1、平面一般力系力的平移定理 平面力系简化 平衡方程有什么特点？各力的作用线各力的作用线不汇交于一点不汇交于一点请Shift+F5 平面一般力系各力的作用线都在同一平面内，但既不汇交于一点，也不平行。F1，F2，Fn 平面汇交力系和平面力偶系是平面一般力系的特例。平面一般力系是工程中最常见的力系。一、力的平移定理 作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须同时增加一附加力偶同时增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩 M 等于原力F 对新作用点O之矩。这就是。FFdMFFFOOOAAA这就相当于把力这就相当于把力F 移到移到了了O点，点，同时增加了一同时增加了一个附加力偶，其力偶矩个附加力
2、偶，其力偶矩为：为：M=MO(F)=Fd把把F 由原来的由原来的A点平点平移到移到O点，可以吗？点，可以吗？根据加减平衡力系公理，在根据加减平衡力系公理，在O点加上点加上一对与一对与F 平行且等值、反向力平行且等值、反向力F和和F”,使使F=F=F”,则则F 和和F”构成了一个力构成了一个力偶，其附加力偶矩为：偶，其附加力偶矩为：M=Fd力的平移定理由此得证力的平移定理由此得证请Shift+F5问题：问题：力F 对齿轮和轴各有什么作用？r动画动画力的平移定理应用力的平移定理应用请Shift+F5FFMMFF晕！晕！锤子砸偏了锤子砸偏了力的平移定理应用力的平移定理应用请Shift+F5MMFF力
3、的平移定理应用力的平移定理应用平衡力系平衡力系请Shift+F5MF力的平移定理应用力的平移定理应用力不平衡力不平衡问题问题1：图中的平面一般力系对刚体的作用效果是怎样的？问题问题2：能否将平面一般力系F1，F2 Fn中各力都向刚体的某点平移？假如可以的话，就能够像平面汇交力系那样，对各力进行合成了。刚体平衡吗？刚体平衡吗？不知道！不知道！平面一般力系可以直接合成吗？平面一般力系可以直接合成吗？平面一般力系不是汇交力系，平面一般力系不是汇交力系，不可以不可以直接合成！直接合成！OABN力的平移定理应用力的平移定理应用（简化中心）F1，F2 Fn请Shift+F5 二、平面一般力系的简化 （一）
4、平面一般力系的主矢与主矩 设在刚体上作用有一平面一般力系 F1,F2,Fn（如图a）。在该力系所在的平面内任取一点O，该点称为简化中心。应用力的平移定理，将力系中的各力都平移到O点，于是就得到一个汇交于O点的平面汇交力系 F1,F2,Fn 和一个力偶矩分别为 M1,M2,Mn 的附加力偶系（如图b）。将各力和各力偶矩分别合成，可得到一个力和一个力偶（如图c）。O为任意点图a图b图c力的平移定理应用力的平移定理应用平面一般力系的简化过程FO为任意点平面一般力系（未知力系）向一点简化向一点简化平面汇交力系+平面力偶系 （可知力系）平面汇交力系合力F，作用于简化中心O；平 面 力 偶 系合力偶，其力
5、偶矩MO，作用于刚体平面。F1,F2,FnF1,F2,Fn+M1,M2,Mn合成合成合成合成 所得平面汇交力系（F1,F2,Fn）可以合成为一个作用于O点的合矢量F：F=Fi=Fi合矢量F称为原平面一般力系对简化中心O的主矢（如图c）。所得的平面附加力偶系（M1,M2,Mn）可以合成为一个的力偶,其力偶矩MO 等于各力对简化中心O之矩的代数和：MO=MO(Fi)=Fidi力偶矩MO称为原平面一般力系对简化中心O的主矩。图a图b图c 思考：思考：平面一般力系的主矢是否就是该力系简化后的合力？主矢和合力有何区别？是原力系F1，F2，Fn中各力的矢量和。主矢是自由矢量，只有大小、方向，而不涉及作用点
6、，是一个自由矢量，与简化中心无关。为作用点在简化中心O的力矢量。合力的大小、方向与主矢一致，与原力系等效，有大小、方向、作用点，是滑移矢量。平面一般力系简化的结论 1、平面一般力系向作用平面内任一点O简化后，可得到一个力和一个力偶。2、这个力的大小和方向与原力系的主矢相同，作用于简化中心O点；3、这个力偶的力偶矩等于原力系对简化中心O点的主矩，大小为原力系中各力对简化中心O点之矩的代数和；4、主矢与简化中心的选择无关。但一般情况下，平面力系的主矩与简化中心的选择有关。力的平移定理的性质：问题问题1：为什么平面一般力系的主矢与简化中心的选择无关，而主矩与简化中心的选择有关？答：这就要看，把作用在
