1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第三节 二元一次不等式 (组 )与简单的线性规划问题 考纲传真 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 .2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组 .3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 (对应学生用书第 83 页 ) 基础知识填充 1二元一次不等式 (组 )表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax By C0 直线 Ax By C 0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括 边界直线 Ax By C0 包括 边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面 区域的 公共部分 2. 线性规划中的相关概念 名称 意义 线
2、性约束条件 由 x， y 的 一次 不等式 (或方程 )组成的不等式组 目标函数 关于 x， y 的 解析式 线性目标函数 关于 x， y 的 一次 解析式 可行解 满足线性约束条件的解 (x， y) 可行域 所有可行解组成的 集合 最优解 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值 或 最小值 问题 知识拓展 确定二元一次不等式表示的平面区域的位置 把二元一次不等式 Ax By C 0( 0)表示为 y kx b 或 y kx b 的形式若 y kx b，则平面区域为直线 Ax By C 0 的上方，若 y kx b，则平面区域为直线
3、 Ax By C 0 的下方 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)不等式 Ax By C0 表示的平面区域一定在直线 Ax By C 0 的上方 ( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一 ( ) (3)目标函数 z ax by(b0) 中， z 的几何意义是直线 ax by z 0 在 y 轴上的截距 ( ) (4)不等式 x2 y20)的最大值为 1，则 m 的值是 ( ) A 209 B 1 C 2 D 5 B 作 出可行域，如图所示的阴影部分 m0， 当 z y mx经过点 A时， z取最大值，由? x 1，x y 3， 解
4、得 ? x 1，y 2， 即 A(1,2)， 2 m 1，解得 m 1.故选 B 规律方法 1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值其关键是准=【 ;精品教育资源文库 】 = 确作出可行域，理解目标函数的意义 2常见的目标函数有： (1)截距型：形如 z ax by.求这类 目标函数的最值时常将函数 z ax by 转化为直线的斜截式： y abx zb，通过求直线的截距 zb的最值间接求出 z 的最值 (2)距离型：形如 z (x a)2 (y b)2. (3)斜率型：形如 z y bx a. 易错警示： 注意转化的等价性及几何意义 线性规划的实际应用 (2016 天津高考
5、)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 A， B， C 三种主要原料生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下 表所示： 原料 肥料 A B C 甲 4 8 3 乙 5 5 10 现有 A 种原料 200 吨， B 种原料 360 吨， C 种原料 300 吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元分别用 x， y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数 (1)用 x， y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润
6、？并求出此最大利润 解 (1)由已知， x， y 满足的数学关系式为? 4x 5y200 ，8x 5y360 ，3x 10y300 ，x0 ，y0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图 中的阴影部分 5 分 (2)设利润为 z 万元，则目标函数为 z 2x 3y. =【 ;精品教育资源文库 】 = 考虑 z 2x 3y，将它变形为 y 23x z3，它的图像是斜率为 23，随 z 变化的一族平行直线， z3为直线在 y 轴上的截距，当 z3取最大 值时， z 的值最大根据 x， y 满足的约束条件，由图 可知，当直线 z 2x 3y 经过可行域上的点 M 时，截距 z3最大，即 z 最大 7
7、 分 解方程组? 4x 5y 200，3x 10y 300， 得点 M 的坐标为 (20,24)， 所以 zmax 220 324 112. 答：生产甲种肥料 20 车皮，乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为 112 万元 . 12 分 规律方法 1.解线性规划应用题的步骤 (1)转化 设元 ，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解 解这个纯数学的线性规划问题； (3)作答 将数学问题的答案还原为实际问题的答案 2解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题 变式训练
8、 2 (2016 全国卷 )某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 _元 216 000 设生产产品 A 为 x 件，产品 B 为 y 件，则 ? 1.5x 0.5y150 ，x 0.3y90 ，5x 3y600 ，x0 ， x N*，y0 ， y N*.目标函数 z 2 100x 900y. =【 ;精品教育资源文库 】 = 作出可行域为图中的阴影部分 (包括边界 )内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)， (0,200)， (0,0)， (90,0) 当直线 z 2 100x 900y 经过点 (60,100)时， z 取得最大值， zmax 2 10060 900100 216 000(元 )
