1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 考点规范练 31 数列求和 基础巩固 1.数列 1,3,5,7,(2 n-1)+, 的前 n项和 Sn的值等于 ( ) A.n2+1- B.2n2-n+1- C.n2+1- D.n2-n+1- 2.已知数列 an满足 a1=1,且对任意的 n N*都有 an+1=a1+an+n,则的前 100项和为 ( ) A. B. C. D. 3.已知函数 f(n)=n2cos(n), 且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+ +a100=( ) A.0 B.-100 C.100 D.10 200 4.已知函数 f(x)=xa的图象过点 (4,2),令 a
2、n=,n N*.记数列 an的前 n项和为 Sn,则 S2 018等于 ( ) A.-1 B.+1 C.-1 D.+1 5.已知数列 an满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则 an的前 60 项和为 ( ) A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 6.32 -1+42 -2+52 -3+ +(n+2)2 -n= . 7.已知数列 an满足 :a3=,an-an+1=2anan+1,则数列 anan+1前 10项的和为 . 8.已知 an是等差数列 ,bn是等比数列 ,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求 an的通项公式 ; (2)设 cn
3、=an+bn,求数列 cn的前 n项和 . 9.设等差数列 an的公差为 d,前 n 项和为 Sn,等比数列 bn的公比为 q,已知 b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求数列 an,bn的通项公式 ; (2)当 d1时 ,记 cn=,求数列 cn的前 n项和 Tn. 10.已知 Sn为数列 an的前 n项和 ,an0,+2an=4Sn+3. (1)求 an的通项公式 ; (2)设 bn=,求数列 bn的前 n项和 . 11.已知各项均为正数的数列 an的前 n项和为 Sn,满足 =2Sn+n+4,a2-1,a3,a7恰为等比数列 bn的前
4、3项 . (1)求数列 an,bn的通项公式 ; (2)若 cn=(-1)nlog2bn-,求数列 cn的前 n项和 Tn. =【 ;精品教育资源文库 】 = 能力提升 12.(2017山东烟台模拟 )已知在数列 an中 ,a1=1,且 an+1=,若 bn=anan+1,则数列 bn的前 n项和 Sn为( ) A. B. C. D. 13.(2017福建龙岩一模 )已知 Sn为数列 an的前 n项和 ,对 n N*都有 Sn=1-an,若 bn=log2an,则+ += . 14.已知首项为的等比数列 an不是递减数列 ,其前 n项和为 Sn(n N*),且 S3+a3,S5+a5,S4+a
5、4成等差数列 . (1)求数列 an的通项公式 ; (2)设 bn=(-1)n+1 n(n N*),求数列 an bn的前 n项和 Tn. =【 ;精品教育资源文库 】 = 15.已知数列 an的前 n项和为 Sn,且 a1=0,对任意 n N*,都有 nan+1=Sn+n(n+1). (1)求数列 an的通项公式 ; (2)若数列 bn满足 an+log2n=log2bn,求数列 bn的前 n 项和 Tn. 高考预测 16.已知数列 an的前 n项和为 Sn,且 a1=2,Sn=2an+k,等差数列 bn的前 n项和为 Tn,且 Tn=n2. (1)求 k和 Sn; =【 ;精品教育资源文库
6、 】 = (2)若 cn=an bn,求数列 cn的前 n 项和 Mn. 答案： 1.A 解析 :该数列的通项公式为 an=(2n-1)+,则 Sn=1+3+5+ +(2n-1)+=n2+1-. 2.D 解析 : an+1=a1+an+n, an+1-an=1+n. an-an-1=n(n2) . an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ +(a2-a1)+a1=n+(n-1)+ +2+1=. =2. 的前 100项和为 2=2.故选 D. 3.B 解析 : f(n)=n2cos(n )=(-1)nn 2, an=f(n)+f(n+1)=(-1)nn 2+(-1)n+1 (n+1)2