7、刚体上某点的力F 平行移到其它点，所得的力和附加力偶是否相同？当力F 平移时，力的大小、方向都不改变；一般情况下，附加力偶的力偶矩的大小、正负都要随新指定点的位置的不同而不同。下面我们就来证明请Shift+F5F1 AFCBF1 F3 F2 AF1 F3 F2 AF3 F2 FAF1 F3 F2 FO1F1 F3 F2 FO2F1 F3 F2 FO3F3 F2 F有一力系作用于刚体平面内将各力向A点简化并求出合力这是求合力的方法之一F1 无论将力系向刚体内的哪一点简化，合力的大小、方向都不会变化。所以说主矢与简化中心的选择无关。那么，主矩又会怎样呢？将力系向刚体内的另一点简化AF1 F3 F2
8、 FO1F1 F3 F2 FO2F1 F3 F2 FO3F3 F2 FF1 显然，M1=-Fd1 （顺时针）M2=-Fd2 （顺时针）M3=+Fd3 （逆时针）选择不同的简化中心，各力对A点的力臂都不同，转向也不同，就是说 M1M2M3。因此，在一般情况下，平面力系的主矩和简化中心的选择有关。d1d2d3AFO1FO2FO3Fd1d2d3“在一般情况下”那么，特殊情况呢？当O1、O2、O3 选在原合力F 的作用线上时，M1=M2=M3=0 力的平移定理的性质：问题问题2：如刚体上某点B处作用一力和一力偶，是否可利用“力的平移定理力的平移定理”还原一个等效的力？答：力的平移定理是可逆的。根据力向
9、一点平移的逆过程，总可以将同平面内的一个力F 和力偶矩为 MO 的力偶还原为一个力F，此力F 与原力F 大小相等、方向相同、作用线间的距离为d=MO/F，至于F 在F 的哪一侧，则视F 的方向和MO的转向而定。小小 实实 验验 平面一般力系的简化结果分析：平面一般力系向一点简化，一般可得到一个主矢F 和一个主矩MO，但这不是最终简化结果，最终简化结果通常有以下四种情况：1、F0，MO 0表明原力系与一个力偶等效，原力系简化为一个合力偶，其力偶矩为MOMO(F)，此时主矩MO与简化中心的选择无关。2、F0，MO 0表明原力系与一个主矢量F 等效，即F为原力系的合力，其作用线通过简化中心。3、F
10、0，MO 0当平面一般力系的主矢及对简化中心的主矩都不等于零时，根据力的平移定理的逆过程，可以将F 和MO合成为一个合力。将作用线通过O点的力F及矩为MO的力偶合成为一个作用线通过A点的一个力，此力即为原力系的合力。如图所示，且有 F=F=Fi合力的大小、方向与原力系的主矢相同，合力F 是在主矢F的哪一侧，则要根据主矩的正负号来确定。合力F的作用线到简化中心O的距离为：OMdF4、F 0，MO 0表明原力系为平衡力系，则刚体在此力系作用下处于平衡状态。平面一般力系由O点向任意点O简化：F1，F2 Fn简化得F，MO MO=MO F d （如图所示）故，只要平面一般力系向某一点简化的结果为：F0
11、，MO 0则，该力系向任一点的简化结果都为：F0，MO 0在O加上一对大小均为F的平衡力，但同时又得到了一对力偶，其力偶矩为F d。合成后得：MO=MO F d1、一平面一般力系向点O简化时，主矢F0，主矩MO=0。若将该力系向另一点K简化，其主矢和主矩是：A、可能为 F0，MK0；B、可能为 F=0，MKMO；C、可能为 F=0，MK=MO；D、不可能为 F0，MKMO。解答：平面一般力系中，主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。就是说，改变简化中心的位置不会改变主矢，只会改变主矩。已知主矢F0，即使向点K简化，仍然F0，所以B、C答案被排除。D答案是说：不可能为F0（就是说F=0），不满
