1、2.3.3 点到直线的距离公式本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学习点到直线的距离公式。在前面已经研究了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系，同时也介绍了 “以数论形，以形辅数”的数学思想方法 “点到直线的距离”是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算；点到直线的距离的研究，又为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用课程目标学科素养A. 会用向量工具推导点到直线的距离公式.B.掌握点到直线的距离公式,能应用点到直线距离公式解决有关距离问题.C. 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，
2、培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力1.数学抽象：点到直线的距离公式2.逻辑推理：点到直线的距离公式的推导3.数学运算：点到直线的距离公式的运用4.直观想象：几何中的距离问题 重点：点到直线的距离公式的推导思路分析；点到直线的距离公式的应用难点：点到直线的距离公式的推导不同方法的思路分析 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、情境导学 在公路附近有一家乡村饭馆,现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路.请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短?二、探究新知思考：最容易想到的方法是什么？思路. 定义法,其步骤为：求l 的垂线l PQ的方程； 解方程
3、组；得交点Q的坐标；求|P Q|的长反思：这种解法的优缺点是什么？ 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？ 如图，点P到直线l的距离，就是向量PQ的模，设M(x,y)是直线l上的任意一点， n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则PQ是PM在上n的投影向量, PQ=PMn。思考：如何利用直线l的方程得到与的方向向量垂直的单位向量n？设P1x1,y1,P2（x2,y2）直线l：Ax+By+C=0上的任意两点，则P1P2=(x2-x1,y2-y1)是直线l的方向向量。把Ax1+By1+C=0, Ax2+By2+C=0 两式相减，得A(x2-x1)+B(y2-
4、y1)=0 ，由平面向量的数量积运算可知，向量(A,B)与向量(x2-x1,y2-y1)垂直，向量 1A2+B2 (A,B)就是与直线的方向向量垂直的一个单位向量的单位向量，我们取n=1A2+B2 (A,B)，从而PMn=(x-x0,y-y0)1A2+B2 (A,B)=1A2+B2 (Ax+By-Ax0-By0)因为点M(x,y)在直线l上所以Ax+By+C=0代入上式，得PMn=1A2+B2 (-Ax0-By0-C)因此PQ=PMn=Ax0+By0+CA2+B2思考：比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通
5、过向量运算求出结果，简化了运算，除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？1.点到直线的距离(1)定义:平面内点到直线的距离,等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度.(2)图示:(3)公式:d=|Ax0+By0+C|A2+B2.点睛： (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.(2)当点P0在直线l上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用.1.判断对错：点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为|kx0+b|1+k2. ()答案:2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是()A.12B.32C.322D.22答案:C解析:由点到直线的距离公式可得
6、|1-(-1)+1|2=322.3.你能说出代数式|3a+b+1|2的几何意义吗?提示:该代数式可表示平面内点(a,b)到直线3x+y+1=0的距离.三、典例解析例1、求点P(3，2)到下列直线的距离：(1)yx；(2)y6；(3)x4. 解(1)直线yx化为一般式为3x4y10，由点到直线的距离公式可得d.(2)因为直线y6与y轴垂直，所以点P到它的距离d|26|8.(3)因为直线x4与x轴垂直，所以点P到它的距离d|34|1.应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用(3)直线方程AxB
7、yC0中，A0或B0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解跟踪训练1 已知直线l经过点M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:(方法一)当过点M(-1,2)的直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,故x=-1满足题意;当过点M(-1,2)的直线l的斜率存在时,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)与B(-4,5)两点到直线l的距离相等,得即x+3y-5=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.|2k-3
