1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七节 抛物线 课时作业 A 组 基础对点练 1 (2017 沈阳质量监测 )抛物线 y 4ax2(a0) 的焦点坐标是 ( ) A (0， a) B (a,0) C.? ?0， 116a D ? ?116， 0 解析 ： 将 y 4ax2(a0) 化为标准方程得 x2 14ay(a0) ， 所以焦点坐标为 ? ?0， 116a ， 所以选C. 答案： C 2 (2017 辽宁五校联考 )已知 AB 是抛物线 y2 2x 的一条焦点弦， |AB| 4，则 AB 中点 C的横坐标是 ( ) A 2 B 12 C.32 D 52 解析：设 A(x1， y1)， B
2、(x2， y2)，则 |AB| x1 x2 p 4，又 p 1，所以 x1 x2 3，所以点C 的横坐标是 x1 x22 32. 答案： C 3 (2017 邯郸质检 )设 F 为抛物线 y2 2x 的焦点， A、 B、 C 为抛物线上三点，若 F 为 ABC的重心，则 |FA | |FB | |FC |的值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：依题意，设点 A(x1， y1)、 B(x2， y2)、 C(x3， y3)，又焦点 F? ?12， 0 ， x1 x2 x3 3 1232，则 |FA | |FB | |FC | (x112) (x212) ?x312 (x1 x2 x3
3、)323232 3.选 C. 答案： C 4已知直线 l： y kx k 与抛物线 C： y2 4x 及其准线分别交于 M， N 两点， F 为抛物线的焦点，若 2FM MN ，则实数 k 等于 ( ) A 33 B 1 C 3 D 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 ： 抛物线 C： y2 4x 的焦点 F(1,0)， 直线 l： y kx k 过抛物线的焦点 ， 如图过 M作 MM 准线 x 1， 垂足为 M ， 由抛物线的定义 ， 得 |MM| |MF|， 易知 M MN 与直线 l 的倾斜角相等 ， 由 2FM MN ， 得 cos M MN |MM|MN| 12， 则 tan
4、 M MN 3， 直线 l 的斜率 k 3， 故选 C. 答案： C 5已知 P 为抛物线 y2 4x 上一个动点， Q 为圆 x2 (y 4)2 1 上一个动点，那么点 P 到点Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是 ( ) A 2 5 1 B 2 5 2 C. 17 1 D 17 2 解析：由题意得圆 x2 (y 4)2 1 的圆心 A(0,4)，半径 r 1，抛物线的焦点 F(1,0)由抛物线的几何性质可得：点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是 |AF| r 1 16 1 17 1.选 C. 答案： C 6 (2017 沈阳质量监测 )已知抛物
5、线 x2 4y 的焦点为 F，准线为 l， P 为抛物线上一点，过P 作 PA l 于点 A，当 AFO 30( O 为坐标原点 )时， |PF| _. 解析：设 l 与 y 轴的交点为 B，在 Rt ABF 中， AFB 30 ， |BF| 2，所以 |AB| 2 33 ，设 P(x0， y0)，则 x0 2 33 ，代入 x2 4y 中，得 y0 13，从而 |PF| |PA| y0 1 43. 答案： 43 7 (2017 云南检测 )已知抛物线 C 的方程为 y2 2px(p 0)， M 的方程为 x2 y2 8x 12 0，如果抛物线 C 的准线与 M 相切，那么 p 的值为 _ 解
6、析：将 M 的方程化为标准方程： (x 4)2 y2 4，圆心坐标为 ( 4,0)，半径 r 2， 又抛物线的准线方程为 x p2， |4 p2| 2，解得 p 12 或 4. 答案： 12 或 4 8.如图，过抛物线 y2 2px(p 0)的焦点 F 的直线 l 依次交抛物线及其准线于点 A， B， C，若 |BC| 2|BF|，且 |AF| 3，则抛物线的方程是=【 ;精品教育资源文库 】 = _ 解析：分别过点 A、 B 作准线的垂线 AE、 BD，分别交准线于点 E、 D(图略 )，则 |BF| |BD|， |BC| 2|BF|， |BC| 2|BD|， BCD 30 ，又 |AE|
7、|AF| 3， |AC| 6，即点 F是 AC 的中点，根据题意得 p 32， 抛物线的方程是 y2 3x. 答案： y2 3x 9已知抛物线 y2 4px(p 0)的焦点为 F，圆 W： (x p)2 y2 p2的圆心到过点 F 的直线 l的距离为 p. (1)求直线 l 的斜率； (2)若直线 l 与抛物线交于 A、 B 两点， WAB 的面积为 8，求抛物线的方程 解析： (1)易知抛物线 y2 4px(p 0)的焦点为 F(p,0)，依题意直线 l 的斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 x my p，因为 W( p,0)， 所以点 W 到直线 l 的距离为 | p p|1 m 2
8、 p，解得 m 3，所以直线 l 的斜率为 33 . (2)由 (1)知直线 l 的方程为 x 3y p，由于两条直线关于 x 轴对称，不妨取 x 3yp， 联立 ? x 3y p，y2 4px， 消去 x 得 y2 4 3py 4p2 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 4 3p， y1y2 4p2， 所以 |AB| 1 3 2 3p 2 44 p2 16p， 因为 WAB 的面积为 8，所以 12p16 p 8，得 p 1， 所以抛物线的方程为 y2 4x. 10 (2017 合肥质检 )已知抛物线 C1： x2 2py(p 0)， O 是坐标原点，点 A，