12、足上述条件。力系由点O向点K简化的结果有两种可能：1）F0，MK0；（即A答案）2）F 0，MK=0。（点K在主矢的作用线上，且主矢作用 线通过简化中心。）简化结果应用举例简化结果应用举例2、一平面一般力系向点O简化时，主矢F0，主矩MO0。若将该力系向另一点K简化，其主矢和主矩是：A、可能为 F=0，MK0；B、可能为 F0，MK=0；C、不可能为 F0，MKMO；D、可能为 F0，MKMO。解答：要看点K是否在主矢作用线上。点K若在主矢作用线上，则结果为MK=MO，点K若不在主矢作用线上，则结果为MKMO（包括MK=0）。简化结果应用举例简化结果应用举例3、一平面一般力系向点O简化时，主矢
13、F=0，主矩MO0。若将该力系向另一点K简化，其主矢和主矩是：A、F0，MK0；B、F0，MK=MO；C、F=0，MK=MO；D、F=0，MKMO。为什么不选D？解答：平面一般力系被简化为一力偶，此时主矩与简化中心所取位置无关。主矢总是零（即F=0），而力偶可以放在平面内任意一点，即力偶对于平面内任一点的力偶矩都相同（即MK=MO）。简化结果应用举例简化结果应用举例 三、平面一般力系的平衡条件 当主矢和主矩都等于零时，则说明这一任意力系是平衡力系；反之，若平面一般力系是平衡力系，则它向任意点简化的主矢和主矩必同时为零。所以，即：F=0 MO=0 上式就是平面一般力系的平衡方程。它表明，平面一般
14、力系平衡时，力系中各力在任选的直角坐标系的两个坐标轴上投影的代数和分别为零，各力对任意点之矩也为零。该式最多可解出三个未知量。此外，还有二矩式和三矩式平衡方程。22 00 ()()0 0000 ()0OxyxyixiyOiFMFFFFFFFMF 根据平面任意力系的平衡条件：，上式可写为：平衡方程的其他形式：平衡方程的其他形式：二力矩式的平衡方程二力矩式的平衡方程是由一个投影方程和两个力矩方程所组成，可写为：Fix=0 MA(F i)=0 MB(Fi)=0（注意：（注意：A、B两点的连线不能与两点的连线不能与 x 轴垂直）轴垂直）由MA(F)=0，MB(F)=0可知，力F 的作用线同时通过A、B
15、两点，所以该力系不可能被简化为一个力偶，只能简化为过A、B两点连线的合力或者处于平衡状态。（注：当方程组中为Fy=0时，A、B连线不能垂直于 y 轴）若力系向A点简化，假设合力F 的作用线不通过A、B连线（如左图）：MA(F)=0：当F 对A点取矩时，MA0，MA(F)=0 成立；MB(F)=0：当F 对B点取矩时，MBF d 0，MB(F)=0不成立。要使MB=0，只有使F 的作用线通过A、B连线或者F=0；Fx=0：即Fx=F cos=0，只有当cos0时，才能肯定 F=0。因此必须90，即A、B连线不能垂直于 x 轴(如右图)。三力矩式的平衡方程三力矩式的平衡方程是由三个力矩方程所组成，
16、可写为：MA(Fi)=0 MB(Fi)=0 MC(Fi)=0（注意：（注意：A、B、C三点不能在一条直线上）三点不能在一条直线上）三矩式平衡方程：MA(Fi)=0 MB(Fi)=0 MC(Fi)=0 A、B、C三点不能在同一直线上。由前两式可知，力系不可能简化为一力偶，只能简化为作用线过A、B两点的一个合力或处于平衡状态，再如果MC(Fi)=0，力系只能简化为过A、B、C三点的一个合力F 或处于平衡状态，若三点不在同一直线上，则唯一的可能就是力系平衡（合力F=0），如图。如果A、B、C三点不共线，显然MA(Fi)=0，MB(Fi)=0，但要使各力对C点之矩MC(Fi)=0，只能是合力F=0，即
17、刚体处于平衡状态。（由于C点与A、B不共线，要使MC(Fi)=0，只能是合力F=0，即Fx=0、Fy=0，三矩式方程又变回到前面的二矩式方程了）如果A、B、C三点共线，显然MA(Fi)=0，MB(Fi)=0，MC(Fi)=0，但是否F=0，无法判断!即不能肯定刚体是否平衡。应用平面一般力系平衡方程解题的技巧步骤如下技巧步骤如下：（1）确定研究对象。根据题意分析已知量和未知量，选取适当的研究对象。（2）画受力图。在研究对象上画出它所受到的所有主动力和约束反力。（3）列方程求解。以解题简捷为标准，选取适当形式的平衡方程、矩心和投影轴（一般矩心应尽量取在较多未知力的汇交点上，二投影轴应尽量与较多的未
