1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第六节 数学归纳法 考纲传真 (教师用书独具 )1.了解数学归纳法的原理 .2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 (对应学生用书第 104 页 ) 基础知识填充 1 数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)验证：当 n 取第一个值 n0(如 n0 1 或 2)时，命题成立 (2)在假设当 n k(k N ， k n0)时命题成立的前提下，推出当 n k 1 时，命题成立 根据 (1)(2)可以断定命题对一切从 n0开始的正整数 n 都成立 2数学归纳法的框图表示 图 611 基本能力 自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正
2、误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n 1 时结论成立 ( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 ( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用 ( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由 n k 到 n k 1 时，项数都增加了一项 ( ) (5)用数学归纳法证明等式 “1 2 22 ? 2n 2 2n 3 1” ，验证 n 1 时，左边式子应为 1 2 22 23.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 1 12 13 14 ? 1n 2?
3、 ?1n 2 1n 4 ? 12n 时，若已假设 n k(k2 ，且 k 为偶数 )时命题为真，则还需要用归纳假设再证 ( ) A n k 1 时等式成立 B n k 2 时等式成立 C n 2k 2 时等式成立 D n 2(k 2)时等式成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = B k 为偶数，则 k 2 为偶数 3在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 12n(n 3)条时，第一步检验 n 等于 ( ) A 1 B 2 C 3 D 0 C 因为凸 n 边形最小为三角形，所以第一步检验 n 等于 3，故选 C. 4 (教材改编 )已知 an满足 an 1 a2n nan 1， n N ，且
4、 a1 2，则 a2 _， a3_， a4 _，猜想 an _. 答案 3 4 5 n 1 5用数学归纳法证明： “1 12 13 ? 12n 11)” 由 n k(k1)不等式成立，推证 n k 1 时，左边应增加的项的项数是 _ 2k 当 n k 时，不等式为 1 12 13 ? 12k 10. 当 n 1 时， x1 10. 假设 n k 时， xk0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 那么 n k 1 时， 若 xk 10 ，则 00. 因此 xn0(n N ) 所以 xn xn 1 ln(1 xn 1)xn 1. 因此 0xn 1xn(n N ) 归纳 猜想 证明 已知正项数列 a
5、n中，对于一切的 n N 均有 a2n an an 1成立 (1)证明：数列 an中的任意一项都小于 1； (2)探究 an与 1n的大小关系，并证明你的结论 解 (1)由 a2n an an 1得 an 1 an a2n. 在数列 an中， an 0， an 1 0， an a2n 0， 0 an 1， 故数列 an中的任何一项都小于 1. (2)由 (1)知 0 a1 1 11， 那么 a2 a1 a21 ? ?a1122 14 14 12， 由此猜想 an 1n. 下面用数学归纳法证明：当 n2 ，且 n N 时猜想正确 当 n 2 时已证； 假设当 n k(k2 ，且 k N )时，有
6、 ak 1k成立， 那么 1k 12， ak 1 ak a2k ? ?ak122 14 ? ?1k 122 14 1k 1k2 k 1k2 k 1k2 1 1k 1， 当 n k 1 时，猜想正确 综上所述，对于一切 n N ，都有 an 1n. 规律方法 解决 “ 归纳 猜想 证明 ” 问题的一般思路：通过观察有限个特例，猜想出一=【 ;精品教育资源文库 】 = 般性的结论，然后用数学归纳法证明 .这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的 应用 . 易错警示：猜想 an的通项公式时应注意两点： 准确计算 a1， a2， a3发现规律 必要时可多计算几项 ； 证明
7、ak 1时， ak 1的求解过程与 a2， a3的求解过程相似，注意体会特殊与一般的辩证关系 . 跟踪训练 (2017 常德模拟 )设 a 0， f(x) axa x，令 a1 1， an 1 f(an)， n N . (1)写出 a2， a3， a4的值，并猜想数列 an的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论 . 解 (1) a1 1， a2 f(a1) f(1) a1 a； a3 f(a2)a a1 aa a1 a a2 a； a4 f(a3)a a2 aa a2 a a3 a. 猜想 an a(n 1) a(n N ) (2)证明： 易知， n 1 时，猜想正确 假设 n k(k1 且 k N )时猜想正确，即 ak a(k 1) a， 则 ak 1 f(ak) a aka aka a(k 1) aa a(k 1) a a(k 1) a 1 a(k 1) 1 a. 这说明， n k 1 时猜想正确 由 知，对于任何 n N ， 都有 an a(n 1) a.
