k)0.,(2)设 d(x，y)，则 dc(x4，y1).,d 的坐标为(3，1)或(5,3).,【规律方法】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等，其实质为平面向量基本定理的应用.向量共线的充要条件的坐标表示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab?x1y2x2y10
5、.向量垂直的充要条件的坐标表示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab?x1x2y1y20.,4.(2017 年甘肃天水一中统测)设向量a(2,3)，b(1,2)，,若 mab 与 a2b 平行，则实数 m 等于(,),D,解析：a(2,3)，b(1,2)，mabm(2,3)(1,2)(2m1,3m2)，a2b(2,3)2(1,2)(4，1).又 mab与 a2b 平行，(2m1)(1)4(3m2)0，解得 m,【互动探究】,3,5.(2017 年山东)已知向量a(2,6)，b(1，)，若 ab，则 _.解析：由 ab，得 260，解得3.,易错、易混、易漏,利用方程的思想求解平面向量问题,图 4-2-1,【失误与防范】(1)学生的易错点是：找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(2)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题很多学生易忽视 A，M，D 共线和 B，M，C 共线这两个几何特征.,