7、=(-1)nn2-(n+1)2=(-1)n+1 (2n+1). a1+a2+a3+ +a100=3+(-5)+7+(-9)+ +199+(-201)=50 (-2)=-100.故选 B. 4.C 解析 :由 f(4)=2,可得 4a=2,解得 a=,则 f(x)=. an=, S2 018=a1+a2+a3+ +a2 018=()+()+()+ +()=-1. 5.D 解析 : an+1+(-1)nan=2n-1, 当 n=2k(k N*)时 ,a2k+1+a2k=4k-1, 当 n=2k+1(k N*)时 ,a2k+2-a2k+1=4k+1, + 得 :a2k+a2k+2=8k. 则 a2+
8、a4+a6+a8+ +a60=(a2+a4)+(a6+a8)+ +(a58+a60) =8(1+3+ +29)=8= 1 800. 由 得 a2k+1=a2k+2-(4k+1), a1+a3+a5+ +a59=a2+a4+ +a60-4 (0+1+2+ +29)+30=1 800-=30, a1+a2+ +a60=1 800+30=1 830. 6.4- 解析 :设 Sn=3 2-1+4 2-2+5 2-3+ +(n+2) 2-n, 则 Sn=3 2-2+4 2-3+ +(n+1)2-n+(n+2)2-n-1. - ,得 Sn=3 2-1+2-2+2-3+ +2-n-(n+2) 2-n-1=2
9、 2-1+2-1+2-2+2-3+ +2-n-(n+2) 2-n-1=1+-(n+2) 2-n-1=2-(n+4) 2-n-1. 故 Sn=4-. 7. 解析 : an-an+1=2anan+1, =2,即 =2. 数列是以 2为公差的等差数列 . =5, =5+2(n-3)=2n-1. an=. anan+1=. 数列 anan+1前 10项的和为 =. 8.解 :(1)因为等比数列 bn的公比 q=3, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 b1=1,b4=b3q=27. 设等差数列 an的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27, 所以 1+13d=27,即 d=2.所以
10、 an=2n-1. (2)由 (1)知 ,an=2n-1,bn=3n-1. 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1. 从而数列 cn的前 n项和 Sn=1+3+ +(2n-1)+1+3+ +3n-1 =n2+. 9.解 :(1)由题意 ,有 解得 故 (2)由 d1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn=, 于是 Tn=1+ +, Tn=+ +. - 可得 Tn=2+ +=3-,故 Tn=6-. 10.解 :(1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3. 两式相减可得 +2(an+1-an)=4an+1, 即 2(an+1+an)=(an+1+an) (an+
11、1-an). 由于 an0,可得 an+1-an=2. 又 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去 ),a1=3. 所以 an是首项为 3,公差为 2 的等差数列 ,故 an的通项公式为 an=2n+1. (2)由 an=2n+1可知 bn=. 设数列 bn的前 n项和为 Tn, 则 Tn=b1+b2+ +bn = =. 11.解 :(1)因为 =2Sn+n+4, 所以 =2Sn-1+n-1+4(n2) . 两式相减 ,得 =2an+1, 所以 +2an+1=(an+1)2. 因为 an是各项均为正数的数列 , 所以 an+1=an+1,即 an+1-an=1. 又 =(a2-1)a7,
