1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 课时作业 A 组 基础对点练 1圆心为 (4,0)且与直线 3x y 0 相切的圆的方程为 ( ) A (x 4)2 y2 1 B (x 4)2 y2 12 C (x 4)2 y2 6 D (x 4)2 y2 9 解析：由题意，知圆的半径为圆心到直线 3x y 0 的距离，即 r | 34 0|3 1 2 3，结合圆心坐标可知，圆的方程为 (x 4)2 y2 12，故选 B. 答案： B 2 (2018 石家庄质检 )若 a， b 是正数，直线 2ax by 2 0 被圆 x2 y2 4 截得的弦长为2 3，则 t a 1
2、2b2取得最大值时 a 的值为 ( ) A.12 B 32 C. 34 D 34 解析：因为圆心到直线的距离 d 24a2 b2，则直线被圆截得的弦长 L 2 r2 d2 2 4 44a2 b2 2 3 ， 所 以 4a2 b2 4.t a 1 2b2 12 2 (2 2 a) 1 2b2 12 2 12(2 2a)2 ( 1 2b2)2 14 28a2 1 2(4 4a2) 94 2，当且仅当? 8a2 1 2b24a2 b2 4 时等号成立，此时 a34，故选 D. 答案： D 3 (2018 惠州模拟 )已知圆 O： x2 y2 4 上到直线 l： x y a 的距离等于 1 的点恰有
3、3个，则实数 a 的值为 ( ) A 2 2 B 2 C 2或 2 D 2 2或 2 2 解析：因为圆上到直线 l 的距离等于 1 的点恰好有 3 个，所以圆心到直线 l 的距离 d 1，即 d | a|2 1，解得 a 2.故选 C. 答案： C 4在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x 2y 3 0 被圆 (x 2)2 (y 1)2 4 截得的弦长为=【 ;精品教育资源文库 】 = _ 解析：已知圆的圆心为 (2， 1)，半径 r 2. 圆心到直线的距离 d |2 3|1 4 3 55 ， 所以弦长为 2 r2 d2 2 22 ? ?3 55 2 2 555 . 答案 ： 2 555 5
4、已知 m0， n0， 若直线 (m 1)x (n 1)y 2 0 与圆 (x 1)2 (y 1)2 1 相切 ， 则 m n 的取值范围是 _ 解析：因为 m0， n0，直线 (m 1)x (n 1)y 2 0 与圆 (x 1)2 (y 1)2 1 相切，所以圆心 C(1,1) 到 直 线 的 距 离 d |m 1 n 1 2|m 2 n 2 1 ，即 |m n| m 2 n 2，两边平方并整理得， m n 1 mn( m n2 )2，即 (m n)2 4(m n) 40 ，解得 m n2 2 2，所以 m n 的取值范围为 2 2 2， ) 答案： 2 2 2， ) 6两圆 x2 y2 2a
5、x a2 4 0 和 x2 y2 4by 1 4b2 0 恰有三条公切线，若 a R， b R且 ab0 ，则 1a2 1b2的最小值为 _ 解析：两圆 x2 y2 2ax a2 4 0 和 x2 y2 4by 1 4b2 0 配方得， (x a)2 y2 4， x2 (y 2b)2 1，依题意得两圆相外切，故 a2 4b2 1 2 3，即 a2 4b2 9， 1a2 1b2 (a294b29 )(1a21b2)19a29b24b29a24959 2 a29b24b29a2 1，当且仅当a29b24b29a2，即 a2 2b2时等号成立，故 1a2 1b2的最小值为 1. 答案： 1 7已知矩
6、形 ABCD 的对角线交于点 P(2,0)，边 AB 所在的直线方程为 x y 2 0，点 ( 1,1)在边 AD 所在的直线上 (1)求矩形 ABCD 的外接圆方程； (2)已知直线 l： (1 2k)x (1 k)y 5 4k 0(k R)，求证：直线 l 与矩形 ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长 解析： (1)依题意得 AB AD， kAB 1， kAD 1， 直线 AD 的方程为 y 1 x 1，即 y x 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解? x y 2 0，x y 2 0， 得 ? x 0，y 2， 即 A(0,2) 矩形 ABCD 的外接圆是以 P(2,0)为圆心，
7、|AP| 2 2为半径的圆，方程为 (x 2)2 y2 8. (2)证明：直线 l 的方程可整理为 (x y 5) k(y 2x 4) 0， k R， ? x y 5 0，y 2x 4 0， 解得 ? x 3，y 2， 直线 l 过定点 M(3,2) 又 点 M(3,2)在圆内， 直线 l 与圆相交 圆心 P 与定点 M 的距离 d 5， 最短弦长为 2 8 5 2 3. 8已知圆 C1： x2 y2 2mx 4y m2 5 0，圆 C2： x2 y2 2x 2my m2 3 0， m 为何值时， (1)圆 C1与圆 C2外切； (2)圆 C1与圆 C2内含 解析：对于圆 C1与圆 C2的方程
