1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 层级快练 (四十三 ) 1已知 a， b (0， 1)且 ab ， 下列各式中最大的是 ( ) A a2 b2 B 2 ab C 2ab D a b 答案 D 解析 只需比较 a2 b2与 a b.由于 a， b (0， 1)， a20， 且 b0， 若 2a b 4， 则 1ab的最小值为 ( ) A.14 B 4 C.12 D 2 答案 C 解析 4 2a b2 2ab， ab 2， 1ab 12， 当且仅当 a 1， b 2 时取等号 7 若 x0， b0， ab ab b 2a2 2 ab， ab 2 2. 方法二：由题设易知 a0， b0， ab 1
2、a 2b 2 2ab， 即 ab2 2， 当且仅当 b 2a=【 ;精品教育资源文库 】 = 时取 “ ” 号 ， 选 C. 9 (2017 金山模拟 )函数 y x2 2x 1(x1)的最小值是 ( ) A 2 3 2 B 2 3 2 C 2 3 D 2 答案 A 解析 x1 ， x 10. y x2 2x 1x2 2x 2x 2x 1 x2 2x 1 2（ x 1） 3x 1 （ x 1） 2 2（ x 1） 3x 1 x 1 3x 1 2 2 （ x 1）（ 3x 1） 2 2 3 2. 当且仅当 x 1 3x 1， 即 x 1 3时 ， 取等 号 10 已知不等式 (x y)(1x a
3、y)9 对任意正实数 x， y 恒成立 ， 则正实数 a 的最小值为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 解析 (x y)(1x ay) 1 a xy yx a1 a 2 a ( a 1)2， 当且仅当 a xy yx， 即 ax2 y2时 “ ” 成立 (x y)(1x ay)的最小值为 ( a 1)2 9. a 4. 11 设实数 x， y， m， n 满足 x2 y2 1， m2 n2 3， 那么 mx ny 的最大值是 ( ) A. 3 B 2 C. 5 D. 102 答案 A 解析 方法一：设 x sin， y cos， m 3sin， n 3cos， 其中 ， R.
4、mx ny 3sin sin 3cos cos 3cos( ) 故选 A. 方法二：由已知 (x2 y2)(m 2 n2) 3， 即 m2x2 n2y2 n2x2 m2y2 3， m2x2 n2y22(nx)(my)3 ， 即 (mx ny)2 3， mx ny 3. 12 已知 x， y， z (0， ) ， 且满足 x 2y 3z 0， 则 y2xz的最小值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 3 B 6 C 9 D 12 答案 A 13 (2017 四川成都外国语学校 )若正数 a， b 满足： 1a 1b 1， 则 1a 1 9b 1的最小值为( ) A 16 B 9 C
5、6 D 1 答案 C 解析 方法一：因为 1a 1b 1， 所以 a b ab， 即 (a 1)(b 1) 1， 所以 1a 1 9b 12 1a 1 9b 1 23 6. 方法二：因为 1a 1b 1， 所以 a b ab， 1a 1 9b 1 b 1 9a 9ab a b 1 b 9a 10 (b 9a)(1a 1b) 1016 10 6. 方法三：因为 1a 1b 1， 所以 a 1 1b 1， 所以 1a 1 9b 1 (b 1) 9b 1 2 9 23 6. 14 (1)当 x1 时 ， x 4x 1的最小值为 _； (2)当 x4 时 ， x 4x 1的最小值为 _ 答案 (1)5
6、 (2)163 解析 (1)x1 ， x 10. x 4x 1 x 1 4x 1 12 4 1 5. (当且仅当 x 1 4x 1.即 x 3 时 “ ” 号成立 ) x 4x 1的最小值为 5. (2)x4 ， x 13. 函数 y x 4x在 3， )上为增函数 ， 当 x 1 3 时 ， y (x 1) 4x 1 1 有最小值 163. =【 ;精品教育资源文库 】 = 15 若 a0， b0， a b 1， 则 ab 1ab的最小值为 _ 答案 174 解析 ab( a b2 )2 14， 当且仅当 a b 12时取等 号 y x 1x在 x(0 ， 14上为减函数 ab 1ab的最小
7、值为 14 4 174. 16 已知 ab0， 求 a2 16b（ a b） 的最小值 答案 16 思路 由 b(a b)求出最大值 ， 从而去掉 b， 再由 a2 64a2， 求出最小 值 解析 ab0 ， a b0. b(a b) b（ a b）2 2 a24. a2 16b（ a b） a2 64a2 2 a2 64a2 16. 当 a2 64a2且 b a b， 即 a 2 2， b 2时等号成立 a2 16b（ a b） 的最小值为 16. 17 (2017 江西重点中学盟校联考 )设 x， y 均为正实数 ， 且 12 x 12 y 13， 求 xy 的最小值 答案 16 解析 由
8、 12 x 12 y 13， 化为 3(2 y) 3(2 x) (2 y)(2 x)， 整理为 xy x y8.x ， y 均为正实数 ， xy x y 82 xy 8， ( xy)2 2 xy 80 ， 解得 xy 4，即 xy16 ， 当且仅当 x y 4 时取等号 ， xy 的最小值为 16. 18 (2018 辽宁抚顺 一中月考 )某健身器材厂研制了一种足浴气血生机 ， 具体原理是：在足浴盆右侧离中心 x(00)的最小值为 2 4 3 D 函数 y 2 3x 4x(x0)的最大值为 2 4 3 答案 D 解析 y x 1x的定义域为 x|x0 ， 当 x0 时 ， 有 最小值 2， 当
