1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 函数的奇偶性与周期性 A组 基础题组 1.下列函数中 ,既是偶函数又在 (0,+) 上是减函数的是 ( ) A.y=x-1 B.y=ln x2 C.y= D.y=-x2 2.已知函数 f(x)=3x- ,则 f(x)( ) A.是偶函数 ,且在 R上是增函数 B.是奇函数 ,且在 R上是增函数 C.是偶函数 ,且在 R上是减函数 D.是奇函数 ,且在 R上是减函数 3.设 f(x)是定义在 R上周期为 3的函数 ,当 x -2,1)时 , f(x)= 则 f =( ) A.0 B.1 C. D.-1 4.已知偶函数 f(x)在区间 0,+) 上单调递增
2、 ,则满足 f(2x-1)0时 , f(x)= +1,则当 x0 时 , f(x)= . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求当 x0在 1,3上的解集为 ( ) A.(1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)(1,3) D.(-1,0)(0,1) 2.(2017 四川成都第二次诊断检测 )已知函数 f(x)的定义域为 R,当 x -2,2时 , f(x)单调递减 ,且函数f(x+2)为偶函数 ,则下列结论正确的是 ( ) A.f()0时 ,此函数为减函数 ,又该函数为偶函数 ,故选 D. 2.B 本题考查函数的奇偶性、单调性 . 易知函数 f(x)的定义域为 R, f( -x)=3
3、-x- = -3x=-f(x),f(x) 为奇函数 , 又 y=3 x在 R上为增函数 ,y=- 在 R上为增函数 , f(x)=3 x- 在 R上是增函数 .故选 B. 3.D 因为 f(x)是周期为 3的周期函数 ,所以 f =f =f =4 -2=-1,故选 D. 4.A 由 f(x)是偶函数知 f(x)=f(|x|),则 f(2x-1)0时 , f(x)= +1,所以当 x0, f(x)=-f(-x)=-( +1), 即当 xg(0)g(-1) 解析 在 f(x)-g(x)= 中 , 用 -x替换 x,得 f(-x)-g(-x)=2x, 由于 f(x),g(x)分别是定义在 R上的奇函
4、数和偶函数 , 所以 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 因此得 -f(x)-g(x)=2x. 联立得 f(x)= ,g(x)=- , 于是 f(1)=- ,g(0)=-1,g(-1)=- , 故 f(1)g(0)g(-1). 9. 解析 (1)f(x)是奇函数 , 当 x0,此时 f(x)=-f(-x)=- = . (2)f(x)0时 , , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 3x-1- , 所以 3-x32,所以 x0, 所以 f(x)=x2+mx, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数 ,所以 f(-x)=-f(x), 即 -x2-
5、2x=-x2-mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在 -1,a-2上单调递增 , 结合 f(x)的图象知 所以 10,得 x( -1,0); 当 x0,1) 时 ,由 xf(x)0,得 x ? ; 当 x1,3 时 ,由 xf(x)0,得 x(1,3). 故 x( -1,0)(1,3). 2.C 因为函数 f(x+2)为偶函数 ,所以函数 f(x)的图象关于直线 x=2对称 ,又当 x -2,2时 , f(x)单调递减 ,所以当 x2,6 时 , f(x)单调递增 , f( )=f(4- ),因为 24- 3, 所以 f( )f(3)f(). 3. 解析 (1)由 f(x+2)=-f(x
6、),得 f(x+4)=f(x+2)+2)=-f(x+2)=f(x), f(x) 是以 4为周期的周期函数 . f()=f( -14+)=f( -4)=-f(4-)= -(4-)= -4. (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得 f(x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1),即 f(1+x)=f(1-x). 从而可知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 . 又当 0x1 时 , f(x)=x,且 f(x)的 图象关于原点成中心对称 ,则 f(x)的图象如图所示 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 设当 -4x4 时 , f(x)的图象与 x轴围成的图形的面
7、积为 S, 则 S=4SOAB =4 =4. 4. 解析 (1)因为对于任意 x1,x2D, 有 f(x1x 2)=f(x1)+f(x2), 所以令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),所以 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数 . 证明如下 :令 x1=x2=-1, 有 f(1)=f(-1)+f(-1), 所以 f(-1)= f(1)=0. 令 x1=-1,x2=x, 有 f(-x)=f(-1)+f(x), 所 以 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数 . (3)依题设有 f(44)=f(4)+f(4)=2, 由 (2)知 , f(x)是偶函数 , 所以 f(x-1)2?f(|x-1|)f(16). 又 f(x)在 (0,+) 上是增函数 . 所以 0|x-1|16, 解得 -15x17且 x1. 所以 x的取值范围是 (-15,1)(1,17).
