1、3.1.2椭圆的简单几何性质（1）本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。课程目标学科素养A. 掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系.B.尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质.C.尝试利用椭圆的知识解决
2、简单的实际问题.1.数学抽象：椭圆的几何性质2.逻辑推理：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性 3.数学运算：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性4.数学建模：利用椭圆的知识解决应用问题 5.直观想象：离心率的几何意义重点：由几何条件求出椭圆的方程 难点：由椭圆的方程研究椭圆的几何性质多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 情境导学 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等。二、探究新知 观察椭圆x2a2+y2b2=1（ ab0 ）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
3、思 观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？思考1. 离心率对椭圆扁圆程度的影响?提示:如图所示,在RtBF2O中,cosBF2O=ca,记e=ca,则0eb0)的长轴长是a.()(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为x225+y216=1.()(3)设F为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).()答案:(1)(2)(3) 2.已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()A.13B.1
4、2C.22D.223解析:a2=4+22=8,a=22.e=ca=222=22.故选C.答案:C 三、典例解析例1已知椭圆C1:x2100+y264=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.(1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.解:(1)由椭圆C1:x2100+y264=1,可得其半长轴长为10,半短轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=35.(2)椭圆C2:y2100+x264=1.性质如下:范围:-8x8且-10y10;对称性:关于x轴、y轴、原点对称;顶点:长轴端点(0,10)
5、,(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);焦点:(0,6),(0,-6);离心率:e=35. 讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程,标准方程能将参数的几何意义凸显出来,另外要抓住椭圆中a2-b2=c2这一核心关系式.跟踪训练1 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.解:由已知得x21m2+y214m2=1(m0),因为0m214m2.所以椭圆的焦点在x轴上,并且半长轴长a=1m,半短轴长b=12m,半焦距c=32m,所以椭圆的长轴长2a=2m,短轴长2b=1m,焦点坐标为-32m,0,32m,0,顶点坐标为1m,0,-1m,0,
6、0,-12m,0,12m,离心率e=ca=32m1m=32.例2 椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为.解析:方法一:如图,DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,F1NF2N.|NF2|=|OF2|=c,|NF1|=|F1F2|2-|NF2|2=4c2-c2=3c.由椭圆的定义可知|NF1|+|NF2|=2a,3c+c=2a,a=(3+1)c2.e=ca=23+1=3-1.方法二:注意到焦点三角形NF1F2中,NF1F2=30,NF2F1=60,F1NF2=90,则由离心率的焦点三角形公式,可得
7、e=sinF1NF2sinNF1F2+sinNF2F1=sin90sin30+sin60=112+32=3-1.答案:3-1变式1 若例2改为如下:椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点F1,F2,以F1F2为底边作等腰直角三角形,其三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处,则椭圆的离心率为.解析:根据等腰直角三角形的特征可知a2+a2=4c2,即ca=e=22.答案:22例3 已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1PF2,则椭圆的离心率的取值范围为.解析:由PF1PF2,知F1PF2是直角三角形,所以|OP|=cb,即c2a2-c2
8、,所以a2c.因为e=ca,0e1,所以22eb0)过点(1,2),其离心率的取值范围是12,32,则椭圆短轴长的最大值是()A.4B.3C.11D.23(2)设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,F2PF1是底角为30的等腰三角形,则E的离心率为.解析:(1)由题意,可得1a2+2b2=1,即a2=b2b2-2.因为a2=b2+c2,所以c2a2=a2-b2a2=b2b2-2-b2b2b2-2=3-b2,离心率的取值范围是12,32,所以143-b234,解得b32,112,所以椭圆短轴长的最大值是11.(2)由题意,知F2F1P=
9、F2PF1=30,PF2x=60.|PF2|=232a-c=3a-2c.|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,3a-2c=2c,e=ca=34.答案:(1)C(2)34(3)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为66|F1F2|,求椭圆C的离心率.解:由题意知A(a,0),B(0,b),从而直线AB的方程为xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,又|F1F2|=2c,aba2+b2=63c.b2=a2-c2,3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3a2=c2(舍去),e=22.通过椭
10、圆的标准方程，运用方程与函数的思想，获得椭圆的几何性质，进而推广到一般。帮助学生进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。通过典型例题，掌握根据椭圆的基本几何性质及其简单运用，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1.已知点(3,2)在椭圆x2a2+y2b2=1上,则()A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上解析:由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(-3,2)在
11、椭圆上,故选C.答案:C2.设AB是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98a B.99a C.100a D.101a解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故结果应为502a+|F1P50|=101a.答案:D3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三
12、角形,则该椭圆的离心率为()A.12B.32C.34D.64解析:不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.依题意可知,BF1F2是正三角形.在RtOBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,OF2B=60,cos 60=ca=12.即椭圆的离心率e=12,故选A.答案:A 4.已知椭圆x23+y22=1左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为.解析:根据题意,设四边形B1F1B2F2的面积为S,椭圆的标准方程为x23+y22=1,其中a=3,b=2,则c=3-2=1,则F1(-1,0),F2(1,0),B1(0,2),B2(0,
13、-2),即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=2,则S=4SB1OF1=412|OB1|OF1|=22.答案:225.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为cm.解析:因为两个椭圆的扁平程度相同,所以椭圆的离心率相同,c大a大=c小a小,即a大2-b大2a大2=a小2-b小2a小2
14、.所以2a大2b大=2a小2b小,所以4020=2a小10,所以小椭圆的长轴长为20 cm.答案:20 6.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m0)的离心率e=32,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.解:椭圆方程可化为x2m+y2mm+3=1(m0),m-mm+3=m(m+2)m+30,mmm+3.a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3.由e=32,得m+2m+3=32,m=1.椭圆的标准方程为x2+y214=1.a=1,b=12,c=32.椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为-32,0,32,0;四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),0,-12,0,12.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。运用代数方法，让学生体会方程与函数的思想在研究椭圆几何性质中的作用，让学生的思路更加清晰，对学习内容的把握更加容易，同时注意及时让学生进行思维拓展，形成知识网，提升教学效果。