18、知力垂直），列出平衡方程求解未知量。（4）校核。小 结例18 梁AB一端固定，一端自由。梁上作用有均布载荷，载荷集度为q(kN/m)，在梁的自由端还受集中力F和力偶矩为M的力偶的作用，梁的长度为l，试求固定端A处的约束反力。解：1、取AB为研究对象并画出受力图；2、列平衡方程求解。2 0,0 0,0 ()0,02 0 2xAxyAyAiAAxAyAFFFFq lFlMFMq lF lMFFq lFq lMF lM 解得：qlq 四、平面平行力系的平衡方程 平面平行力系各力作用线处于同一平面内且互相平行的力系，称为平面平行力系。它是平面一般力系的一种特殊情况，其平衡方程可由平面一般力系的平衡方程
19、导出。在如图所示的平面平行力系中设立坐标系，令 y 轴平行于各力，则平面平行力系中各力在x轴上的投影均为零，即Fx0，于是由（117）可得平面平行力系的平衡方程：Fiy=0 MO(Fi)=01（20）平面平行力系的平衡方程也可用力矩式表达（注意：其中AB连线不能与各力的作用线平行）：MA(Fi)=0 MB(Fi)=0 结论：平面平行力系平衡的必要和充分条件是：例：塔式起重机如图所示。已知机身重W1=220kN,作用线通过塔架的中心，最大起吊重量W2=50kN,起重臂长12m，轨道A、B的间距为4m，平衡块重W3到机身中心线的距离为6m。试求：（1）能保证起重机不会翻倒时平衡块的重量W3。（2）
20、当平衡块的重量W3=30kN而起重机满载时，轨道A、B的约束反力。【解】取起重机为研究对象，起重机在起吊重物时，作用在它上面的力有重力W1、W2、W3以及轨道的约束反力FNA、FNB，(FNA、FNB的方向为铅垂向上)。以上各力组成一平面平行力系。起重机起吊重物时的受力图。（1）求能保证起重机不会翻倒时平衡块的重量W3。当满载时（W2=50kN)，起重机平衡的临界状态（将翻未翻时）表现为FNA=0,这时由平衡方程求出的W3是所允许的最小值。由平衡方程的力矩式MB(F)=0，W12+W3min8-W210=0得W3min=(W210-W12)/8=(5010-2202)/8=7.5kN当空载时（
21、W2=0），起重机平衡的临界情况表现为NB=0，这时由平衡方程求出的W3是所允许的最大值。由平衡方程的力矩式MA(F)=0,W3max4-W12=0得W3max=W12/4=110kN 要保证起重机不会翻倒，平衡块重量W3的大小应在这两者之间，即7.5kNW3110kN(2)取W3=30kN，求满载时轨道A、B的约束反力FNA、FNB。当W3=30kN时，满足起重机正常工作所需W3值的范围。此时，起重机在图示的各力作用下处于平衡状态。由MB(F)=0,W12+W38-NA4-W210=0得 FNA=(W12+W38-W210)/4=45kN由 MA(F)=0,W34-W12+NB4-W214=
22、0得 FNB=(W12+W214-W34)/4=225kN 五、物系的平衡五、物系的平衡 前面我们讨论的都是单个物体的平衡问题，但在工程实际中机械和结构都是由若干个物体通过适当的约束（连接）方式组成的系统，力学上称为物体系统，简称物系。物系以外的物体作用于这个物系的力，称为这个物系的外力；物系内各物体间相互作用的力，称为这个物系的内力。求解物系的平衡问题，往往是不仅需要求物系的外力，而且还要求系统内部各物体之间的相互作用的内力，这就需要将物系中某些物体分离出来单独研究，才能求出全部未知力。当物系平衡时，组成物系的各部分也是平衡的。因此，求解物系的平衡问题，即可选整个物系为研究对象，也可选局部或
23、单个物体为研究对象。对整个物系来说，内力总是成对出现的，所以研究整个物系的平衡时，这些内力无需考虑。求解物体系平衡问题的步骤求解物体系平衡问题的步骤（1 1）分析题意，选取适当的研究对象）分析题意，选取适当的研究对象 物体系统整体平衡时，其每个局部也必然平衡。因此，研物体系统整体平衡时，其每个局部也必然平衡。因此，研究对象可取整体，也可以取其中一部分物体或单个物体。选取究对象可取整体，也可以取其中一部分物体或单个物体。选取的原则是尽量做到一个平衡方程只含一个未知量，尽可能避免的原则是尽量做到一个平衡方程只含一个未知量，尽可能避免解联立方程。解联立方程。（2 2）画出研究对象的受力图）画出研究对