12、所以 (a2+1)2=(a2-1)(a2+5),解得 a2=3,a1=2, 所以 an是以 2为首项 ,1为公差的等差数列 ,所以 an=n+1. 由题意 知 b1=2,b2=4,b3=8,故 bn=2n. (2)由 (1)得 cn=(-1)nlog22n-=(-1)nn-, =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 Tn=c1+c2+ +cn=-1+2-3+ +(-1)nn-. 设 Fn=-1+2-3+ +(-1)nn, 则当 n为偶数时 ,Fn=(-1+2)+(-3+4)+ +-(n-1)+n=; 当 n为奇数时 ,Fn=Fn-1+(-n)=-n=. 设 Gn=+ +, 则 Gn=+ +. 所
13、以 Tn= 12.B 解析 :由 an+1=,得 +2, 数列是以 1为首项 ,2为公差的等差数列 , =2n-1,又 bn=anan+1, bn=, Sn=,故选 B. 13. 解析 :对 n N*都有 Sn=1-an,当 n=1时 ,a1=1-a1,解得 a1=. 当 n2 时 ,an=Sn-Sn-1=1-an-(1-an-1),化为 an=an-1. 数列 an是等比数列 ,公比为 ,首项为 . an=. bn=log2an=-n. . 则 + + +=1-. 14.解 :(1)设等比数列 an的公比为 q. 由 S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列 , 可得 2(S5+a5)=
14、S3+a3+S4+a4, 即 2(S3+a4+2a5)=2S3+a3+2a4, 即 4a5=a3,则 q2=,解得 q=. 由等比数列 an不是递减数列 ,可得 q=-, 故 an=(-1)n-1. (2)由 bn=(-1)n+1n ,可得 anb n=(-1)n-1 (-1)n+1n= 3n. 故前 n项和 Tn=3, 则 Tn=3, 两式相减可得 ,Tn=3 =3, 化简可得 Tn=6. 15.解 :(1)(方法一 ) nan+1=Sn+n(n+1), 当 n2 时 ,(n-1)an=Sn-1+n(n-1), 两式相减 ,得 nan+1-(n-1)an=Sn-Sn-1+n(n+1)-n(n
15、-1),即 nan+1-(n-1)an=an+2n,得 an+1-an=2. 当 n=1时 ,1a 2=S1+1 2,即 a2-a1=2. 数列 an是以 0为首项 ,2 为公差的等差数列 . an=2(n-1)=2n-2. (方法二 )由 nan+1=Sn+n(n+1), =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 n(Sn+1-Sn)=Sn+n(n+1), 整理 ,得 nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1), 两边同除以 n(n+1)得 ,=1. 数列是以 =0为首项 ,1为公差的等差数列 . =0+n-1=n-1. Sn=n(n-1). 当 n2 时 ,an=Sn-Sn-1=n(n-1)-(
16、n-1)(n-2)=2n-2. 又 a1=0适合上式 , 数列 an的通项公式为 an=2n-2. (2) an+log2n=log2bn, bn=n=n 22n-2=n 4n-1. Tn=b1+b2+b3+ +bn-1+bn=40+2 41+3 42+ +(n-1) 4n-2+n 4n-1, 4Tn=41+2 42+3 43+ +(n-1) 4n-1+n 4n, - ,得 -3Tn=40+41+42+ +4n-1-n 4n=-n 4n=. Tn=(3n-1)4n+1. 16.解 :(1) Sn=2an+k, 当 n=1时 ,S1=2a1+k. a1=-k=2,即 k=-2. Sn=2an-2
17、. 当 n2 时 ,Sn-1=2an-1-2. an=Sn-Sn-1=2an-2an-1. an=2an-1. 数列 an是以 2为首项 ,2 为公比的等比数列 .即 an=2n. Sn=2n+1-2. (2) 等差数列 bn的前 n项和为 Tn,且 Tn=n2, 当 n2 时 ,bn=Tn-Tn-1=2n-1. 又 b1=T1=1符合 bn=2n-1, bn=2n-1. cn=anb n=(2n-1)2n. 数列 cn的前 n项和 Mn=1 2+3 22+5 23+ +(2n-3) 2n-1+(2n-1) 2n, 2Mn=1 22+3 23+5 24+ +(2n-3) 2n+(2n-1) 2n+1, 由 - ,得 -Mn=2+2 22+2 23+2 24+ +2 2n-(2n-1) 2n+1=2+2 -(2n-1) 2n+1, 即 Mn=6+(2n-3)2n+1.
