1、6.2.1- 6.2.2 排列与排列数本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第三册，第六章计数原理，本节课主本节课主要学习排列与排列数。排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是排列的理解，利用计数原理推导排列数公式，难点是运用排列解决实际问题。课程目标学科素养A. 理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.B.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.C.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列
2、应用题.1.数学抽象：排列的概念 2.逻辑推理：排列数的性质 3.数学运算：运用排列数解决计数问题4.数学建模：将计数问题转化为排列问题重点：理解排列的定义及排列数的计算 难点：运用排列解决计算问题 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 温故知新两个原理的联系与区别1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.2.区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件
3、事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复问题1. 从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动.分析：要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参加下午的活动”，可以分两个步骤：第1步，确定上午的同学，从3人中任选1人，有3种选法；第2步，确定下午的同学，只能从剩下的2人中去选，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同
4、的选法种数为32=6.问题如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，则问题可叙述为：从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？问题2. 从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？分析：从4个数中每次取出三个按“百位、十位、个位” 的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数，可以分三个步骤解决：第1步，确定百位上的数字，从1、2、3、4这4个数中任取一个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，只能从余下的3个数字中取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，只能从余下的2个数字中取，有2种方法；根
5、据分步乘法计数原理，从1、2、3、4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按百位、十位、个位的顺序排成一列，不同的排列方法为432=24因而共可得到24个不同的三位数，如图所示 同样，问题2可以归结为： 从4个不同的元素a,b,c,d中任意取出3个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cbd,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb,不同的排列方法为432=24上述问题1,2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？一、
6、排列的相关概念1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.相同排列:两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.名师点析理解排列应注意的问题(1)排列的定义中包括两个基本内容,一是“取出元素”,二是“按一定顺序排列”.(2)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.1.下列问题中:10本不同的书分给10名同学,每人一本;10位同学互通一次电话;10位同学互通一封信;10个没有任何三点共线的点构成的线段.属于排列的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由排列的定义可知是排列,不是排列.答案:B二、典
7、例解析例1. 某省中学足球队赛预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.解：可以先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队.按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为65=30.例2. （1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？分析：3名同学每人从5盘不同的菜中取1盘菜，可看
8、作是从这5盘菜中任取3盘，放在3个位置（给3名同学）的一个排列；而3名同学每人从食堂窗口的5种菜中选1种，每人都有5种选法，不能看成一个排列.解： （1）可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为543=60.（2）可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为555=125.二、排列数与排列数公式1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫
9、做 从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm表示.2.排列数公式:Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!(n-m)!,这里m,nN*,并且mn.3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有Ann=n(n-1)(n-2)321.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成Ann=n!.另外,我们规定,0!=1.问题3. 你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?“排列”与“排列数”是两个不
10、同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.例3. 计算：（1）A73；2A74；3A77A44；4A64A22.解：根据排列数公式，可得（1）A73 =765=210；（2）A74 =7654=840；（3）A77A44 =7!4!=765=210；（4）A64A22=654321=720.由例3可以看出，A77A44 =7!4!；A64A22=6！=A66，即A64=A66A22 =6!2!；观察这两个结果，从中你发现它们的共性
11、了吗？事实上，Anm=nn-1n-2n-m+1=nn-1n-2n-m+1n-m21n-m21=AnmAn-mn-m=n!n-m!即Anm=n!n-m!例4.用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在09这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字可以从19这9个数字中取出1个，有A91种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数中取2个, 有A92种取法； 如图根据分步乘法计数原
12、理，所求的三位数的个数为A91A92 =998=648.解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从19这9个数字中取出3个，有A93种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数中取出2个放在百位和十位，有A92种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有A92种取法.根据分类加法计数原理,所求三位数的个数为A93+A92+A92=987+98+98=648.解法3：从09这10个数字中选取3个的排列数为A103，其中0在百位上的排列数为A92，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三
13、位数的个数，即所求三位数的个数为A103-A92=1098-98=648.1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用.跟踪训练 有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法?解:(方法一分类法)分两类:第1类,化学被选上,有A31A53种不同的安排方法;第2类,化学不被选上,有A54种不同的安排方法.故共有A31A53+A54=300(
14、种)不同的安排方法.(方法二分步法)第1步,第四节有A51种排法;第2步,其余三节有A53种排法,故共有A51A53=300(种)不同的安排方法.(方法三间接法)从6门课程中选4门安排在上午,有A64种排法,而化学排第四节,有A53种排法,故共有A64-A53=300(种)不同的安排方法.通过引导学生回顾计数原理，进一步比较分析加深对两个计数原理得理解。通过具体问题，分析、比较、归纳出对排列的概念。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 在典例分析和练习中让学生熟悉排列和排列数的概念，进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 三、达标检测
15、1.从5本不同的书中选两本送给2名同学,每人一本,则不同的送书方法的种数为()A.5 B.10 C.20 D.60解析:此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数,即共有 A52 =20(种)不同的送书方法.答案:C2.设mN*,且m15,则A20-m6=()A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)解析: A20-m6 是指从20-m开始依次连续的6个
16、数相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).答案:C3.某次演出共有6位演员参加,规定甲只能排在第一个或最后一个出场,乙和丙必须排在相邻的顺序出场,不同的演出顺序共有()A.24种 B.144种 C.48种 D.96种解析:第1步,先安排甲有A21种不同的演出顺序;第2步,安排乙和丙有A22A41种不同的演出顺序;第3步,安排剩余的三个演员有A33种不同的演出顺序.根据分步计数原理,共有A21A22A41A33=96(种)不同的演出顺序.故选D.答案:D 4.有8种不同的菜种,任选4种种在不同土质的4块地里,有种不同的种法.解析:将4块不同土质的地看作4
17、个不同的位置,从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地里,则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题,所以不同的种法共有A84 =8765=1 680(种).答案:1 6805.用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.(1)这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个?(2)这些四位数中大于6 500的有多少个?解:(1)偶数的个位数只能是2、4、6,有A31种排法,其他位上有A63种排法,由分步乘法计数原理,知共有四位偶数A31A63=360(个);能被5整除的数个位必须是5,故有A63=120(个).(2)最高位上是7时大于6 500,有A63种,最高
18、位上是6时,百位上只能是7或5,故有2A52种.由分类加法计数原理知,这些四位数中大于6 500的共有A63+2A52=160(个).通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。
