1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八节 第二课时 最值、范围、证明问题 课时作业 A 组 基础对点练 1已知椭圆 C1： y2a2x2b2 1(ab0)的右顶点为 A(1,0)，过 C1的焦点且垂直长轴的弦长为 1. (1)求椭圆 C1的方程； (2)设点 P 在抛物线 C2： y x2 h(h R)上， C2在点 P 处的切线与 C1交于点 M， N.当线段 AP的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值 解析： (1)由题意，得? b 1，2 b2a 1.从而? a 2，b 1. 因此，所求的椭圆 C1的方程为 y24 x2 1. (2)如图，设 M(x1， y1)， N(x
2、2， y2)， P(t， t2 h)， 则抛物线 C2在点 P 处的切线斜率为 y| x t 2t. 直线 MN 的方程为： y 2tx t2 h. 将上式代入椭圆 C1的方程中，得 4x2 (2tx t2 h)2 4 0， 即 4(1 t2)x2 4t(t2 h)x (t2 h)2 4 0. 因为直线 MN 与椭圆 C1有两个不同的交点， 所以 式中的 1 16 t4 2(h 2)t2 h2 40. 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3， 则 x3 x1 x22 t t2 h t2 . 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4，则 x4 t 12 . 由题意，得 x3 x4， 即 t2 (1 h
3、)t 1 0. 由 式中的 2 (1 h)2 40 ，得 h1 ，或 h 3. 当 h 3 时， h 2b0)的离心率为32 ， F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 2 33 ， O 为坐标原点 (1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P， Q 两点，当 OPQ 的面积最大时，求 l 的方程 解析： (1)设 F(c,0)，由条件知， 2c 2 33 ，得 c 3. 又 ca 32 ，所以 a 2， b2 a2 c2 1. 故 E 的方程为 x24 y2 1. (2)当 l x 轴时不合题意， 故设 l： y kx 2， P(x1， y1)， Q(x
4、2， y2)， 将 y kx 2 代入 x24 y2 1 得 (1 4k2)x2 16kx 12 0. 当 16(4k2 3)0， 即 k234时， x1,2 8k2 4k2 34k2 1 . 从而 |PQ| k2 1|x1 x2| 4 k2 1 4k2 34k2 1 . 又点 O 到直线 PQ 的距离 d 2k2 1， 所以 OPQ 的面积 S OPQ 12d|PQ| 4 4k2 34k2 1 . 设 4k2 3 t，则 t0， S OPQ 4tt2 4 4t 4t. 因为 t 4t4 ，当且仅当 t 2，即 k 72 时等号成立，且满足 0， 所以，当 OPQ 的面积最大时， l 的方程为
5、 y 72 x 2 或 y 72 x 2. 3.如图，在矩形 ABCD 中， |AB| 4， |AD| 2， O 为 AB 的中点， P， Q 分别是=【 ;精品教育资源文库 】 = AD 和 CD 上的点，且满足 |AP|AD| |DQ|DC|， 直线 AQ 与 BP 的交点在椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)上 (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 R 为椭圆 E 的右顶点， M 为椭圆 E 第一象限部分上一点，作 MN 垂直于 y 轴，垂足为 N，求梯形 ORMN 面积的最大值 解析： (1)设 AQ 与 BP 的交点为 G(x， y)， P( 2， y1)， Q(x1,2)，由
6、题可知， y12x1 24 ，yx 22x1 2，y2 xy14， 从而有 4y2 x x 2y ，整理得 x24 y2 1，即为椭圆 E 的方程 (2)由 (1)知 R(2,0)，设 M(x0， y0)，则 y0 12 4 x20， 从而梯形 ORMN 的面积 S 12(2 x0)y0 14 x20 x0 2， 令 t 2 x0，则 20 ， u 4t3 t4单调递增， 当 t (3,4)时， ub0)的离心率为63 ，且椭圆 C 上的点到一个焦点的距离的最小值为 3 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知过点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，若在 x 轴上
7、存在一点 E，使 AEB90 ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 解析： (1)设椭圆的半焦距长为 c， 则由题设有：? ca63 ，a c 3 2，解得： a 3， c 2， b2 1， 故椭圆 C 的方程为 y23 x2 1. (2)由已知可得，以 AB 为直径的圆与 x 轴有公共点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点为 M(x0， y0)， 将直线 l： y kx 2 代入 y23 x2 1， 得 (3 k2)x2 4kx 1 0， 12k2 12， x0 x1 x22 2k3 k2， y0 kx0 2 63 k2， |AB|
8、 1 k2 12k2 123 k2 2 3 k4 13 k2 ， ? 12k2 120，63 k212|AB|，解得： k413 ，即 k 4 13或 k 4 13. B 组 能力提升练 1 (2018 武汉市模拟 )已知抛物线 x2 2py(p0)的焦点为 F，直线 x 4 与 x 轴的交点为 P，与抛物线的交点为 Q，且 |QF| 54|PQ|. (1)求抛物线的方程； (2)如图所示，过 F 的直线 l 与抛物线相交于 A， D 两点，与圆 x2 (y 1)2 1 相交于 B， C两点 (A， B 两点相邻 )，过 A， D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 M，求 ABM与 C
