1、2.2.2直线的两点式方程本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学习直线的两点式方程。本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率k不存在或斜率k=0时对两点式的讨论及变形。直线方程的两点式可由点斜式导出，若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程。由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便。在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式。解决问题的关键是理解理解直线方程的两点式和截距式的形式特点及适用范围。教学中应充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续
2、学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。课程目标学科素养A.掌握直线的两点式方程和截距式方程.B.会选择适当的方程形式求直线方程.C.能用直线的两点式方程与截距式方程解答有关问题.1.数学抽象：直线的两点式方程和截距式方程 2.逻辑推理：直线方程之间的关系 3.数学运算：用直线的两点式方程与截距式方程求直线方程4.直观想象：截距的几何意义 1.教学重点：掌握直线方程的两点式及截距式 2.教学难点：会选择适当的方程形式求直线方程多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学 我们知道在直角坐标系内确定一条直线的几何要素：点和倾斜角（斜率
3、），即已知直线上的一点和直线的斜率可以确定一条直线，或已知两点也可以确定一条直线。 这样，在直角坐标系中，给定一个点p0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程。若给定直线上两点p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直线的方程呢?二、探究新知1直线的两点式方程(1)直线的两点式方程的定义 _就是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2，y1y2)的直线方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式点睛：1.当两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示,即两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.2.对
4、于两点式中的两个点,只要是直线上的两个点即可;另外,两点式方程与这两个点的顺序无关,如直线过点P1(1,1),P2(2,3),由两点式可得y-13-1=x-12-1,也可以写成y-31-3=x-21-2.1. 把由直线上已知的两点坐标得到的直线方程化为整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1),对两点的坐标还有限制条件吗?答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.2.已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为.解析:由两点式,得y-10-1=x-32-3,化简得x-y-2=0.答案:x-y-2=0 二、直线的截距式方程 点睛：直线
5、的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在x轴和y轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.3在x，y轴上的截距分别是3,4的直线方程是()A1 B1C1 D1答案A解析：由截距式方程知直线方程为1.选A.4.直线xa2-yb2=1(ab0)在y轴上的截距是()A.a2B.b2 C.-b2 D.|b|答案:C 解析:原直线方程化为截距式方程为x2a2+y2-b2=1,故在y轴上的截距是-b2.三、典例解析例1 已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:(1)BC边所在的直线方程;(2)BC边
6、上中线所在的直线方程.思路分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.解:(1)直线BC过点B(0,-3),C(-2,1),由两点式方程得y+31+3=x-0-2-0,化简得2x+y+3=0.(2)由中点坐标公式,得BC的中点D的坐标为0-22,-3+12,即D(-1,-1).又直线AD过点A(-4,0),由两点式方程得y+10+1=x+1-4+1,化简得x+3y+4=0.延伸探究例1已知条件不变,求:(1)AC边所在的直线方程;(2)AC边上中线所在的直线方程.解:(1)由两点式方程,得y-01-0=x-(-4)-2-(-4),化简得x-2y+4=0.(2)由中点坐标公式得A
7、C边的中点E(-3,12),中线BE所在直线的方程为y-(-3)12-(-3)=x-0-3-0,化简得7x+6y+18=0. 两点式方程的应用 用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.例2过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0 C.3x-y=0 D.x-3y+8=0思路分析:设出直线的截距式方程,然后利用点P在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件,解方程求出参数.解析:设所求的直线方程为xa+yb=1(
