1、8.2简单几何体的面积与体积,第八章立体几何与空间向量,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是_ ，表面积是侧面积与底面面积之和.,知识梳理,所有侧面的,面积之和,2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,2rl,rl,(r1r2)l,3.柱、锥、台、球的表面积和体积,Sh,4R2,1.与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.,【知识拓展】,2.几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球
2、的半径为R，,题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.()(2)锥体的体积等于底面积与高之积.()(3)球的体积之比等于半径比的平方.()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.()(5)长方体既有外接球又有内切球.()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.(),基础自测,1,2,4,5,6,3,题组二教材改编2.已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 A.1 cm B.2 cm C.3 cm D. cm,1,2,4,5,6,解析,3
3、,答案,解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.,1,2,4,5,6,答案,3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_.,3,147,所以V1V2147.,解析设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，,解析,题组三易错自纠4.(2017西安一中月考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A.3 B.4C.24 D.34,解析,1,2,4,5,6,答案,3,解析由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示.,5.(2016全国)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A.12 B. C.
4、8 D.4,1,2,4,5,6,答案,3,解析,6.(2018大连调研)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为_.,解析,1,2,4,5,6,答案,3,11,解析由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，,故剩余部分与挖去部分的体积之比为11.,题型分类深度剖析,1.(2018届云南昆明一中摸底)一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则这个几何体的表面积为,题型一求简单几何体的表面积,自主演练,解析,答案,解析由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体的内部挖去一个底面边长为
5、2的正四棱锥，将三视图还原可得如图，,2.(2017黑龙江哈师大附中一模)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为,答案,解析,解析由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示.则CC平面ABC，上、下底均为等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，,过A作ADAC于点D，过D作DEAB，则ADCC2，,简单几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.,命题点1以三视图为背景的几
6、何体的体积典例 (2018届广雅中学、东华中学、河南名校联考)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为,解析,题型二求简单几何体的体积,多维探究,答案,命题点2求简单几何体的体积典例 (2018广州调研)已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1B1EDF的体积为_.,解析,答案,解析方法一如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1HB1D于点H.因为EFA1C1，且A1C1?平面B1EDF，EF平面B1EDF，所以A1C1平面B1EDF.所以C1到平面B1EDF的
7、距离就是A1C1到平面B1EDF的距离.易知平面B1D1D平面B1EDF，又平面B1D1D平面B1EDFB1D，所以O1H平面B1EDF，所以O1H等于四棱锥C1B1EDF的高.因为B1O1HB1DD1，,方法二连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，,由题意得，,简单几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后
8、根据条件求解.,解析几何体如图，由三视图得底面为对角线为2的正方形，高为1，,跟踪训练 (1)(2018届河南洛阳联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为,答案,解析,(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为,解析,答案,多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三棱柱AGDBHC,解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，,题型三与球有关的切、接问题,师生共研,典例 (2016全国)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C
9、1内有一个体积为V的球.若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是,解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为 .,解析,答案,解将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1，则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球.体对角线BC1的长为球O的直径.,1.若将本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积.,解答,故S球4R2169.,解如图，设球心为O，半径为r，,2.若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底
10、面边长为2，求该球的体积.,解答,简单几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解.,跟踪训练 (2018届漯河高级中学模拟)四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB2，BCCD1，BCD60，AB平面BCD，则球O的表面积为,解析,答案,解析如图，BCCD1，BCD60，底面B
11、CD为等边三角形，取CD的中点E，连接BE，BCD的外心在BE上，设为G，取BC的中点F，连接GF，在RtBCE中，,过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于点O，则O为四面体ABCD的外接球的球心，即ROB，AB平面BCD，OGBG，,三视图(基本的、和球联系的),高频小考点,三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类题目的关键是通过三视图准确还原几何体.,考点分析,典例1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于,解析,答案,解析由题意知该几何体
12、是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成的组合体，如图所示，其中直三棱柱的高为844，故V直三棱柱8432，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，,典例2 某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为_.,解析,答案,解析如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，,课时作业,1.(2018届山西名校联考)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为 A.812 B.816C.912
13、D.916,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析,答案,解析由三视图可知榫卯的榫为底边长为1，高为2的长方体，卯为底面半径为r2，高为2的中空的圆柱体，设表面积为S，侧面积为S12224288，上、下底面积的和为S22228，则有SS1S2168，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018届贵州黔东南州联考)在ABC中，AB2，BC1.5，ABC120(如图所示)，若将ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,
14、13,14,15,16,解析由题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所示，,解析,3.(2018届广西柳州联考)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为 A.932 B.916C.38 D.316,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,答案,解析R2，设截面圆M的半径为r，,解析,4.(2017昆明质检)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A.24 B.30C.42 D.60,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018九江一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为,解析,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1
