1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第七节 正弦定理和余弦定理 课时作业 A 组 基础对点练 1 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a 62 b， A 2B，则 cos B 等于 ( ) A. 66 B. 65 C. 64 D 63 解析：因为 a 62 b， A 2B，所以由正弦定理可得62 bsin 2Bbsin B，所以622sin Bcos B1sin B，所以 cos B 64 ，故选 C. 答案： C 2 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 a 5， c 2， cos A 23，则 b ( ) A. 2 B 3 C 2
2、D 3 解析：由余弦定理，得 4 b2 22 bcos A 5，整理得 3b2 8b 3 0，解得 b 3 或 b13(舍去 )，故选 D. 答案： D 3已知锐角 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c,23cos2A cos 2A 0， a 7， c6，则 b ( ) A 10 B 9 C 8 D 5 解析：化简 23cos2A cos 2A 0，得 23cos2A 2cos2A 1 0，解得 cos A 15.由余弦定理，知 a2 b2 c2 2bccos A，代入数据，解方程，得 b 5. 答案： D 4 (2018 云南五市联考 )在 ABC 中，角 A， B，
3、 C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a 1， b 3， A 30 ， B 为锐角，那么角 A B C 为 ( ) A 1 1 3 B 1 2 3 C 1 3 2 D 1 4 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：由正弦定理 asin A bsin B，得 sin B bsin Aa 32 . B 为锐角， B 60 ，则 C90 ，故 A B C 1 2 3，选 B. 答案： B 5已知在 ABC 中， sin A sin B sin C 3 5 7，那么这个三角形的最大内角的大小为 _ 解析：由 sin A sin B sin C 3 5 7 知，三角形的三边之比 a b c
4、3 5 7，最大的角为 C.由余弦定理得 cos C 12， C 120. 答案： 120 6在 ABC 中， A 23 ， a 3c，则 bc _. 解析： a 3c， sin A 3sin C， A 23 ， sin A 32 ， sin C 12，又 C 必为锐角， C 6 ， B 6 ， b c. bc 1. 答案： 1 7在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 ABC 的面积为 3 15， b c2， cos A 14，则 a 的值为 _ 解析：在 ABC 中 ， 由 cos A 14 可得 sin A 154 ， 所 以 有? 12bc 154
5、3 15，b c 2，a2 b2 c2 2bc ? ? 14 ，解得? a 8，b 6，c 4.答案： 8 =【 ;精品教育资源文库 】 = 8 ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC， BD 2DC. (1)求 sin Bsin C； (2)若 BAC 60 ，求 B. 解析： (1)由 正弦定理得 ADsin BBDsin BAD，ADsin CDCsin CAD. 因为 AD 平分 BAC， BD 2DC， 所以 sin Bsin C DCBD 12. (2)因为 C 180 ( BAC B)， BAC 60 ， 所以 sin C sin( BAC B) 32 cos
6、B 12sin B 由 (1)知 2sin B sin C，所以 tan B 33 ，即 B 30. 9 (2018 武汉市模拟 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 2c ba cos Bcos A. (1)求角 A 的大小； (2)若 D 为 BC 边上一点，且 CD 2DB， b 3， AD 21，求 a. 解析： (1)由已知得 (2c b)cos A acos B， 由正弦定理，得 (2sin C sin B)cos A sin Acos B， 整理 ， 得 2sin Ccos A sin Bcos A sin Acos B， 即 2sin Cc
7、os A sin(A B) sin C. 又 sin C0 ， 所以 cos A 12， 所以 A 3. (2)如图，过点 D 作 DE AC 交 AB 于 E，又 CD 2DB， BAC 3 ，所以 ED 13AC 1， DEA 23 . 由余弦定理可知， AD2 AE2 ED2 2AE EDcos23 ，得 AE 4， 则 AB6. 又 AC 3， BAC 3 ，所以在 ABC 中，由余弦定理得 a BC 3 3. B 组 能力提升练 1 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c.已知 b c， a2 2b2(1 sin A)，则 A ( ) =【 ;精品教育资源文库
