1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第八节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 课时作业 A 组 基础对点练 1 (2018 西安模拟 )抛物线 y2 4x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A， AK l，垂足为 K，则 AKF 的面积是 ( ) A 4 B 3 3 C 4 3 D 8 解析： y2 4x， F(1,0)， l： x 1，过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1： y 3(x 1)，与 y2 4x 联立，解得 x 3 或 x 13(舍 )，故 A(3,2 3)， AK 4， S AKF 1242 3 4 3.故选 C. 答案
2、： C 2已知直线 l： y 2x 3 被椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)截得的弦长为 7，则下列直线中被椭圆 C 截得的弦长一定为 7 的有 ( ) y 2x 3； y 2x 1； y 2x 3； y 2x 3. A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 解析：直 线 y 2x 3 与直线 l 关于原点对称，直线 y 2x 3 与直线 l 关于 x 轴对称，直线 y 2x 3 与直线 l 关于 y 轴对称，故有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7. 答案： C 3 (2018 郴州模拟 )过点 P( 3， 0)作直线 l 与圆 O： x2 y2 1 交于 A、 B 两
3、点， O 为坐标原点，设 AOB ，且 ? ?0， 2 ，当 AOB 的面积为 34 时，直线 l 的斜率为 ( ) A. 33 B 33 C. 3 D 3 解析： AOB 的面积为 34 ， 1211sin 34 ， sin 32 . ? ?0， 2 ， 3 ， 圆心到直线 l 的距离为 32 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 设直线 l 的方程为 y k(x 3)， 即 kx y 3k 0， 32 | 3k|1 k2， k 33 . 答案： B 4已知过定点 (1,0)的直线与抛物线 x2 y 相交于不同的 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则 (x1 1)(x2 1) _
4、. 解析：设过定点 (1,0)的直线的方程为 y k(x 1)，代入抛物线方程 x2 y 得 x2 kx k 0，故 x1 x2 k， x1x2 k，因此 (x1 1)(x2 1) x1x2 (x1 x2) 1 1. 答案： 1 5已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x2 2py(p0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且 |FA| c，则双曲线的渐近线方程为_ 解析：抛物线 x2 2py 的准线方程为 y p2，与双曲线的方程联立得 x2 a2(1 p24b2)，根据已知得 a2(1 p24b2) c2 .由 |AF|
5、c，得 p24 a2 c2 .由 可得 a2 b2，即 a b，所以所求双曲线的渐近线方程是 y x. 答案： y x 6过双曲线 x2 y22 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，若使得 |AB| 的直线 l恰有 3 条，则 _. 解析： 使得 |AB| 的直线 l 恰有 3 条 根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直 此时 A， B 的横坐标为 3，代入双曲线方程， 可得 y 2 ，故 |AB| 4. 双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4， 过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4， 综上可知 |AB| 4 时，有三条直线满足题意 4. 答案： 4 7设椭
6、圆 E 的方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (a,0)，点 B 的坐标为 (0， b)，点 M 在线段 AB 上，满足 |BM| 2|MA|，直线 OM 的斜率为 510. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 E 的离心率 e； (2)设点 C 的坐标为 (0， b)， N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 72，求 E 的方程 解析： (1)由题设条件知，点 M 的坐标为 ? ?23a， 13b ，又 kO M 510，从而 b2a 510， 进而得 a 5b， c a2 b2 2b，故 e ca 2 55
7、. (2)由题设条件和 (1)的计算结果可得，直线 AB 的方程为 x5b yb 1，点 N 的坐标为?52 b，12b . 设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 ? ?x1，72 ，则线段 NS 的中点 T 的坐标为?54 bx12，14b74 .又点 T 在直线 AB 上，且 kNS kAB 1， 从而有? 5b4 x125b 14b 74b 1，7212bx1 52 b 5，解得 b 3. 所以 a 3 5，故椭圆 E 的方程为 x245y29 1. 8.已知中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2， 3)，且它的 离心率 e 12. (1)求椭圆的标准方程； (2