8、，经配方后得 C1： (x m)2 (y 2)2 9； C2： (x 1)2 (y m)2 4. (1)如果圆 C1与圆 C2外切，则有 m 2 2 m 2 3 2， (m 1)2 ( 2 m)2 25， m2 3m 10 0，解得 m 5 或 m 2. 所以当 m 5 或 m 2 时，圆 C1与圆 C2外切 (2)如果圆 C1与圆 C2内含，则有 m 2 2 m 20)，则 |x0| y0 1，又 x20 4y0，所以联立? |x0| y0 1，x20 4y0， 解得 ? x0 2 ，y0 1， 因此圆 M 的方程为 (x2)2 (y1)2 22，展开整理得 x2 y24 x 2y 1 0，
9、故选 A. 答案： A 3已知圆 M： x2 y2 2ay 0(a0)截直线 x y 0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N：(x 1)2 (y 1)2 1 的位置关系是 ( ) A内切 B相交 C外切 D相离 解析：由题知圆 M： x2 (y a)2 a2，圆心 (0， a)到直线 x y 0 的距离 d a2，所以 2 a2 a22 2 2，解得 a 2.圆 M，圆 N 的圆心距 |MN| 2，两圆半径之差为 1，故两圆相交 答案： B 4直线 ax by 1 0 与圆 x2 y2 1 相切，则 a b ab 的最大值为 ( ) A 1 B 1 C. 2 12 D 2 1 解析：
10、 直线 ax by 1 0 与圆 x2 y2 1 相切， 圆心 O(0,0)到直线 ax by 1 0 的距离等于半径，即 1a2 b2 1?a2 b2 1，易知 a b ab 的最大值一定在 a0， b0 时取得， a b ab a b 2 ab 1 2ab ab.令1 2ab t，则 ab t2 12 . ab a2 b22 12(当且仅当 a b22 时取 “ ”) 且 ab0， 10 得 ( 2)2 ( 4)2 4m0，解得 m5. (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，由 x 2y 4 0 得 x 4 2y；将 x 4 2y 代入 x2 y2 2x4y m 0 得 5y
11、2 16y 8 m 0， y1 y2 165 ， y1y2 8 m5 . OM ON， y1x1 y2x2 1，即 x1x2 y1y2 0. x1x2 (4 2y1)(4 2y2) 16 8(y1 y2) 4y1y2， x1x2 y1y2 16 8(y1 y2) 5y1y2 0， 即 (8 m) 8 165 16 0， 解得 m 85. (3)设圆心 C 的坐标为 (a， b)，则 a 12(x1 x2) 45， b 12(y1 y2) 85，半径 r |OC| 4 55 ， 所求圆的方程为 ? ?x 45 2 ? ?y 85 2 165. 7已知圆 M： (x 1)2 y2 1，圆 N： (
12、x 1)2 y2 9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，=【 ;精品教育资源文库 】 = 求 |AB|. 解析：由已知得圆 M 的圆心为 M( 1,0)，半径 r1 1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2 3. 设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切， 所以 |PM| |PN| (R r1) (r2 R) r1 r2 4. 由椭圆的定义可知，曲线 C
13、是以 M， N 为左，右焦点，长半轴长为 2，短 半轴长为 3的椭圆 (左顶点除外 )，其方程为 x24y23 1(x 2) (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x， y)，由于 |PM| |PN| 2R 22 ，所以 R2 ，当且仅当圆P 的圆心为 (2,0)时， R 2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为 (x 2)2 y2 4. 若 l 的倾斜角为 90 ，则 l 与 y 轴重合，可得 |AB| 2 3. 若 l 的倾斜角不为 90 ，由 r1 R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则 |QP|QM| Rr1，可求得 Q( 4,0)，所以可设 l： y k(x 4)，由 l 与圆 M 相切得 |3k|1 k2 1，解得 k 24 . 当 k 24 时，将 y 24 x 2代入 x24y23 1，并整理得 7x2 8x 8 0，解得 x1,2 46 27 . 所以 |AB| 1 k2|x2 x1| 187. 当 k 24 时，由图形的对称性可知 |AB| 187. 综上， |AB| 2 3或 |AB| 187 .
