1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示 1函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A， B 设 A， B 是 非空的数集 设 A， B 是 非空的集合 对应 关系 f： A B 如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意 一个数 x，在集合 B 中都有 唯一确定 的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的 任意 一个元素 x，在集合 B 中都有 唯一确定 的元素 y 与之对应 名称 称 f： A B 为从集合 A 到集合 B的一个函数 称对应 f： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 y f
2、(x)， x A 对应 f： A B 是一个映射 2函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 y f(x)， x A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的 值域 显然，值域是集合 B 的子集 (2)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 (3)相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据 (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有： 解析法 、 图象法 、列表法 3分段函数 若函数在其定 义域内，对于定义域内的不同
3、取值区间，有着不同的 对应关系 ，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数 1判断下面结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)对于函数 f： A B，其值域是集合 B.( ) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数 ( ) (3)函数是一种特殊的映射 ( ) (4)若 A R， B (0， ) ， f： x y |x|，则对应 f 可看作从 A 到 B 的映射 ( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的 ( ) 答案： (1) (2) (3) (4) (5) 2函数 f(x) 2x 1 1x
4、 2的定义域为 ( ) A 0,2) B (2， ) C 0,2) (2， ) D ( ， 2) (2， ) 解析：选 C 由题意得? 2x 10 ，x 20 ， 解得 x0 且 x2. 3下列函数中，与函数 y x 1 是相等函数的是 ( ) A y ( x 1)2 B y 3 x3 1 C y x2x 1 D y x2 1 解析：选 B 对于 A，函数 y ( x 1)2的定义域为 x|x 1，与函数 y x 1 的定义域不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于 C，函数y x2x 1 的定义域为 x|x0 ，与函数 y x 1 的定义域不同，不是相等函数；对
5、于 D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选 B. 4下列图形中可以表示为以 M x|0 x1 为定义域，以 N y|0 y1 为值域的函数的是 ( ) 解析：选 C A 选项，函数定义域为 M，但值域不是 N， B 选项，函数定义域不是 M，值域为 N， D 选项，集合 M 中存在 x 与集合 N 中的两个 y 对应，不能构成函数关系故选 C. 5设函数 f(x) ? x， x0 ， x， x0，解得 0 x 2，故其定义域是 0,2) 2 (2018 济南模拟 )函数 f(x) 12x2 1的定义域为 _ 解析：要使函数 f(x)有意义，则 (log2x)2 10，即 log2x
6、1 或 log2x2 或00 且 a1) ， y sin x， y cos x 的定义域均为 R； (6)y logax(a0 且 a1) 的定义域为 (0， ) ； (7)y tan x 的定义域为 ? ?x?x k 2 ， k Z . 考点二 求函数的解析式 重点保分型考点 师生共研 函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查 .题目难度不大，常以选择题、填空题的形式出现 . 典题领悟 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)已知 f? ?x 1x x2 1x2，求函数 f(x)的解析式 (2)已知 f? ?2x 1 lg x，求 f(x)的解
7、析式 (3)已知 f(x)是二次函数，且 f(0) 0， f(x 1) f(x) x 1，求 f(x)的解析式 (4)已知函数 f(x)满足 f( x) 2f(x) 2x，求 f(x)的解析式 解： (1)由于 f? ?x 1x x2 1x2 ? ?x 1x 2 2， 所以 f(x) x2 2， x2 或 x 2， 故 f(x)的解析式是 f(x) x2 2， x ( ， 2 2， ) (2)令 2x 1 t，得 x 2t 1， 代入得 f(t) lg 2t 1， 又 x0，所以 t1， 故 f(x)的解析式是 f(x) lg 2x 1， x (1， ) (3)设 f(x) ax2 bx c(