8、+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,解得k=-13,此时l的方程为y-2=-13(x+1),(方法二)由题意得lAB或l过AB的中点.当lAB时,设直线AB的斜率为kAB,即x+3y-5=0.当l过AB的中点(-1,4)时,直线l的方程为x=-1.综上所述,直线l的方程为x=-1或x+3y-5=0.直线l的斜率为kl,则kAB=kl=5-3-4-2=-13,此时直线l的方程为y-2=-13(x+1),点睛：用待定系数法求直线方程时,首先考虑斜率不存在是否满足题意.延伸探究 若将本题改为“已知直线l经过点M(-1,2),点A(2,3),B(-4,5)在l的同侧且到该直线l的距离相
9、等”,则所求l的方程为.解析:将本例(2)中的x=-1这一情况舍去即可,也就是要舍去两点在直线l异侧的情况.答案:x+3y-5=0易错点因对斜率的情况考虑不全面而致错案例 求经过点P(-3,5),且与原点距离等于3的直线l的方程.所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3.所以15k+8=0.所以k=-815.故直线l的方程为-815x-y+3-815+5=0,错解:设所求直线方程为y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.错因分析本题出错的根本原因在于思维不严密,求直线的方程时直接设为点斜式,没有考虑斜率不存在的情况.正解:当直线的斜率存在时,设所求直线方程为y-5=k(
10、x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-3也满足题意.故满足题意的直线l的方程为8x+15y-51=0或x=-3.所以原点到该直线的距离d=|3k+5|k2+1=3.所以15k+8=0.所以k=-815.故所求直线方程为y-5=-815(x+3),点睛:在根据距离确定直线方程时,易忽略直线斜率不存在的情况,避免这种错误的方法是当用点斜式或斜截式表示直线方程时,应首先考虑斜率不存在的情况是否符合题设条件,然后再求解.通过生活中点到直线距离的问题情境，引出在坐标系下探究点到直线距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略
11、，最终探索出点到直线的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。通过不同方法推导点到直线的距离公式，体会算法的多样性，同时比较不同推导方法，比较算法的优劣，优化思维品质，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 在典例分析和练习中熟悉公式的基本结构，并体会点到直线距离公式的初步应用。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。 三、达标检测1.点(1,-1)到直线y=1的距离是() A.2B.22C.3D.2解析:d=|-1-1|1+0=2,故选D.答案:D 2.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于()A.79
12、B.-13C.-79或-13D.-79或13解析:由点到直线的距离公式可得|-3a-4+1|a2+1=|6a+3+1|a2+1,化简得|3a+3|=|6a+4|,解得实数a=-79或-13.故选C.答案:C 3.直线3x-4y-27=0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是.解析:由题意知过点P作直线3x-4y-27=0的垂线,设垂足为M,则|MP|最小,直线MP的方程为y-1=-43(x-2),解方程组3x-4y-27=0,y-1=-43(x-2),得x=5,y=-3,所求点的坐标为(5,-3).答案:(5,-3) 4.已知ABC三个顶点坐标A(1,3)，B(3,0)，C(1,2)，求ABC
13、的面积S.【解析】由直线方程的两点式得直线BC的方程为，即x2y30，由两点间距离公式得|BC|，点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，d，所以S|BC|d24，即ABC的面积为4.5.已知直线l经过点P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.解:(方法一)点A(1,1)与B(-3,1)到y轴的距离不相等,直线l的斜率存在,设为k.又直线l在y轴上的截距为2,则直线l的方程为y=kx+2,即kx-y+2=0.由点A(1,1)与B(-3,1)到直线l的距离相等,直线l的方程是y=2或x-y+2=0.得|k-1+2|k2+1=|-3k-1+2|k2+1,
14、解得k=0或k=1.(方法二)当直线l过线段AB的中点时,A,B两点到直线l的距离相等.AB的中点是(-1,1),又直线l过点P(0,2),直线l的方程是x-y+2=0.当直线lAB时,A,B两点到直线l的距离相等.直线AB的斜率为0,直线l的斜率为0,直线l的方程为y=2.综上所述,满足条件的直线l的方程是x-y+2=0或y=2.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式. 2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。点到直线距离公式的推导，注意利用解析法推导公式时，由于字母较多，用运算量大，在具体的运算过程中学生容易产生畏难情绪，半途而废；采取课前预习，小组讨论，学生展示等手段加以突破对于几何法中的构造直角三角形学生感到比较困难；采取利用复习两点间距离公式的推导复习，利用类比教学法加以突破；对于几向量法学生不容易想到，采取启导法，小组讨论法，让学生领会“设点不求点”的解题思路