8、】 = A.34 B 3 C. 4 D 6 解析：由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A 2b2 2b2cos A，所以 2b2(1 sin A) 2b2(1cos A)，所 以 sin A cos A，即 tan A 1，又 0A ，所以 A 4. 答案： C 2 (2018 合肥质检 )在锐角 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且满足 (a b)(sin A sin B) (c b)sin C若 a 3，则 b2 c2的取值范围是 ( ) A (3,6 B (3,5) C (5,6 D 5,6 解析：由正弦定理可得， (a b)( a b) (c b
9、) c，即 b2 c2 a2 bc， cos A b2 c2 a22bc 12，又 A (0， 2 )， A 3. bsin B csin C 3sin 3 2， b2 c2 4(sin2B sin2C)4sin2B sin2(A B) 41 cos 2B2 1 A B2 3sin 2B cos 2B 42sin(2B 6) 4. ABC 是锐角三角形， B ( 6 ， 2)，即 2B 6 ( 6 ， 56 )， 12sin(2B 6 )1 ， 5 b2 c26. 故选 C. 答案： C 3在 ABC 中， B 4 ， BC 边上的高等于 13BC，则 cos A ( ) A.3 1010 B
10、 1010 C 1010 D 3 1010 解析：设 ABC 中角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，由题意可得 13a csin 4 22 c，则 a 3 22 c.在 ABC 中，由余弦定理可得 b2 a2 c2 2ac 92c2 c2 3c2 52c2，则 b 102 c.由余弦定理，可得 cos A b2 c2 a22bc 52c2 c2 92c22 102 c c 1010 ，故选 C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： C 4在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，若 c 1， B 45 ， cos A 35，则 b _. 解析：因为
11、 cos A 35，所以 sin A 1 cos2A 1 ? ?35 2 45，所以 sin C sin180 (A B) sin(A B) sin Acos B cos Asin B 45cos 45 35sin 45 7 210 .由正弦定理 bsin B csin C，得 b 17 210sin 45 57. 答案： 57 5已知在 ABC 中， B 2A， ACB 的平分线 CD 把三角形分成面积比为 4 3 的两部分，则cos A _. 解析：在 ADC 中，由正弦定理得 ACsin ADC47ABsin ACD?AC47AB sin ADCsin ACD，同理，在 BCD中，有 B
12、Csin BDC37ABsin BCD?BC37AB sin BDCsin BCD，又 sin ADC sin BDC， sin ACD sinBCD，所以有 AC47AB BC37AB?AC 43BC，由正弦定理得 sin B 43sin A，又 B 2A， 所以 sin B 2sin Acos A， 所以 cos A 23. 答案： 23 6已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a 1,2cos C c 2b. (1)求 A； (2)若 b 12，求 sin C. 解析： (1) a 1,2cos C c 2b， 由余弦定理得 2 12 b2 c22b c
13、 2b，即 b2 c2 1 bc. cos A b2 c2 12bc bc2bc12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由于 0 A ， A 3. (2)由 b 12，及 b2 c2 1 bc，得 14 c2 1 12c， 即 4c2 2c 3 0， c 0. 解得 c 1 134 . 由正弦定理得 csin C asin A， 得 sin C 1 134 sin 60 3 398 . 7 (2018 郑州模拟 )在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足 cos 2Ccos 2A 2sin? ? 3 C sin ? ? 3 C . (1)求角 A 的值； (
14、2)若 a 3且 b a，求 2b c 的取值范围 解析： (1)由已知得 2sin2A 2sin2C 2? ?34cos2C 14sin2C ，化简得 sin A 32 ，故 A 3 或 23 . (2)由题知，若 b a，则 A 3 ，又 a 3， 所以由正弦定理可得 bsin B csin C asin A 2，得 b 2sin B， c 2sin C， 故 2b c 4sin B 2sin C 4sin B 2sin? ?23 B 3sin B 3cos B 2 3sin? ?B 6 . 因为 b a，所以 3 B23 ， 6 B 6 2 ， 所以 2 3sin? ?B 6 3， 2 3)即 2b c 的取值范围为 3， 2 3)
