1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (五十三 ) 直线与圆、圆与圆的位置关系 基础巩固 一、选择题 1 (2017 广东汕头质检 )已知抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F，直线 y 2x 4 与 C 交于A， B 两点，则 cos AFB ( ) A.45 B.35 C 35 D 45 解析 抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F， 点 F 的坐标为 (1,0)又 直线 y 2x 4与 C 交于 A， B 两点， A， B 两点坐标分别为 (1， 2)， (4,4)，则 FA (0， 2)， FB (3,4)， cos AFB FA FB|FA|FB| 810 45.故选 D.
2、 答案 D 2 (2017 北京东城期末 )过抛物线 y2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A， B 两点，它们的横坐标之和等于 3，则这样的直线 ( ) A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 解析 过抛物线 y2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A， B 两点，若直线 AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于 2，不符合题意设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y k(x 1)，代入抛物线方程 y2 4x，得 k2x2 2(k2 2)x k2 0. A， B 两点的横坐标之和等于 3， k2k2 3.解得 k 2 ， 符合题意的直线有且仅有两条故选 B
3、. 答案 B 3 (2017 湖南长沙调研 )设斜率为 2 的直 线 l 过抛物线 y2 ax(a0) 的焦点 F，且和 y轴交于点 A，若 OAF(O 为坐标原点 )的面积为 4，则抛物线的方程为 ( ) A y2 4 x B y2 4x C y2 8 x D y2 8x 解析 抛物线 y2 ax(a0) 的焦点 F 的坐标为 ? ?a4， 0 ， 直线 l 的方程为 y2? ?x a4 . 直线 l 与 y 轴的交点为 A? ?0， a2 ， OAF 的面积为 12? ?a4 ? ?a2 4，解得 a8. 抛物线的方程为 y2 8 x，故选 C. 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 =
4、 4 (2017 河南三门峡灵宝期末 )已知抛物线方程为 y2 2px(p0)，过该抛物线焦点 F且不与 x 轴垂直的直线交抛物线于 A， B 两点，过点 A，点 B 分别作 AM， BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于 M， N 两点，那么 MFN 必是 ( ) A锐角 B直角 C钝角 D以上皆有可能 解析 由题意画出图象，如图由抛物线的定义，可知 |NB| |BF|.所以 BNF 是等腰三角形因为 BN OF，所以 NF 平分 OFB.同理 MF 平分 OFA，所以 NFM 90. 故选 B. 答案 B 5 (2017 黑龙江七台河期末 )已知抛物线 C： y2 8x 的焦点为 F，直线
5、 l： x 1，点A 是 l 上的一动点，直线 AF 与抛物线 C 的一个交点为 B.若 FA 3FB，则 |AB| ( ) A 20 B 16 C 10 D 5 解析 由抛物线 C： y2 8x，得 F( 2,0)设 A(1， a)， B(m， n)，且 n2 8m. FA 3FB， 1 2 3(m 2)，解得 m 3， n 2 6. a 3n， a 6 6， |AB| 2 6 6 6 2 20.故选 A. 答案 A 6 (2017 湖北襄阳月考 )已知抛物线 y 12x2的焦点为 F，准线为 l， M 在 l 上，线段MF 与抛物线交于 N 点，若 |MN| 2|NF|，则 |MF| (
6、) A 2 B 3 C. 2 D. 3 解析 =【 ;精品教育资源文库 】 = 如图，过 N 作准线的垂线 NH，垂足为 H. 根据抛物线的定义可知 |NH| |NF|， 在 NHM 中， |NM| 2|NH|，则 NMH 45. 在 MFK 中， FMK 45 ， 所以 |MF| 2|FK|.而 |FK| 1. 所以 |MF| 2.故选 C. 答案 C 7已知抛物线 y2 2px(p0)的准线与曲线 x2 y2 4x 5 0 相切，则 p 的值为_ 解析 曲线的标准方程为 (x 2)2 y2 9，其表示圆心为 (2,0)，半径为 3 的圆，又抛物线的准线方程为 x p2， 由抛物线的准线与圆
7、相切得 2 p2 3，解得 p 2. 答案 2 二、填空题 8 (2018 武汉模拟 )抛物线 y2 4x 的焦 点为 F，倾斜角等于 45 的直线过 F 交该抛物线于 A， B 两点，则 |AB| _. 解析 由抛物线焦点弦的性质，得 |AB| 2psin2 22sin245 8. 答案 8 9 (2017 黑龙江绥化期末 )设抛物线 y2 16x 的焦点为 F，经过点 P( 1,0)的直线 l 与抛物线交于 A， B 两点，且 2BP PA，则 |AF| 2|BF| _. 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) P(1,0)， BP (1 x2， y2)， PA (x1 1，
8、y1) 2BP PA， 2(1 x2， y2) (x1 1， y1)， x1 2x2 3， 2y2 y1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 将 A(x1， y1)， B(x2， y2)代入抛物线方程 y2 16x，得 y21 16x1， y22 16x2. 又 2y2 y1， 4x2 x1. 又 x1 2x2 3， 解得 x2 12， x1 2. |AF| 2|BF| x1 4 2(x2 4) 2 4 2 ? ?12 4 15. 答案 15 三、解答题 10 (2017 河北沧州百校联盟 )已知抛物线 C： y2 2px(p0)的焦点为 F，抛物线上一点 P 的横坐标为 2， |PF| 3.