9、 x0 时 ， 3x 4x 2 3x 4x 4 3， 当且仅当 3x 4x， 即 x 23 3时取 “ ” ， y 2 (3x 4x)有最大值 2 4 3， 故 C 项不正确 ， D 项正确 2 (2014 重庆 )若 log4(3a 4b) log2 ab， 则 a b 的最小值是 ( ) A 6 2 3 B 7 2 3 C 6 4 3 D 7 4 3 答案 D 解析 因为 log4(3a 4b) log2 ab， 所以 log4(3a 4b) log4(ab)， 即 3a 4b ab， 且?3a 4b0，ab0， 即 a0， b0， 所以4a3b 1(a0， b0)， a b (a b)(
10、4a3b) 74ba 3ab 7 2 4ba 3ab 7 4 3， 当且仅当 4ba 3ab 时取等号 ， 选择 D 项 3 (2016 人大附中月考 )设 a， b， c 均大于 0， 则 “abc 1” 是 “ 1a 1b 1c a b c”的 ( ) A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C 充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 1a 1b 1c bc ca ababc ， 当 abc 1 时 ， bc ca ababc 12(b c) (c a) (a b) a b c. 故 abc 1? 1a 1b 1c a b c. 反过来 ， 若 a b 1， c 4， 有 1a
11、 1b 1c a b c， 但 abc1 ， “ abc 1” 是 “ 1a 1b 1c a b c” 的充分不必要条件 4 (2017 山东师大附中月考 )已知 a， b， c R ， 且 ab bc ca 1， 那么下列不等式中正确的是 ( ) A a2 b2 c2 2 B (a b c)2 3 C.1a 1b 1c 2 3 D abc(a b c) 13 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 a 2 b2 2ab， b2 c2 2bc， c2 a2 2ac，三式相加可知 2(a2 b2 c2)2(bc ab ac)， a2 b2 c2 1. a2 b2 c2 2ab 2bc
12、2ca1 2.(a b c)2 3. 5 已知 a0， b0， a， b 的等比中项是 1， 且 m b 1a， n a 1b， 则 m n 的最小值是 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 解析 由题意知 ab 1， 则 m b 1a 2b， n a 1b 2a， m n 2(a b)4 ab 4(当且仅当 a b 1 时 ， 等号成立 ) 6 已知 x， y 为正实数 ， 3x 2y 10， 则 W 3x 2y的最大值为 _ 答案 2 5 解析 方法一：由 a b2 a2 b22 可得 3x 2y 2 （ 3x）2（ 2y） 2 23x 2y 2 5， 当且仅当 3x 2y，
13、即 x 53， y 52时等号成立 方法二：易知 W0， W2 3x 2y 2 3x 2y 10 2 3x 2y 10 ( 3x)2 ( 2y)2 10 (3x 2y) 20， W 2 5， 当且仅当 3x 2y， 即 x 53， y 52时等号成立 7 已知三个正数 a， b， c 成等比数列 ， 则 a cb ba c的最小值为 _ 答案 52 解析 由条件可知 a， b， c0 且 b2 ac， 即 b ac， 故 a cb 2 acb 2， 当且仅当 a bc 时取等号 ， 令 a cb t， 则 y t 1t在 2， ) 上单调递增 ， 故其最小值为 2 12 52， 即 a cb
14、ba c的最小值为 52. 8 (2018 河南郑州外国语学校月考 )某城镇人口第二年比第一年增长 m%， 第三年比第二年增长 n%， 若这两年的平均增长率为 p%， 则 p 与 m n2 的大小关系为 ( ) A pm n2 B p m n2 =【 ;精品教育资源文库 】 = C p m n2 D p m n2 答案 C 解析 依题意得 (1 m%)(1 n%) (1 p%)2， 所以 1 p% （ 1 m%）（ 1 n%） 1 m% 1 n%2 1m% n%2 ， 当且仅当 m n 时等号成立 ， 所以 pm n2 ， 故选 C. 9 已知不等式 x2 5ax b0 的解集为 x|x4 或
15、 x0 的解集为 x|x4 或 x0， 4x1 x0， 所以 f(x)5 2 1 xx 4x1 x 9， 当且仅当 1 xx 4x1 x，即 x 13时等号成立 所以 f(x)的最小值为 9. 10.如图所示 ， 为处理含有某种杂质的污水 ， 要制造一个底宽 2 m 的无盖长方体的沉淀箱 ， 污水从 A 孔流入 ， 经沉淀后从 B 孔流出 ， 设箱体的长度为 a m， 高度为 b m， 已知流出的水中该杂质的质量分数与 a， b 的乘积 ab 成反比现有制箱材料 60 m2， 问 a， b 各为多少 m 时 ， 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 (A， B 孔面积忽略不计 ) 答案 a 6 m， b 3 m 解析 设 y 为流出的水中杂质的质量分数 ， 根据题意可知： y kab， 其中 k 是比例系数 且 k0. 依题意要使 y 最小 ， 只需求 ab 的最大值 由题设 ， 得 4b 2ab 2a 60(a0， b0)， 即 a 2b ab
