1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.11.2 导数与函数的极值、最值 课 时 跟 踪 检 测 基 础 达 标 1.已知函数 f(x)的定义域为 (a， b)，导函数 f( x)在 (a， b)上的图象如图所示，则函数 f(x)在 (a， b)上的极大值点的个数为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析：由函数极值的定义和导函数的图象可知， f( x)在 (a， b)上与 x 轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故 x 0 不是函数 f(x)的极值点，其余的 3 个交点都是极值点，其中有 2 个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有 2 个 答案： B 2函数 f(x)
2、 13x3 4x m 在 0,3上的最大值为 4，则 m 的值为 ( ) A 7 B 283 C 3 D 4 解析： f( x) x2 4， x 0,3， 当 x 0,2)时， f( x) 0，当 x (2,3时， f( x) 0， f(x)在 0,2)上是减函数，在 (2,3上是增函数 又 f(0) m， f(3) 3 m. 在 0,3上， f(x)max f(0) 4， m 4，故选 D. 答案： D 3设直线 x t 与函数 h(x) x2， g(x) ln x 的图象分别交于点 M， N，则当 |MN|最小时 t 的值为 ( ) A 1 B 12 C. 52 D 22 解析：由已知条件
3、可得 |MN| t2 ln t， 设 f(t) t2 ln t(t 0)，则 f( t) 2t 1t， =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 f( t) 0，得 t 22 ， 当 0 t 22 时， f( t) 0，当 t 22 时， f( t) 0， 当 t 22 时， f(t)取得最小值 答案： D 4若 ex k x 在 R 上恒成立，则实数 k 的取值范围为 ( ) A ( ， 1 B 1， ) C ( ， 1 D 1， ) 解析：由 ex k x，得 ke x x. 令 f(x) ex x， f( x) ex 1. 当 f( x) 0 时， x 0， f( x) 0 时， x 0，
4、f( x) 0 时， x 0. f(x)在 ( ， 0)上是减函数，在 (0， ) 上是增函数 f(x)min f(0) 1. k 的范围为 ( ， 1故选 A. 答案： A 5 (2017 届河北三市二联 )若函数 f(x) 13x3 ? ?1 b2 x2 2bx 在区间 3,1上不是单调函数，则函数 f(x)在 R 上的极小值为 ( ) A 2b 43 B 32b 23 C 0 D b2 16b3 解析： f( x) x2 (2 b)x 2b (x b)(x 2)， 函数 f(x)在区间 3,1上不是单调函数， 3 b 1，则由 f( x) 0，得 x b 或 x 2，由 f( x) 0，
5、得 b x 2， 函数 f(x)的极小值为 f(2) 2b 43. 答案： A 6 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f(x) xf( x) 0 且 f( 4) 0，则不等式 xf(x) 0 的解集为 ( ) A ( 4,0) (4， ) B ( 4,0) (0,4) C ( ， 4) (4， ) D ( ， 4) (0,4) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：设 g(x) xf(x)，则当 x 0 时 g( x) xf(x) xf( x) f(x) 0， 所以 g(x)在区间 ( ， 0)上是减函数， 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数 所以 g(x) xf(x)
6、是定义在 R 上的奇函数， 所以 g(x)在 (0， ) 上是减函数， f( 4) 0， f(4) 0，即 g(4) g( 4) 0， xf(x) 0，即 g(x) 0， xf(x) 0 的解集为 ( ， 4) (0,4) 答案： D 7已知函数 f(x)的定义域为 R， f( 1) 2，且对任意的 x R， f( x) 2，则 f(x) 2x 4 的解集为 ( ) A ( 1,1) B ( 1， ) C ( ， 1) D ( ， ) 解析：设 g(x) f(x) (2x 4)， f(x) (2x 4) f( x) 2 0，所以 g(x)单调递增又 g( 1) 0，所以 f(x) 2x 4 的
7、解集是 ( 1， ) 故选 B. 答案： B 8 (2017 届山东师大附中检测 )已知函数 f(x) xex， g(x) (x 1)2 a，若 ? x1， x2 R，使得 f(x2) g(x1)成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A.? ? 1e， B 1， ) C e， ) D ? ? 1e， 解析： f( x) ex xex (1 x)ex，当 x 1 时， f( x) 0，函数单调递增；当 x 1 时， f( x) 0，函数单调递减所以当 x 1 时， f(x)取得极小值即最小值， f( 1) 1e.函数 g(x)的最大值为 a.若 ? x1， x2 R，使得 f(x2) g(x1
8、)成立，则有 g(x)的最大值大于或等于 f(x)的最小值，即 a 1e.故选 D. 答案： D 9从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 _cm3. 解析：设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm， 则 x (0,5)则 y (10 2x)(16 2x)x 4x3 52x2 160x， y 12x2 104x 160. =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 y 0，得 x 2 或 203(舍去 )， ymax 6122 144(cm3) 答案： 144 10已知函数 f(x) ex 2x a 有零点，则 a 的取
9、值范围是 _ 解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程 ex 2x a 0 有解问题，即方程 a 2x ex有解 令函数 g(x) 2x ex，则 g( x) 2 ex，令 g( x) 0，得 x ln 2，所以 g(x)在 ( ， ln 2)上是增函数，在 (ln 2， ) 上是减函数，所以 g(x)的最大值为 g(ln 2) 2ln 2 2.当 x 时 g(x) ，因此， a 的取值范围就是函数 g(x)的值域，所以 a 的取值范围是 ( ， 2ln 2 2 答案： ( ， 2ln 2 2 11已知 f( x) a(x 1)(x a)是函数 f(x)的导函数，若 f(x)在 x a 处取得
10、极大值，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：当导函数 f( x) a(x 1)(x a)的图象如图所示时满足题意，此时 10， h( x)0， h(x)单调递增 所以当 x ln a 时 h(x)取到极大值， 极大值为 h(ln a) aln2a 2ln a sin(ln a) cos(ln a) 2 当 x 0 时， h(x)取到极小值，极小值是 h(0) 2a 1； 当 a 1 时， ln a 0， 所以当 x ( ， ) 时， h( x)0 ，函数 h(x)在 ( ， ) 上单调递增，无极值； 当 a 1 时， ln a 0， 所以当 x ( ， 0)时， ex eln a 0， h(
11、x) 0， h(x)单调递增； 当 x (0， ln a)时， ex eln a 0， h( x) 0， h(x)单调递减； 当 x (ln a， ) 时， ex eln a 0， h( x) 0， h(x)单调递增 所以当 x 0 时， h(x)取到极大值，极大值是 h(0) 2a 1； 当 x ln a 时， h(x)取到极小值， 极小值是 h(ln a) aln2a 2ln a sin(ln a) cos(ln a) 2 综上所述， 当 a0 时， h(x)在 ( ， 0)上单调递减，在 (0， ) 上单调递增，函数 h(x)有极小值，极小值是 h(0) 2a 1； 当 0 a 1 时，
12、函数 h(x)在 ( ， ln a)和 (0， ) 上单调递增，在 (ln a,0)上单调递减，函数 h(x)有极大值，也有极小值， 极大值是 h(ln a) aln2a 2ln a sin(ln a) cos(ln a) 2， 极小值是 h(0) 2a 1； 当 a 1 时，函数 h(x)在 ( ， ) 上单调递增，无极值； 当 a 1 时，函数 h(x)在 ( ， 0)和 (ln a， ) 上单调递增，在 (0， ln a)上单调递减，函数 h(x)有极大值，也有极小值，极大值是 h(0) 2a 1， 极小值是 h(ln a) aln2a 2ln a sin(ln a) cos(ln a) 2
