1、 强基计划之强基计划之第第 20 章章：点的轨迹点的轨迹 一、初中知识回顾一、初中知识回顾 初中阶段的动点问题主要为初中阶段的动点问题主要为“动态几何问题动态几何问题” 所谓所谓“动态几何问题动态几何问题”是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面，它们在线段、射线是指题设图形中存在一个或多个动点、动线、动面，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目动态几何问题有两个显著特点：一是或弧线上运动的一类开放性题目动态几何问题有两个显著特点：一是“动态动态”，常以图形或，常以图形或图象中点、线、面的运动图象中点、线、面的运动(包括图形的平移、翻折、旋转、相似等图形变换包括图形的平移、翻折、旋转
2、、相似等图形变换)为重要的构图背为重要的构图背景；二是景；二是“综合综合”，主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合，主要体现为三角形、四边形等几何知识与函数、方程等代数知识的综合 解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动，根据题意画一些不同运动时刻解决动点问题的关键是在认真审题的基础上先做到静中求动，根据题意画一些不同运动时刻的图形，想的图形，想像从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动过程像从头到尾的整个运动过程，对整个运动过程有一个初步的理解，理清运动过程中的各种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化
3、的本中的各种情形；然后是做到动中取静，画出运动过程中各种情形的瞬间图形，寻找变化的本质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决质，或将图中的相关线段代数化，转化为函数问题或方程问题解决 二、二、高中知识链接高中知识链接 高中动点问题主要为求曲线的轨迹方程问题高中动点问题主要为求曲线的轨迹方程问题 1.平面解析几何研究的主要问题平面解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件求出平面曲线的根据已知条件求出平面曲线的 方程方程 ； (2)通过通过 方程方程 研究平面曲线的性质研究平面曲线的性质. 2.“曲线的方程曲线的方程”、“方程的曲线方程的曲线”的定义的定义 在平面直角坐标系中，
4、如果某曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的上的点点与一与一个二元方程个二元方程( , )0f x y 的的实数解实数解建立了如建立了如下关系：下关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个曲线上的点的坐标都是这个 方程的解方程的解 ； (2)以这个方程的解为坐标的点都是以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点曲线上的点 . 那么，这个方程叫做那么，这个方程叫做曲线的方程曲线的方程；这条曲线叫做；这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线. 3.曲线与方程定义的理解曲线与方程定义的理解 设设 P具有某种性质的具有某种性质的点点， Q(x，y)|f(x，y)0， 设点设点 A(x0，y0)，则，则 (1)
5、00,APxyQ，即，即PQ； (2)00,xyQAP，即，即QP. 当且仅当当且仅当PQ且且QP，即，即PQ时，才称方程时，才称方程,0f x y 为曲线为曲线 C 的方程；曲线的方程；曲线 C为方程为方程,0f x y 的曲线的曲线. 在领会定义时，要牢记关系在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两两者缺一不可，它们都是者缺一不可，它们都是“曲线的方程曲线的方程”和和“方程的曲线方程的曲线”的必要条件的必要条件.两者满足了，两者满足了，“曲线的方程曲线的方程”和和“方程的曲线方程的曲线”才具备充要性才具备充要性.只有符合关系只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线转化为方程来研究，即几何问题
6、转化为代数问题，才能将曲线转化为方程来研究，即几何问题转化为代数问题.这种这种“以数论形以数论形”的思想是的思想是解析几何的基本思想解析几何的基本思想. 4.求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步骤 五步五步： 建系建系 ， 设点设点 ， 列式列式 ， 化简化简 ， 验证验证 . (1)建建立适当的直角坐标立适当的直角坐标系系，用有序实数对表示曲线上任意一点，用有序实数对表示曲线上任意一点 M 的坐标；的坐标； (2)设设出适出适合条件合条件 P 的的点点 M 的集合；的集合； (3)用坐标表示条件用坐标表示条件 P(M)，列列出方程出方程式式( , )0f x y ； (4)化化方程方程(
7、, )0f x y 为最为最简简形式；形式； (5)验证验证以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(防止方程范围扩大防止方程范围扩大). 在步骤在步骤(4)中若化简过程是中若化简过程是同解变形同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤骤(5)可省略不写可省略不写. 5.由方程画曲线的步骤由方程画曲线的步骤 求截距：求截距： 方程组方程组,00f x yy的解是曲线与的解是曲线与 x 轴交点的坐标；轴交点的坐标； 方程组方程组,00f x yx的解是曲线与的解是曲线与 y 轴交点的坐标；
8、轴交点的坐标； 讨论曲线的范围讨论曲线的范围(左右上下左右上下)； 讨论曲线的对称性讨论曲线的对称性(关于关于 x 轴、轴、y 轴或原点轴或原点)； 列表、描点、连线列表、描点、连线. 6.交点交点 求两曲线求两曲线 f(x，y)0 和和 g(x，y)0 的交点，就是解这两条曲线的方程组成的的交点，就是解这两条曲线的方程组成的 方程组方程组 ，即，即,0,0.f x yg x y 7.曲线系方程曲线系方程 过两曲线过两曲线 f(x，y)0 和和 g(x，y)0 的交点的曲线系方程是的交点的曲线系方程是 f(x，y)g(x，y)0，R(不能表示曲线不能表示曲线 g(x，y)0 ). 8.轨迹方程