8、a0,b0),由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6,因此有1a+3b=1,12ab=6,解得a=2,b=6,故所求直线的方程为3x+y-6=0.答案:A 总结归纳：在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时,常把直线方程设为截距式,由已知条件建立关于两截距的方程,解得截距的值,从而确定方程.训练跟踪1 直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.解:由于直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点,故可设为截距式直线方程.设直线l的方程为xa+yb=1,则a+b=12.又直线l过点(-3,4),所以-3a+4b=
9、1.由解得a=9,b=3或a=-4,b=16.故所求的直线方程为x9+y3=1或x-4+y16=1,即x+3y-9=0或4x-y+16=0.跟踪训练2将变式训练1中的条件“在两坐标轴上的截距之和为12”改为“在两坐标轴上的截距的绝对值相等”,求直线l的方程.解:设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b.(1)当a0,b0时,设l的方程为xa+yb=1,因为点(-3,4)在直线上,所以-3a+4b=1.若a=b,则a=b=1,直线方程为x+y-1=0;若a=-b,则a=-7,b=7,直线方程为x-y+7=0.(2)当a=b=0时,直线过原点,且过(-3,4),所以直线方程为4x+3y=0.综上所
10、述,所求直线方程为:x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0.金题典例 如图,某小区内有一块荒地ABCDE,已知BC=210 m,CD=240 m,DE=300 m,EA=180 m,AECD,BCDE,C=90,今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问如何设计才能使开发的面积最大?最大开发面积是多少?思路分析将问题转化为在线段AB上求一点P,使矩形面积最大,根据图形特征,可建立适当的坐标系,求出AB的方程.这里设点P的坐标是关键.解:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图),由已知可得A(0,60),B(90,0),AB所在直线的方程为x90
11、+y60=1,即y=60(1-x90).y=60-23x.从而可设P(x,60-23x),其中0x90,所开发部分的面积为S=(300-x)(240-y).故S=(300-x)(240-60+23x)=-23x2+20x+54 000(0x90),当x=-202(-23)=15,且y=60-2315=50时,S取最大值为-23152+2015+54 000=54 150(m2).因此点P距AE 15 m,距BC 50 m时所开发的面积最大,最大面积为54 150 m2.归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.通过对直线
12、几何要素及点斜式方程的回顾，提出问题，让学生初步体会坐标法的思想方法，并提出问题，明确研究问题运用方程思想，求解直线两点=点式方程。由坐标系中的直线，让学生理解已知直线两个要素，建立直线方程的过程。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 通过典型例题的分析和解决，让学生加深对利用两点式和截距式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。通过典例解析，进一步让理解运用两点式和截距式方程的方法，并能合理选择直线的方程形式，进一步体会坐标法解决问题的基本思想。三、达标检测1.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是() A.x3+y2
13、=0B.x2+y3=0C.x2+y3=1D.x2-y3=1解析:由截距式,得所求直线的方程为x2+y3=1.答案:C 2.已知ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为()A.2x+y-8=0B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0D.2x-y-12=0解析:点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2),由两点式方程得y-24-2=x-32-3,即2x+y-8=0.答案:A 3过点P(4，3)且在坐标轴上截距相等的直线有() A1条 B2条 C3条 D4条解析：过原点时，直线方程为yx.直线不过原点时，可设其方程为1，
14、1，a1.直线方程为xy10.所以这样的直线有2条，选B.答案：B4.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m=. 解析:由两点式方程得,过A,B两点的直线方程为y-(-1)4-(-1)=x-2-3-2,即x+y-1=0.又点P(3,m)在直线AB上,所以3+m-1=0,得m=-2.答案:-2 5.直线ax+by=1(ab0)与两坐标轴围成的三角形的面积是.解析:直线在两坐标轴上的截距分别为1a与1b,所以直线与坐标轴围成的三角形面积为12|ab|.答案:12|ab|6.已知三角形的三个顶点A(0,4)，B(2,6)，C(8,0)(1)求三角形三边所在直线的方程；(2
15、)求AC边上的垂直平分线的方程解析(1)直线AB的方程为，整理得xy40；直线BC的方程为，整理得xy80；由截距式可知，直线AC的方程为1，整理得x2y80.(2)线段AC的中点为D(4,2)，直线AC的斜率为，则AC边上的垂直平分线的斜率为2，所以AC边的垂直平分线的方程为y22(x4)，整理得2xy60.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。通过本节学习，要求学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程。理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础。了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神。教师要及时引导、及时鼓励。教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受