8、)与圆 (x 1)2 y2 1 相切的直线 l： y kx t 交椭圆于 M， N两点，若椭圆上一点 C 满足 OM ON OC ，求实数 的取值范围 解析： (1)设椭圆的标准方程为 x2a2y2b2 1(ab0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由已知得：? 4a2 3b2 1，ca12，c2 a2 b2，解得? a2 8b2 6， 所以椭圆的标准方程为 x28y26 1. (2)因为直线 l： y kx t 与圆 (x 1)2 y2 1 相切， 所以 |t k|1 k2 1?2k 1 t2t (t0) ， 把 y kx t 代入 x28y26 1 并整 理得： (3 4k2)x2 8
9、ktx (4t2 24) 0， 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则有 x1 x2 8kt3 4k2， y1 y2 kx1 t kx2 t k(x1 x2) 2t 6t3 4k2， 因为 OC (x1 x2， y1 y2)， 所以 C? ? 8kt 4k2 ， 6t 4k2 ， 又因为点 C在椭圆上，所以， 8k2t2 4k2 2 26t2 4k2 2 2 1?2 2t23 4k22?1t22 1t2 1， 因为 t20，所以 ? ?1t2 2 1t2 11，所以 00， b0， b0)的实轴长为 4 2，虚轴 的一个端点与抛物线 x2 2py(p0)的焦点重合，直线 y kx 1
10、 与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则 p ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析：由抛物线 x2 2py(p0)可知其焦点为 ? ?0， p2 ，所以 b p2，又 a 2 2，因此双曲线的方程为 x284y2p2 1，渐近线方程为 y p4 2x.直线 y kx 1 与双曲线的一条渐近线平行，不妨设 k p4 2，由? y p4 2x 1，x2 2py可得 x2 2p? ?p4 2x 1 p22 2x 2p，得 x2 p22 2x 2p 0，则 ? ? p22 22 8p 0，解得 p 4.故选 A. 答案： A 3在抛物线 y x2上关于直线 y x 3 对称的两点 M， N
11、 的坐标分别为 _ 解析：设直线 MN 的方程为 y x b，代入 y x2中， 整理得 x2 x b 0，令 1 4b0， b 14. 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 x1 x2 1， y1 y22 x1 x22 b12 b， 由 ? ? 12， 12 b 在直线 y x 3 上， 即 12 b 12 3，解得 b 2， 联立得? y x 2，y x2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得? x1 2，y1 4， ? x2 1，y2 1. 答案： ( 2,4)， (1,1) 4过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两 点若 |AF| 3，则 |
12、BF| _. 解析：抛物线 y2 4x 的准线为 x 1，焦点为 F(1,0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由抛物线的定义可知 |AF| x1 1 3，所以 x1 2，所以 y1 2 2，由抛物线关于 x 轴对称，假设 A(2,2 2)，由 A， F， B 三点共线可知直线 AB 的方程为 y 0 2 2(x 1)，代入抛物线方程消去 y 得 2x2 5x 2 0，求得 x 2 或 12，所以 x2 12，故 |BF| 32. 答案： 32 5定义：在平面内，点 P 到曲线 上的点的距离的最小值称为点 P 到曲线 的距离在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 M： (x 2)2
13、y2 12 及点 A( 2， 0)，动点 P 到圆 M 的距离与到点 A 的距离相等，记 P 点的轨迹为曲线 W. (1)求曲线 W 的方程； (2)过原点的直线 l(l 不与坐标轴重合 )与曲线 W 交于不同的两点 C， D，点 E 在曲线 W 上，且 CE CD，直线 DE 与 x 轴交于点 F，设直线 DE、 CF 的斜率分别为 k1、 k2，求 k1k2. 解析： (1)由题意知：点 P 在圆内且不为圆心，易知 |PA| |PM| 2 32 2 |AM|，所以 P点的轨迹为以 A、 M 为焦点的椭圆，设椭圆方程为 x2a2y2b2 1(ab0)，则 ? 2a 2 3，2c 2 2? a
14、 3，c 2.所以 b2 1，故 曲线 W 的方程为 x23 y2 1. (2)设 C(x1， y1)(x1y10) ， E(x2， y2)，则 D( x1， y1)，则直线 CD 的斜率为 kCD y1x1，又 CE CD，所以直线 CE 的斜率是 kCE x1y1，记 x1y1 k，设直线 CE 的方程为 y kx m，由题意知 k0 ， m0 ，由? y kx m，x23 y2 1 得 (1 3k2)x2 6mkx 3m2 3 0， x1 x2 6mk1 3k2， =【 ;精品教育资源文库 】 = y1 y2 k(x1 x2) 2m 2m1 3k2， 由题意知 x1 x2， k1 kDE
15、 y2 y1x2 x1 13k y13x1， 直线 DE 的方程为 y y1 y13x1(x x1)， 令 y 0，得 x 2x1， 即 F(2x1,0) 可得 k2 y1x1. k1k2 13. 6已知椭圆 K： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，其离心率 e22 ，以原点为圆心，椭圆的半焦距为半径的圆与直线 x 3y 2 0 相切 (1)求 K 的方程； (2)过 F2的直线 l 交 K 于 A， B 两点， M 为 AB 的中点，连接 OM 并延长交 K 于点 C，若四边形OACB 的面积 S 满足： a2 3S，求直线 l 的斜率 解析： (1)由题意得，? ca 22 ，21 3 c，a2 b2 c2，解得? a 2，b 1，c 1.故椭圆 K 的方程为 x22 y2 1. (2)由于直线 l 的倾斜角不可为零，所以设直线 l 的方程为 my x 1， 与 x22 y2 1 联立并化简可得 (m2 2)y2 2my 1 0. 设 M(x0， y0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1 y2