9、 B 为抛物线 C1上异于 O 点的两点，以 OA 为直径的圆 C2过点 B. (1)若 A( 2,1)，求 p 的值以及圆 C2的方程； (2)求圆 C2的面积 S 的最小值 (用 p 表示 ) 解析： (1) A( 2,1)在抛物线 C1上， 4 2p， p 2.又圆 C2的圆心为 ? ? 1， 12 ，半径为 |OA|2 52 ， 圆 C2的方程为 (x 1)2 ? ?y 12 2 54. (2)记 A(x1， x212p)， B(x2，x222p)则 OB (x2，x222p)， AB (x2 x1，x22 x212p ) 由 OB AB 0 知， x2(x2 x1) x22 x22
10、x214p2 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = x20 ，且 x1 x2， x22 x1 x2 4p2， x1 ? ?x24p2x2 . x21 x22 16p4x22 8p22 16p4 8p2 16p2，当且仅当 x2216p4x22 ，即 x22 4p2时取等号 又 |OA|2 x21 x414p214p2(x41 4p2 x21)，注意到 x2116 p2， |OA|2 14p2(162 p4 4p216 p2) 80p2.而 S |OA|24 ， S20 p2， 即 S 的最小值为 20 p2，当且仅当 x22 4p2时取得 B 组 能力提升练 1已知抛物线 C： y2 mx(
11、m0)的焦点为 F，点 A(0， 3)若射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 D，且 |FM| |MD| 1 2，则点 M 的纵坐标为 ( ) A 13 B 33 C 23 D 2 33 解析：依题意， F 点的坐标为 (m4， 0)，设点 M 在准线上的射影为 K，由抛物线的定义知 |MF| |MK|，因为 |FM| |MD| 1 2，所以 |KD| |KM| 3 1， kFD 3， kFD 0 3m4 0 4 3m ，所以 4 3m 3，解得 m 4，所以直线 FM 的方程为 y 3(x 1)，与 y2 4x 联立，解得 x 3(舍去 )或 x 13，所以 y2 43，
12、 y 2 33 或 y 2 33 (舍去 )，故点 M 的坐标为 (13， 2 33 )，故选 D. 答案： D 2 (2018 石家庄质检 )已知圆 C1： x2 (y 2)2 4，抛物线 C2： y2 2px(p0)， C1与 C2相交于 A， B 两点，且 |AB| 8 55 ，则抛物线 C2的方程为 ( ) A y2 85x B y2 165x C y2 325x D y2 645x 解析：由题意，知直线 AB 必过原点，则设 AB 的方程为 y kx(k0)，圆心 C1(0,2)到直线 AB的 距 离 d 2k2 1 22 4 55 2 2 55 ，解得 k 2(k 2 舍去 ) 由
13、=【 ;精品教育资源文库 】 = ? y 2xx2 y 2 4 ，可取 A(0,0)， B(85，165)，把 (85，165)代入抛物线方程，得 (165)2 2p 85，解得 p 165 ，所以抛物线 C2的方程为 y2 325x，故选 C. 答案： C 3已知点 P 在抛物线 y2 x 上，点 Q 在圆 (x 12)2 (y 4)2 1 上，则 |PQ|的最小值为 ( ) A.3 52 1 B 3 32 1 C 2 3 1 D 10 1 解析 ： 设点 P(y2， y)(y R)， 圆 (x 12)2 (y 4)2 1 的圆心为 A( 12， 4)， 则 |PA|2 (y212)2 (y
14、 4)2 y4 2y2 8y 654 ， 令 t y4 2y2 8y 654 ， 则 t 4y3 4y 8， 令 m t 4y3 4y 8， 则 m 12y2 40， 所以 m t 4y3 4y 8 在 R 上是增函数 ， 因为 t| y 1 0， 所以 y 1 为 t y4 2y2 8y 654 的极小值点也是最小值点 ， 所以 |PA|2 t 的最小值为 454 ， 所以 |PA|的最小值为 3 52 ， 所以 |PQ|的最小值 为 3 52 1， 故选 A. 答案： A 4 (2018 山西八校联考 )已知抛物线 y2 4x的准线与 x轴相交于点 P，过点 P且斜率为 k(k0)的直线
15、l 与抛物线交于 A， B 两点， F 为抛物线的焦点，若 |FB| 2|FA|，则 AB 的长度为_ 解析：依题意知 P( 1,0)， F(1,0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由 |FB| 2|FA|，得 x2 12(x1 1)，即 x2 2x1 1 ， P( 1,0)，则 AB 的方程为 y kx k，与 y2 4x 联立，得k2x2 (2k2 4)x k2 0，则 (2k2 4)2 4k40，即 k20)的焦点，曲线 y kx(k0)与 C 交于点A，直线 FA 恰与曲线 y kx(k0)相切于点 A， FA 交 C 的准线于点 B，则 |FA|BA|等于 _ 解析：
16、由? y2 2px，y kx， 解得? x k3 2pk，y 3 2pk.由 y kx，得 y kx2， 所以 kFA3 2pkk3 2pk p2 kk23 4p2k2，化简得 k p24 2， 所以 x k3 2pk p4， |FA|AB|xF xA|xA xB|p2p4p4 p2 13. 答案： 13 6 (2017 唐山统考 )已知抛物线 y2 2px(p 0)，过点 C( 2,0)的直线 l 交抛物线于 A、 B两点，坐标原点为 O， OA OB 12. (1)求抛物线的方程； (2)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程 解析： (1)设 l： x my 2，代入 y2 2px， 得 y2 2pmy 4p 0.(*) 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1 y2 2pm， y1y2 4p，
