1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪训练 (三十七 ) 基本不等式及其应用 基础巩固 一、选择题 1若 a， b R，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是 ( ) A a2 b22ab B a b2 ab C.1a 1b 2ab D.ba ab2 解析 a2 b2 2ab (a b)20 ， A 错误对于 B， C，当 a0， ba ab2 ba ab 2. 答案 D 2 (2017 福建福州外国语学校期中 )在下列各函数中，最小值为 2 的函数是 ( ) A y x 1x(x0) B y cosx 1cosx? ?00，所以 y ex 4ex 22 ex 4ex 2 2，当且仅当 e
2、x 2，即 x ln2 时等号成立故选 D. 答案 D 3 (2017 陕西咸阳质检 )已知 x y 3，则 2x 2y的最小值是 ( ) A 8 B 6 C 3 2 D 4 2 解析 因为 2x0,2y0， x y 3，所以由基本不等式得 2x 2y2 2x2 y 2 2x y4 2，当且仅当 2x 2y，即 x y 32时等号成立，故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 4 (2017 湖南衡阳 四校联考 )设 x， y 为正实数，且 x 2y 1，则 1x 1y的最小值为 ( ) A 2 2 2 B 3 2 2 C 2 D 3 解析 因为 x， y 为正实数，且 x 2y
3、 1，所以 1x 1y (x 2y) ? ?1x 1y 3 2yx xy3 2 2yx xy 3 2 2，当且仅当 x 2y 2 1 时取等号所以 1x 1y的最小值为 3 2 2.故选 B. 答案 B 5 (2017 江西九江一中期中 )已知 a0， b0，如果不等式 2a 1b m2a b恒成立，那么 m的最大值等于 ( ) A 10 B 7 C 8 D 9 解析 不等式 2a 1b m2a b恒成立，即不等式 m(2 a b) ? ?2a 1b 恒成立，而 (2ab)? ?2a 1b 5 2ab 2ba 5 2 2ab 2ba 9，当且仅当 a b 时 “ ” 成立，所以 m9 ， m的
4、最大值等于 9，故选 D. 答案 D 6 (2015 陕西卷 )设 f(x) lnx,0p D p rq 解析 0 ab，又 f(x) lnx 在 (0， ) 上单调递增，故f( ab)p， r 12(f(a) f(b) 12(lna lnb) ln ab f( ab) p， p r0， b0)过点 (1,2)，则 2a b 的最小值为 _ 解析 直线 xa yb 1(a0， b0)过点 (1,2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 1a 2b 1， 2a b (2a b)? ?1a 2b 2 ba 2 4ab 4 2 ba 4ab 8(当且仅当 b2a，即 a 2， b 4 时取等号 )
5、答案 8 8设 ba0，且 a b 1，则 12， 2ab， a2 b2， b 四个数中最大的是 _ 解析 根据基本不等式知 a2 b22ab(ba0)，因为 ba0，且 a b 1，所以 b12a.因为 b a2 b2 b(a b) a2 b2 a(b a)0，所以 12， 2ab， a2 b2， b 四个数中最大的是b. 答案 b 9 (2017 江苏卷 )某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 /次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_ 解析 本题考查基本不等式及 其应用 设总费用为 y 万元，则 y 600
6、x 6 4x 4? ?x 900x 240. 当且仅当 x 900x ，即 x 30 时，等号成立 答案 30 三、解答题 10 (1)已知 a0， b0， c0，且 a b c 1， 求证： 1a 1b 1c9. (2)设 a、 b 均为正实数，求证： 1a2 1b2 ab2 2. 证明 (1) a0， b0， c0，且 a b c 1， 1a 1b 1c a b ca a b cb a b cc 3 ba ca ab cb ac bc 3 ? ?ba ab ? ?ca ac ? ?cb bc 3 2 2 2 9， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 a b c 13时，取等号 (2
7、) 1a2 1b22 1a2 1b2 2ab， 当且仅当 a b 时取等号 又 2ab ab2 2，当且仅当 ab 2时取等号， 1a2 1b2 ab2 2，当且仅当 ? a b，ab 2， 即 a b 4 2时取等号 能力提升 11 (2017 河北保定一模 )司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角 度分析 ( ) A甲合适 B乙合适 C油价先高后低甲合适 D油价先低后高甲合适 解析 设甲每次加 m 升油，乙每次加 n 元钱的油，第一次加油 x 元 /升，第二次加油y 元 /升甲的平均单价为
8、mx my2m x y2 ，乙的平均单价为 2nnxny 2xyx y，因为 x y，所以x y22xyx y x2 y2 2xy4xy 4xy4xy 1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适，故选 B. 答案 B 12 (2018 贵州铜仁一中月考 )若两个正实数 x， y 满足 1x 2y 1，且不等式 x y24.解得 m4.故选 C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 13已知正实数 x， y 满足 xy 2x y 4， 则 x y 的最小值为 _ 解析 因为 xy 2x y 4，所以 x 4 yy 2.由 x 4 yy 20，得 20, 则00)，由各项均为正数的等比数列
9、an满足 a7 a6 2a5，可得 a1q6 a1q5 2a1q4，所以 q2 q 2 0，所以 q 2. 因为 aman 4a1，所以 qm n 2 16，所以 2m n 2 24，所以 m n 6， 所以 1m 4n 16(m n)? ?1m 4n 16? ?5 nm 4mn 16(5 4) 32，当且仅当 nm 4mn 时，等号成立 所以 1m 4n的最小值为 32，故选 A. 解法二 (拼凑法 )：由解法一可得 m n 6，所以 n 6 m， 又 m， n1 ，所以 1 m5. 故 1m 4n 1m 46 m 6 m 4mm m mm m 3m mm 2 3m m 8m 2 3m 16m 2 10. 由基本不等式可得 (m 2) 16m 2 102 m 16m 2 10 2(当且仅当 m 2 16m 2，即 m 2 时等号成立 )，易知 (m 2) 16m 2 100， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 1m 4n 3 2 32.故选 A. 答案 A