24、象的受力图 在受力分析中注意区分内力与外力，受力图上只画外力不在受力分析中注意区分内力与外力，受力图上只画外力不画内力，两物体间的相互作用力要符合作用力与反作用力定律。画内力，两物体间的相互作用力要符合作用力与反作用力定律。（3 3）对所选取的研究对象，列出平衡方程并求解。）对所选取的研究对象，列出平衡方程并求解。PABAQCBPDEFAxFAyFCxFCyFBxFBy()0,sincoscos02BAxAyMlF lPF lF F已知：已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，sin=4/5；D,E为中点，为中点，ABl ，杆重不计，杆重不计，求：支座求：支座A、C的反力。的反力。解：解：(1)
25、(1)取整体为研究对象取整体为研究对象,0)(F FAM)1(0sin2cos2cos2 lQlPlFCy)2(0,0 PFFYCyAy)3(0,0 QFFXCxAx解上述方程，得解上述方程，得kNkN6.0,2.0 CyAyFF(2)(2)取取ABAB为研究对象为研究对象解得解得:kN3.0 AxF代入（代入（3 3）式得）式得kN2.1 CxFFAxFAy 本章讨论了平面汇交力系、平面一般力系、平本章讨论了平面汇交力系、平面一般力系、平面平行力系、物体系的平衡。面平行力系、物体系的平衡。1、平面一般力系的平衡方程为：、平面一般力系的平衡方程为：Fx=0 Fy=0 MO(F)=0 三个独立的
26、方程，可以解三个未知量。它还有二三个独立的方程，可以解三个未知量。它还有二矩式、三矩式，须注意应用条件。矩式、三矩式，须注意应用条件。应用几何法或平衡方程都可求解两个未知量。应用几何法或平衡方程都可求解两个未知量。2、平面汇交力系平衡的几何条件为力多边形自行、平面汇交力系平衡的几何条件为力多边形自行封闭。平衡方程为：封闭。平衡方程为：Fx Fy 3、平面平行力系平衡方程为、平面平行力系平衡方程为:Fy=0 MO(F)=0 两个独立方程，可解两个未知量。两个独立方程，可解两个未知量。4、物系平衡方程的求解、物系平衡方程的求解:拆分物系，求出所有未知量。拆分物系，求出所有未知量。注释：注释：滑移矢
27、量滑移矢量这种矢量有大小、有方向，但不与一固定的位置有关，而且只这种矢量有大小、有方向，但不与一固定的位置有关，而且只需指明这种矢量的基线即可。需指明这种矢量的基线即可。自由矢量自由矢量这种矢量只有大小、方向作为其特征。只要保持其大小、方向，这种矢量只有大小、方向作为其特征。只要保持其大小、方向，该矢量可以在空间任意移动，不仅可以沿其方向滑移，而且可以平行搬移，即该矢量可以在空间任意移动，不仅可以沿其方向滑移，而且可以平行搬移，即这种矢量既没有固定的位置，又没有不可搬动的基线。力偶矩矢就是自由矢量。这种矢量既没有固定的位置，又没有不可搬动的基线。力偶矩矢就是自由矢量。定位矢量定位矢量也叫固定矢
28、量。这种矢量不仅有大小、有方向，而且与空间中也叫固定矢量。这种矢量不仅有大小、有方向，而且与空间中某一确定的位置有关。比如，我们不能笼统地说速度矢量的大小、方向，而必某一确定的位置有关。比如，我们不能笼统地说速度矢量的大小、方向，而必须明确说明在空间哪一点的速度的大小和方向。力矩矢就是定位矢量。须明确说明在空间哪一点的速度的大小和方向。力矩矢就是定位矢量。木木 有有 了了！不要再来找我，我到月球出差去了！不要再来找我，我到月球出差去了！A、B连线不能与x轴垂直BFAxA、B连线不能与x轴垂直BF AxBF AC如果A、B、C三点共线，显然MA(Fi)=0，MB(Fi)=0，MC(Fi)=0，但是否F=0，无法判断!即不能肯定刚体是否平衡。BF ACd