9、DM 的面积之积的最小值 解析： (1)由已知得 F(0， p2)， P(4,0)， Q(4， 8p)， |QF| 8p p2， |PQ| 8p， 因为 |QF| 54|PQ|，所以 8p p2 54 8p， 解得 p 2 或 p 2(舍去 )， 所以抛物线的方程为 x2 4y. (2)设 l： y kx 1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立方程，得? y kx 1，x2 4y， 消去 y，得 x2 4kx 4 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 x1 x2 4k， x1x2 4. 由 y x24，得 y x2. 所以直线 MA： y x214x12(x x1)，即
10、 yx12xx214. 同理可求得直线 MD： y x22x x224. 联立方程，得? y x1x2 x214，y x2x2 x224，解得 M(2k， 1) 所以点 M 到 l 的距离 d 2k2 21 k2 2 1 k2. 所以 S ABM S CDM 14|AB| CD| d2 14(|AF| 1)(|DF| 1)d2 14y1y2d2 14 x21x2216d2 1 k21 ，当且仅当 k 0 时取等号 所以当 k 0 时， ABM 与 CDM 面积之积的最小值为 1. 2已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为 ( 3， 0) (1)求双曲线 C 的方程； (2
11、)若直线： y kx m(k0 ， m0) 与双曲线 C 交于不同的两点 M， N，且线段 MN 的垂直平分线过点 A(0， 1)，求实数 m 的取值范围 解析： (1)设双曲线 C 的方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0) 由已知得： a 3， c 2，又 a2 b2 c2，得 b2 1， 双曲线 C 的方程为 x23 y2 1. (2)联立? y kx m，x23 y2 1， 整理得 (1 3k2)x2 6kmx 3m2 3 0. 直线与双曲线有两个不同的交点， ? 1 3k20 ， m2 1 3k2 ， 可得 m23k2 1 且 k2 13， =【 ;精品教育资源文库 】 = 设
12、M(x1， y1)， N(x2， y2)， MN 的中点为 B(x0， y0)， 则 x1 x2 6km1 3k2， x0 x1 x22 3km1 3k2， y0 kx0 m m1 3k2. 由题意， AB MN， kABm1 3k2 13km1 3k2 1k(k0 ， m 0) 整理得 3k2 4m 1， 将 代入 ，得 m2 4m0， m4. 又 3k2 4m 10(k0) ，即 m 14. m 的取值范围是 ? ? 14， 0 (4， ) 3已知椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左焦点为 F( c,0)，离心率为33 ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2 y2 b
13、24截得的线段的长为 c， |FM|4 33 . (1)求直线 FM 的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 2，求直线 OP(O 为原点 )的斜率的取值范围 解析： (1)由已知，有 c2a213， 又由 a2 b2 c2，可得 a2 3c2， b2 2c2. 设直线 FM 的斜率为 k(k0)， F( c,0)， 则直线 FM 的方程为 y k(x c) 由已知，有 ( kck2 1)2 (c2)2 (b2)2， 解得 k 33 . (2)由 (1)得椭圆方程为 x23c2y22c2 1，直线 FM 的方程为 y33 (x c)，两个方程联立，
14、消去y，整理得 3x2 2cx 5c2 0， 解得 x 53c，或 x c. 因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐标为 (c， 2 33 c) =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 |FM| c c 2 2 33 c 2 4 33 ， 解得 c 1，所以椭圆的方程为 x23y22 1. (3)设点 P 的坐标为 (x， y)，直线 FP 的斜率为 t， 得 t yx 1，即 y t(x 1)(x 1)，与椭圆方程联立? y t x ，x23y22 1，消去 y，整理得 2x2 3t2(x 1)2 6， 又由已知，得 t 6 2x2x 2 2， 解得 320，于是 m 2x2 23，得 m (
15、 23 ， 2 33 ) 当 x ( 1,0)时，有 y t(x 1)0. 因此 m1)，设 A 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点，过点 A 作圆 C 的弦AM，并使弦 AM 的中点恰好落在 y 轴上 (1)求点 M 的轨迹 E 的方程； (2)延长 MC 交曲线 E 于另一点 N，曲线 E 在点 N 处的切线与直线 AM 交于点 B，试判断以点 B为圆心，线段 BC 的长为半径的圆与直线 MN 的位置关系，并证明你的结论 解析： (1)设 M(x， y)， x0，由题意可知， A(1 r,0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 记 AM 的中点为 D，则 D(0， y2)， 因为 C(1,
16、0)， DC (1， y2)， DM (x， y2) 在 C 中，易知 CD DM， 所以 DC DM 0， 所以 x y24 0，即 y2 4x(x0)， 所以点 M 的轨迹 E 的方程为 y2 4x(x0) (2) B 与直线 MN 相切证明如下： 设直线 MN 的方程为 x my 1， M(x1， y1)， N(x2， y2)，直线 BN 的方程为 y k(x y224) y2. 联立，得? x my 1，y2 4x， 消去 x，得 y2 4my 4 0， 所以 y1 y2 4m， y1y2 4. r 1 x1， 则点 A( x1,0)， 所以直线 AM 的方程为 y 2y1x y12. 联立 ， 得? y k x y224 y2，y2 4x，消去 x， 得 ky2 4y 4y2 k