8、a0) ， 由 f(0) 0，知 c 0， f(x) ax2 bx， 又由 f(x 1) f(x) x 1， 得 a(x 1)2 b(x 1) ax2 bx x 1， 即 ax2 (2a b)x a b ax2 (b 1)x 1， 所以? 2a b b 1，a b 1， 解得 a b12. 所以 f(x) 12x2 12x， x R. (4)由 f( x) 2f(x) 2x， 得 f(x) 2f( x) 2 x， 2 ，得 3f(x) 2x 1 2 x. 即 f(x) 2x 1 2 x3 . 故 f(x)的解析式是 f(x) 2x 1 2 x3 . 解题师说 1 依题型准确选用 4 种方法速求
9、函数解析式 题型 方法 步骤 =【 ;精品教育资源文库 】 = 已知函数 f(g(x)F(x)求解析式 配凑法 将右边的 F(x)整理或配凑成关于 g(x)的表达式，然后用 x 将 g(x)代换，便得f(x)的解析式 (如典题领悟 (1) 已知复合函数f(g(x) F(x)求解析式 换元法 令 g(x) t，从中解出 x(用 t 表示 )，代入 F(x)进行换元后，得到 f(t)，再将 t 换成 x，便得 f(x)的解析式 (如典题领悟 (2) 已知函数类型 (如一次函数，二次函数 )求解析式 待定系数法 先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程 (组 )，通
10、过解方程 (组 )求出相应的系数 (如典题领悟 (3) 求抽象函数解析式(已知函数的抽象关系式求解函数解析式的问题 ) 解方程组法 已知关于 f(x)与 f? ?1x 或 f( x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)的解析式 (如典题领悟 (4) 2谨防求 函数解析式的 2 种失误 (1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题求出解析式后要标注 x 的取值范围 (如典题领悟第 1 题、第 2 题 ) (2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围 如已知 f( x) x 1，求函数 f(x)的解析式，可通过换元的方法得 f(x)
11、 x2 1，函数f(x)的定义域是 0， ) ，而不是 ( ， ) 冲关演练 1 (尝试用换元法解题 ) 如果 f? ?1x x1 x，则当 x0 且 x1 时， f(x)等于 ( ) A.1x B. 1x 1 C. 11 x D.1x 1 解析：选 B 令 1x t，得 x 1t(t0 且 t1) ， f(t)1t1 1t 1t 1(t0 且 t1) ， =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x) 1x 1(x0 且 x1) 2 (尝试用待定系数法解题 ) 如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接 (相切 )已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( )
12、 A y 12x3 12x2 x B y 12x3 12x2 3x C y 14x3 x D y 14x3 12x2 2x 解析：选 A 设所求函数解析式为 f(x) ax3 bx2 cx d(a0) ， 则 f( x) 3ax2 2bx c(a0) ， 由题意知? f d 0，f 8a 4b 2c d 0，f c 1，f 12a 4b c 3，解得? a 12，b 12，c 1，d 0， f(x) 12x3 12x2 x. 3 (尝试用配凑法解题 ) 已知 f? ?1 xx x2 1x2 1x，则 f(x) ( ) A (x 1)2 B (x 1)2 C x2 x 1 D x2 x 1 解析
13、：选 C f? ?1 xx x2 1x2 1x ?x 1x2 x 1x 1， 所以 f(x) x2 x 1. 4 (尝试用解方程组法解题 ) 已知 f(x)满足 2f(x) f? ?1x 3x，则 f(x) _. 解析： 2f(x) f? ?1x 3x， =【 ;精品教育资源文库 】 = 把 中的 x 换成 1x，得 2f? ?1x f(x) 3x. 联立 可得? 2f x f? ?1x 3x，2f? ?1x f x 3x，解此方程组可得 f(x) 2x 1x(x0) 答案： 2x 1x(x0) 考点三 分段函数 题点多变型考点 追根溯源 分段函数作为考查函数知识的最佳 载体，一直是高考命题的
14、热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，试题常以选择题、填空题的形式出现，难度一般 .,常见的命题角度有： 求值问题； 求参数或自变量的值 或范围 题点全练 角度 (一 ) 求值问题 1已知函数 f(x)? 2cos x， x0 ，f x 1， x0， 则 f?43 的值为 ( ) A 1 B 1 C.32 D.52 解析：选 B 依题意得 f? ?43 f? ?13 1 f? ? 23 1 1 2cos? ? 23 2 2 ? ? 12 2 1. 题型技法 求分段函数的函数值的方法 求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值；当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点 角度 (二 ) 求参数或自变量的值 (或范围 ) 2 (2017 全国卷 )设函数 f(x)? x 1， x0 ，2x， x0， 则满足 f(x) f?x 12 1 的 x 的取值范围是 _ 解析：由题意知，可对不等式分 x0,012讨论 当 x0 时，原不等式为 x 1 x 121，解得 x 14， =【 ;精品教育资源文库 】 = 141，显然成立 当 x12时，原不
