1、专题06 圆锥曲线中的定值问题一、单选题 1过原点的直线与双曲线交于A,B两点,点P为双曲线上一点,若直线PA的斜率为2,则直线PB的斜率为( )A4B1CD二、多选题2已知椭圆的离心率为,的三个顶点都在椭圆上,设它的三条边,的中点分别为,且三条边所在直线的斜率分别,且,均不为0为坐标原点,则( )AB直线与直线的斜率之积为C直线与直线的斜率之积为D若直线,的斜率之和为1,则的值为3设是抛物线上两点,是坐标原点,若,下列结论正确的为( )A为定值B直线过抛物线的焦点C最小值为16D到直线的距离最大值为4三、解答题4已知点到的距离是点到的距离的2倍.(1)求点的轨迹方程;(2)若点与点关于点对称
2、,点,求的最大值;(3)若过的直线与第二问中的轨迹交于,两点,试问在轴上是否存在点,使恒为定值?若存在,求出点的坐标和定值;若不存在,请说明理由.5已知,为椭圆的左右焦点,点在椭圆上,且过点的直线交椭圆于,两点,的周长为.(1)求椭圆的方程;(2)对于椭圆,问否存在实数,使得成立,若存在求出的值;若不存在,请说明理由.6已知椭圆的离心率为,的面积为(1)求椭圆的方程;(2)设为椭圆上一点,直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:为定值.7已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,直线ykx交椭圆于P,Q两点,M是椭圆上不同于P,Q的任意一点,直线MP和直线MQ的斜率分别为k1,k2(1)证明:k1k
3、2为定值;(2)过F2的直线l与椭圆交于A,B两点,且,求|AB|8已知双曲线的方程.(1)求点到双曲线C上点的距离的最小值;(2)已知圆的切线(直线的斜率存在)与双曲线C交于A,B两点,那么AOB是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由.9已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点,且抛物线的通径(过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦)的长等于椭圆的两准线间的距离.(1)求抛物线及椭圆的标准方程;(2)过点F作两条直线,且,的斜率之积为.设直线交抛物线于A,B两点,交抛物线于C,D两点,求的值;设直线,与椭圆的另一个交点分别为M,N.求面积的最大值.10设抛物线,为的焦点,过的直线与交于
4、两点.(1)设的斜率为,求的值;(2)求证:为定值.11已知圆,动圆与圆相外切,且与直线相切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程.(2)已知点,过点的直线与曲线交于两个不同的点(与点不重合),直线的斜率之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.12已知椭圆经过点,且右焦点.(1)求椭圆的标准方程;(2)过且斜率存在的直线交椭圆于,两点,记,若的最大值和最小值分别为,求的值.13已知椭圆C:()的离心率为,短轴一个端点到右焦点F的距离为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点F的直线l交椭圆于AB两点,交y轴于P点,设,试判断是否为定值?请说明理由.14如图,在平面直角坐标系中,已知,分别是椭
5、圆E: 的左、右焦点,A,B分别椭圆E的左、右顶点,且(1)求椭圆E的离心率;(2)已知点为线段的中点,M为椭圆E上的动点(异于点A、B),连接并延长交椭圆E于点N,连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连接PQ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得恒成立?,若存在,求出的值;若不存在,说明理由15设椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,短轴长为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设左、右顶点分别为、,点在椭圆上(异于点、),求的值;(3)过点作一条直线与椭圆交于两点,过作直线的垂线,垂足为.试问:直线与是否交于定点?若是,求出该定点的坐标,否则说明理由.16在平面直角坐
6、标系xOy中,已知点A(-2,1),P是动点,且(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过A作斜率为1的直线与轨迹C相交于点B,点T(0,t)(t0),直线AT与BT分别交轨迹C于点设直线的斜率为k,是否存在常数,使得t=k,若存在,求出值,若不存在,请说明理由.17已知P为圆:上一动点,点坐标为,线段的垂直平分线交直线于点Q.(1)求点Q的轨迹方程;(2)已知,过点作与轴不重合的直线交轨迹于两点,直线分别与轴交于两点.试探究的横坐标的乘积是否为定值,并说明理由.18已知在平面直角坐标系中,圆与轴交于,两点,点 在第一象限且为圆外一点,直线,分别交圆于点,交轴于点,()若直线的倾斜角为60,求点坐
7、标;()过作圆的两条切线分别交轴于点,试问是否为定值?若是,求出这个定值:若不是,说明理由19在平面直角坐标系xOy中,有三条曲线:;.请从中选择合适的一条作为曲线C,使得曲线C满足:点F(1,0)为曲线C的焦点,直线y=x-1被曲线C截得的弦长为8.(1)请求出曲线C的方程;(2)设A,B为曲线C上两个异于原点的不同动点,且OA与OB的斜率之和为1,过点F作直线AB的垂线,垂足为H,问是否存在定点M,使得线段MH的长度为定值?若存在,请求出点M的坐标和线段MH的长度;若不存在,请说明理由.20如图,点为椭圆的左顶点,过的直线交抛物线于,两点,点是的中点()若点在抛物线的准线上,求抛物线的标准
8、方程:()若直线过点,且倾斜角和直线的倾斜角互补,交椭圆于,两点,(i)证明:点的横坐标是定值,并求出该定值:(ii)当的面积最大时,求的值21已知椭圆:()的左右焦点分别为,焦距为2,且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴,与椭圆有两个不同的交点,线段的中点为.(1)点在椭圆上,求的取值范围;(2)证明:直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值;22已知椭圆的离心率为,点分别是的左右上下顶点,且四边形的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知是的右焦点,过的直线交椭圆于两点,记直线的交点为,求证:点在定直线上,并求出直线的方程.23已知椭圆的左、右顶点分别为,离心率为,过点作直线交椭圆于点,(与
9、,均不重合).当点与椭圆的上顶点重合时,.(1)求椭圆的方程(2)设直线,的斜率分别为,求证:为定值.24已知椭圆C:的离心率为,过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2(1)求椭圆C的方程;(2)已知点,过点A的任意一条直线与椭圆C交于M,N两点,求证:25已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点F的距离为.(1)求椭圆C的标准方程 ;(2)过点 F 的直线l交椭圆于A、B两点,交y轴 于P点,设,试判断是否为定值?请说明理由26如图所示,在平面直角坐标系中,已知点为椭圆的上顶点.椭圆以椭圆的长轴为短轴,且与椭圆有相同的离心率.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作斜率分别为的两条直线,直线与椭圆分别交于点,直线与椭圆分别交于点.(i)当时,求点的纵坐标;(ii)若两点关于坐标原点对称,求证:为定值.四、填空题26已知A、B分别是双曲线的左右顶点,M是双曲线上异于A、B的动点,若直线MA、MB的斜率分别为,始终满足,其中,则C的离心率为_ 27在平面直角坐标系中,分别为椭圆的左、右焦点,分别为椭圆的上、下顶点,直线与椭圆的另一个交点为,若的面积为,则直线的斜率为_.