9、轨迹方程 求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常用的就是参数法求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常用的就是参数法. 若一个点的运动是受某些因素影响的，求轨迹时，我们经常要分析作图过程，顺藤摸瓜，若一个点的运动是受某些因素影响的，求轨迹时，我们经常要分析作图过程，顺藤摸瓜，从中找出影响动点的因素从中找出影响动点的因素.最后确定一个或几个因素作为基本量，找出它们和最后确定一个或几个因素作为基本量，找出它们和 动点坐标动点坐标 的的关系，列出方程，这就是关系，列出方程，这就是参数法参数法. 9.求点轨迹方程的方法求点轨迹方程的方法 (1)直接法：从条件中直接寻找到直接法：从条件中直接寻找到的关系，列出
10、方程后化简即可的关系，列出方程后化简即可 (2)代入法：所求点代入法：所求点与某已知曲线与某已知曲线上一点上一点存在某种关系，则存在某种关系，则, x y,P x y00,0F x y00,Q xy 可根可根据条件用据条件用表示出表示出，然后代入到，然后代入到所在曲线方程中，即可得到关于所在曲线方程中，即可得到关于的方的方程程 (3)定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程常见的曲线特征及要素有：相关曲线的要素，求出曲线方程常见的曲线特征及要素有： 圆
11、：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角直角圆：若圆：若，则，则点在以点在以为直径的圆上为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标确定方程的要素：圆心坐标，半径，半径 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数(常数大于定点距离常数大于定点距离)的点的轨迹的点的轨迹 确定方程的要素：距离和确定方程的要素：距离和，定点距离，定点距离 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离小于定点距离)的点的轨迹的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数注：若只是到两
12、定点的距离差为常数(小于定点距离小于定点距离)，则为双曲线的一支，则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离，定点距离 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离(定点在定直线外定点在定直线外)相等的点的轨迹相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：确定方程的要素：焦准距：若曲线位置位于标准位置若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线即标准方程的曲线)，则通过准线方，则通过准线方程或焦点坐标也程或焦点坐标也可确定方程可确定方程 三、潜能挖掘三、潜能挖掘 1.方程方程(x2y24)xy10 的曲线形状是
13、的曲线形状是( ) 2已知已知O 方程为方程为 x2y24，过，过 M(4,0)的直线与的直线与O 交于交于 A，B 两点，则弦两点，则弦 AB 中点中点 P 的的轨迹方程为轨迹方程为_. 3.已知点已知点 A(1,0)，直线，直线 l：y2x4，点，点 R 是直线是直线 l 上的一点，若上的一点，若RAAP，则点，则点 P 的轨迹方的轨迹方程为程为( ) Ay2x By2x Cy2x8 Dy2x4 4.已知已知ABC 的顶点的顶点 A(5,0)，B(5,0)，ABC 的内切圆圆心在直线的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点上，则顶点 C 的的轨迹方程是轨迹方程是( ) Ax29y2161 Bx
14、216y291 Cx29y2161(x3) Dx216y291(x4) , x y00,xyQ, x yABACABC, a br2a2c2a2cp 5.平面内有两定点平面内有两定点 A，B，且，且|AB|4，动点，动点 P 满足满足|PAPB|4，则点则点 P 的轨迹是的轨迹是( ) A线段线段 B射线射线 C圆圆 D直线直线 6.若点若点 P 到直线到直线 x1 的距离比它到点的距离比它到点(2，0)的距离小的距离小 1.则点则点 P 的轨迹为的轨迹为( ) A圆圆 B椭圆椭圆 C双曲线双曲线 D抛物抛物线线 7.平面平面 的的定定斜线斜线 AB 交交 于点于点 B，过定点，过定点 A 的
15、动直线的动直线 l 与与 AB 垂直，且交垂直，且交 于点于点 C，则动，则动点点 C 的轨迹是的轨迹是( ) A一条直线一条直线 B一个圆一个圆 C一个椭圆一个椭圆 D双曲线的一支双曲线的一支 8.一圆形纸片的圆心为一圆形纸片的圆心为 O，点，点 Q 是圆内异于是圆内异于 O 的一个定点，点的一个定点，点 A 是圆周上一动点，把纸片是圆周上一动点，把纸片折叠使点折叠使点 A 与点与点 Q 重合，然后抹平纸片，折痕重合，然后抹平纸片，折痕 CD 与与 OA 交于点交于点 P，当点，当点 A 运动时，点运动时，点 P的轨迹为的轨迹为( ) A椭圆椭圆 B双曲线双曲线 C抛物线抛物线 D圆圆 9.已知已知ABC中，中， A， B， C 所对的边所对的边分别分别为为 a，b，c，且，且 ab，a，c，b 成等差数成等差数列，列，|AB|=2，求顶点，求顶点 C 的轨迹方程的轨迹方程. 10.过原点的直线过原点的直线l与曲线与曲线222yxx交于交于,A B两点，求弦两点，求弦AB中点的轨迹中点的轨迹. 11.设直线设直线4xya与抛物线与抛物线24yax交于两点交于两点,A B(a为定值为定值)，C为抛物线上任意为抛物线上任意一点，求一点，求ABC重心重心G的轨迹方程的轨迹方程.