9、 (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 F 且倾斜角为 30 的直线交抛物线 C 于 A， B 两点， O 为坐标原点，求 OAB 的面积 解 (1)由抛物线定义可知， |PF| 2 p2 3， p 2， 抛物线 C 的方程为 y2 4x. (2)由 y2 4x，得 F(1,0)， 过点 F 且倾斜角为 30 的直线方程为 y 33 (x 1)联立 y2 4x，消去 x 得 y2 4 3y 4 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 4 3， y1y2 4. S OAB S OAF S OFB 12|y1 y2| 12 48 16 4. 能力提升 11 (201
10、7 辽宁沈阳二中期中 )抛物线 C： y2 4x 的焦点为 F，斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 M， N 两点若线段 MN 的垂直平分线与 x 轴交点的横坐标为 a(a0)， n |MF|NF|，则 2a n ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 解析 由题意得 F(1,0)，准线方程为 x 1.线段 MN 的中点坐标为 (x0， y0)由抛物线的定义，得 n |MF| |NF| xM 1 xN 1 xM xN 2 2x0 2.因为 线段 MN 的垂直平分线方程为 y y0 1k(x x0)，令 y 0，得 x ky0 x0，即 a ky0 x0.由点差法可得 ky0 2，所以
11、x0 a 2，所以 2a n 2x0 4 (2x0 2) 2.故选 A. 答案 A 12 (2017 北京昌平期末 )已知 ABC 的三个顶点均在抛物线 y2 x 上，边 AC 的中线BM x 轴， |BM| 2，则 ABC 的面积为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 根据题意设 A(a2， a)， B(b2， b)， C(c2， c)，不妨设 ac. M 为边 AC 的中点， M? ?a2 c22 ，a c2 . 又 BM x 轴， b a c2 . |BM| ? ?a2 c22 b2 ?a2 c22 a c 24 2， (a c)2 8， a c 2 2. 作 AH BM交 BM
12、的延长线于 H，故 S ABC 2S ABM 2 12|BM| AN| 2|a b| 2? ?a a c2 a c 2 2. 答案 2 2 13 (2017 福建厦门期中 )设抛物线 C： y2 4x， F 为 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C相交于 A， B 两点 (1)若 l 的斜率为 1，求 |AB|的大小； (2)求证： OA OB是一个定值 解 (1) 直线 l 的斜率为 1 且过点 F(1,0)， 直线 l 的方程为 y x 1. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立? y x 1，y2 4x， 消去 y 得 x2 6x 1 0. 0， x1 x2 6， x1
13、x2 1， |AB| x1 x2 p 8. (2)证明：设直线 l 的方程为 x ky 1，联立? x ky 1，y2 4x， 消去 x 得 y2 4ky 4 0， 0.设 A (x1， y1)， B (x2， y2)，则 y1 y2 4k， y1y2 4， OA (x1， y1)， OB (x2， y2) OA OB x1x2 y1y2 (ky1 1)(ky2 1) y1y2 k2y1y2 k(y1 y2) 1 y1y2 4k24k2 1 4 3. OA OB 3 是一个定值 14已知抛物线 y2 2px(p0)，过点 C( 2,0)的直线 l 交抛物线于 A、 B 两点，坐标原=【 ;精品
14、教育资源文库 】 = 点为 O， OA OB 12. (1)求抛物线的方程； (2)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程 解 (1)设 l： x my 2，代入 y2 2px， 得 y2 2pmy 4p 0.(*) 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1 y2 2pm， y1y2 4p，则 x1x2 y21y224p2 4. 因为 OA OB 12，所以 x1x2 y1y2 12，即 4 4p 12， 得 p 2，抛物线的方程为 y2 4x. (2)(1)中 (*)式可化为 y2 4my 8 0， y1 y2 4m， y1y2 8. 设 AB 的中点为
15、M， 则 |AB| 2xM x1 x2 m(y1 y2) 4 4m2 4， 又 |AB| 1 m2|y1 y2| m2 m2 ， 由 得 (1 m2)(16m2 32) (4m2 4)2， 解得 m2 3， m 3. 所以直线 l 的方程为 x 3y 2 0 或 x 3y 2 0. 延伸拓展 已知过点 A( 4,0)的动直线 l 与抛物线 G： x2 2py(p0)相交于 B、 C 两点当直线 l的斜率是 12时， AC 4AB. (1)求抛物线 G 的方程； (2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围 解 (1)设 B(x1， y1)， C(x2， y2)，当直线 l 的斜率是 12时， l 的方程为 y 12(x 4)，即 x 2y 4. 由? x2 2py，x 2y 4 得 2y2 (8 p)y 8 0， ? y1y2 4， y1 y2 8 p2 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 AC
