1、6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第六章计数原理，本节课主要学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理。两个计数原理，其核心是准确理解两个原理，弄清它们的区别。理解它关键就是要根据实例概括两个计数原理。学生对计数问题已经有一些经验和技巧，本节课的内容分类计数原理和分步计数原理就是在此基础上的发展。由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础,所以在本学科计数问题中有重要的地位，是本学科的核心内容。教学的重点是两个原理的理解与应用，解决重点的关键是从单一到综合，恰当安排实例。课程目标学科素养A. 进一步理解和掌握分类加法计数
2、原理和分步乘法计数原理；B能应用两个计数原理解决实际问题.1.数学抽象：两个计数原理 2.逻辑推理：运用分类思想解决复杂问题 3.数学运算：运用计数原理解决计数问题4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题重点： 分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用 难点： 准确应用两个计数原理解决问题多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 温故知新两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.2.区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中
3、的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复二、典例解析例4. 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成.解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可
4、以分两个步骤完成:第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法，第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法，根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N=32=6.例5给程序模块命名，需要用个字符，其中首字符要求用字母或，后两个要求用数字.问最多可以给多少个程序命名？分析：要完成一件事是“给一个程序模块命名” ，可以分三个步骤完成：第1步，首选字符，第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符，还有首字符又可以分为两类。解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为，后两个字符从中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.由分步乘法计数原理，不同名称的个数是，即最多可以给105
5、3个程序命名.例6. 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态.因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制.为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成.问：（1）一个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码(GB码)包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？分析： （1）要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字” .由于每个字节有8个二进
6、制位，每一位上的值都是0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理来求解；（2）只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可.解：（1）一个字节共有8位，每位上有2种选择，根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示22222222=28=256个不同的字符；（2）由（1）知，用一个字节能表示256个字符，2566763，所以每个汉字至少要用2个字节表示.例7.计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行调试，程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据.一般地，一个程序模块由许多字模块组成，如图，这是一
7、个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数.你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束.而第1步可有子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可以由子模块4、子模块5中任何一个来完成，因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个技术原理.解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2,、子模块3中的子路径条数共为18+45+28=91；子模块4、子模块5中的子路径条数共为38+43=81.又由分步乘法计数原理，整个模块的执
8、行路径条数共为9181=7371. 在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块，这样，它可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常，总共需要的测试次数为 18+45+18+38+43=172. 再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为32=6. 如果每个子模块都正常功能，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作，正常这样测试整个模块的次数就变为172+6=178，显然178与7371的差距是非常大的.1.
9、使用两个原理的原则使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类,逐类解决,用分类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理.2.应用两个计数原理计数的四个步骤(1)明确完成的这件事是什么.(2)思考如何完成这件事.(3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类.(4)选择计数原理进行计算.例8.通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示发牌机关代号，第二部分有阿拉伯数字和英文字母组成的序号如图，其中，序
10、号的编码规则为：（1）由10个阿拉伯数字和除O,I之外的24个英文字母组成;（2）最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？典例解析分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数，按程序编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类；没有字母，有1个字母，有2个字母，以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号，分为五个子类，将有2个字母的序号，分为十个子类.解：有号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数，根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有
11、字母，有1个字母，有2个字母.（1）当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法，根据分布乘法计数原理，这类号牌张数为1010101010=100000.（2）当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类. 当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第25步都是从10个数字中选一个放在相应的位置，各有10种选法，根据分步乘法计数原理，号牌张数为：2410101010=240000. 同样，其余四个子类号
12、牌也各有240000张。根据分类加法计数原理，这类号牌张数，共为240000+240000+240000+240000+240000=1200000.（3）当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位. 当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第12步都是从24个字母中选1个分别放在第1位，第2位，各有24种选法；第35步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法.根据分步乘
13、法计数原理，号牌张数为2424101010=576000同样其余九个子类号牌也各有576000张于是这类号牌张数一共为57600010=5760000综合（1）（2）（3）根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为10000十1200000+5760000=7060000.解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象的数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法.(2)当涉及对象的数目很大时,一般有两种方法:直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行.间接法.去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,
14、然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.归纳总结跟踪训练. 7名学生中有3名学生会下象棋但不会下围棋,有2名学生会下围棋但不会下象棋,另2名学生既会下象棋又会下围棋.现从中选出会下象棋和会下围棋的学生各1人参加比赛,共有多少种不同的选法?跟踪训练解:第1类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N1=32=6(种).第2类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N2=32=6(种).第3类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋
15、比赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛,由分步乘法计数原理得N3=22=4(种).第4类,从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛,另一名参加围棋比赛,有N4=2种.综上,由分类加法计数原理可知,不同选法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(种).通过引导学生回顾计数原理，进一步比较分析加深对两个计数原理得理解。通过具体问题，分析、比较、归纳、加深对两个计数原理的认识。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 在典例分析和练习中让学生熟悉两个计数原理的基本步骤，并能区分它们的联系和区别，进而灵活运用两个计数原理。发展学生逻辑推理，直观想象、数学
16、抽象和数学运算的核心素养。 三、达标检测1.现有4件不同款式的上衣和7条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,那么不同的配法种数为()A.11 B.28 C.16 384 D.2 401解析:要完成配套,分两步:第1步,选上衣,从4件上衣中任选一件,有4种不同的选法;第2步,选长裤,从7条长裤中任选一条,有7种不同的选法.故共有47=28(种)不同的配法.答案:B2.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同的数字相加,其和为偶数的不同取法的种数为()A.30 B.20 C.10 D.6解析:从0,1,2,3,4,5六个数字中,任取两个不同的数字相加,和为偶数可分为两类,取出
17、的两数都是偶数,共有3种取法;取出的两数都是奇数,共有3种取法.故由分类加法计数原理得,共有N=3+3=6(种)取法.答案:D3.中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个,已知甲同学喜欢牛、马和猴,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学所有的吉祥物都喜欢,让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏,若各人所选取的礼物都是自己喜欢的,则不同的选法有()A.50种 B.60种 C.80种 D.90种解析:根据题意,按甲的选择不同分成2种情况讨论:若甲选择牛,此时乙的选择有2种,丙的选择有10种,
18、此时有210=20(种)不同的选法.若甲选择马或猴,此时甲的选择有2种,乙的选择有3种,丙的选择有10种,此时有2310=60(种)不同的选法.一共有20+60=80(种)不同的选法.故选C.答案:C4.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端点异色,若只有4种颜色可供使用,则不同的染色方法共有()A.48种 B.72种 C.96种 D.108种解析:设四棱锥为P-ABCD.当A,C颜色相同时,先染P有4种方法,再染A,C有3种方法,然后染B有2种方法,最后染D也有2种方法.根据分步乘法计数原理知,共有4322=48(种)方法;当A,C颜色不相同时,先染P有4种方法,再染A有3
19、种方法,然后染C有2种方法,最后染B,D都有1种方法.根据分步乘法计数原理知,共有43211=24(种)方法.综上,共有48+24=72(种)方法.故选B.答案:B5.某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与会小号的各1人,有多少种不同的选法?解:由题意可知,在艺术小组9人中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人记为甲),只会钢琴的有6人,只会小号的有2人.把从中选出会钢琴与会小号各1人的方法分为两类.第1类,甲入选,另1人只需从其他8人中任选1人,故这类选法共8种;第2类,甲不入选,则会钢琴的只能从6个只会钢琴的人中选出,有6种不同的选
20、法,会小号的也只能从只会小号的2人中选出,有2种不同的选法,所以这类选法共有62=12(种).因此共有8+12=20(种)不同的选法.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。
